3.1.2 第2课时 排列数的应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[3] 第三章排列、组合与二项式定理 3.1[3.1.2 第2课时排列数的应用] b组·素养自测 件作品不同的方案有 种.（用数字 作答) 一、选择题 三、解答题 1.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位 9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要 数，其中奇数的个数为 ) 求排出一个节目单， A.24 B.48 C.60 D.72 (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少 2.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不 种排法？ 同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则 (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 可以组成不同对数值的个数为 A.56 B.54 C.53 D.52 3.从8人中选3人排成一队，其中甲、乙同时参 加排队或同时不参加排队，若参加排队，就一 定相邻，则不同的排法共有 A.252种 B.278种 C.144种 D.362种 4.（多选)停车站划出一排12个停车位置，今有 8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空 车位连在一起，则不同的停车方法有( A.A9种 B.AA4种 10.从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系 C.8A种 D.9A8种 数，可以组成多少个不同的一元二次方程 5.把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安 ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多 排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先 少个？ 上，那么不同的排法有 ( A.48种 B.24种 C.60种 D.120种 二、填空题 6.用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字）， 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相 邻，这样的六位数的个数是 7.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部 分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 8.2023年某地举行博物展，某单位将展出5件艺 术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作 品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相 邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5 105 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五 1.(多选)用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的 位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位 6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数 数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的 共有 ( 倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字 的五位奇数 A.A5A个 BA个 C.A5A个 D.2A5A个 2.某地为了迎接第19届亚洲运动会，杭州某大 楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定. 每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种 颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同， 记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪8.4名男同学和3名女同学站成一排 亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如 (1)7名同学中，甲、乙、丙排序一定（只考虑位 果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至 置的前后顺序)，有多少种不同的排法？ 少是 ( (2)甲不在最左端，乙不在最右端，有多少种 A.1205秒 B.1200秒 不同的排法？ C.1195秒 D.1190秒 (3)7名同学中，甲乙两名同学之间必须恰有3 3.有4本不同的书A、B、C、D,要分给三个同学， 名同学，有多少种不同的排法？ 每个同学至少分一本，书A、B不能分给同一 (4)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不 人，则这样的分法共有 与丙相邻，有多少种不同的排法？ A.18种 B.24种 (5)女同学从左到右按从高到矮的顺序排，有 C.30种 D.36种 多少种不同的排法？(3名女生身高互不 4.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B 相等) 相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆 法有 ( A.48 B.36 C.30 D.24 二、填空题 5.(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山， 6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾 均是家长，则不同的排列个数有 种. 6.如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3， 4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方 体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和 都相等的概率是 —106个位数字，而A+A2+A?+A4=1+2×1+3×2×1+4×3× 2×1=33,故个位数字为3. 3.ABDn+L=n+I)×m!=nl,所以A正确： n+1 n+1 n×(n-1)！ n! nA=n”)气m-(an”m=A,所以B正确： Ao--”丽8-所uc不正确： (n-1)！ 由排列数公式可知+m=n”m十 n! n! mn-a-im×+-0-] n! n！ n+1 (n+1)！ -(n-m×n-(m-1)=[(n+m=A1,所以D 正确. 4.B不考虑限制条件有A种选法，若甲当副组长，有A种选 法，故甲不当副组长的选法有A-A4=16(种). 510由排列数公式得器>卫， 即(n-5)(n-6)>12, 解得n>9或n<2 又n≥7，所以n>9 又neN*,所以n的最小值为10. 615根据题意， A7-AS 2=89,则 =90，变形可得A=90A, 则有云=90X云 变形可得：(n-5)(n-6)=90, 解可得：n=15或n=-4(舍)； 故n=15. 7.10个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A=6(个)；个 位数字为2时，符合要求的四位偶数有AA2=4(个) 故由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为 6+4=10. 8.(1)由排列的定义知共有A种不同的排法 (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分， 其排列数等于8人排成一排的排列数A.也可以分步进行， 第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步： 剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知 共有Ag×A4=A8种排法. (3)同(2)的分析可知，共有A×A;=A(种) g因为东边=+n会品+mm- n！ (n-m+1)! =n!(n-m+1)+m(n-1)！(n-m+l)+m(m-1)(n-1)! （n-m+1)！ _（n-1)！[n(n-m+1)+m(n-m+1)+m(m-l)] (n-m+1)! =(n-1)！n(n+1)-(n+1)！ (n-m+1)! (n-m+1)1=A1. —17 练案[3] A组·素养自测 1.D由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方 法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排 列，有A4种方法，所以奇数的个数为AA4=3×4×3×2×1 =72. 2.D在8个数中任取2个不同的数可以组成A:=56(个)对数 值.但在这56个对数值中，log4=log9,log2=logg3,log23= 1og9,log2=1og4,即满足条件的对数值共有56-4=52 (个) 3.C若甲、乙都不参加排队，则不同的排法有A=120(种)：若 甲、乙都参加排队，则不同的排法有A。A2A=24(种)，所以不 同的排法共有120+24=144（种）.故造C. 4.AD将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行 全排列，共有A。=9A:种 5.C五门课程随意安排有A:种排法，数学课在历史课前和历 史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史 课前的排法有弓A=60(种). 6.40可分为三步来完成这件事： 第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法： 第二步：再将4,6插空排列，共有2A2种排法； 第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法： 由分步乘法计数原理得，共有2A2A2A;=40种不同的排法 7.96先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个 连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A4种，因此 共有不同的分法4A4=4×24=96(种). 8.24将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件 作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每 一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品， 故共有不同展出方案：2×2×A号=24种. 9.(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排 法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位 置上有A6种排法，故共有不同排法AA8=14400种， (2)先不考虑排列要求，有A。种排列，其中前四个节目没有舞 蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四 个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A;A种 排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A:-A5A4)= 37440种. 10.先考虑组成一元二次方程的问题。 首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个，有A4种，然后从余下 的四个数中任选两个作b,c,有A种，又0,1,3,5,7并无公 因数，故由分步乘法计数原理知，组成的一元二次方程共 A4A4=48(个). 方程ax2+bx+c=0(a≠0)要有实根，必须满足4=b2-4ac 5 ≥0.分类讨论如下： 当c=0时，a,b可以从1,3,5,7中任取两个，一元二次方程有 A个； 当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个. 当b取5时，a,c只能取1,3这两个数，一元二次方程有 A3个； 当b取7时，a,c可取1,3或1,5这两组数，一元二次方程有 2A个. 此时共有(A2+2A)个一元二次方程 由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A号+ A3+2A3=18(个). B组·素养提升 1.AB解法一：确定最高位有A;种不同方法.确定万位、千位、 百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A:种不同的方 法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数 原理知，共有A;·A=300(个). 解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数 字的应各占一半，故有号4·A=30(个) 2.C由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A个，相邻两 个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A:+(A -1)×5=1195秒. 3.C4本不同的书分给三个同学，共有6A=36,书A、B分给同 一人有A=6,所以共有36-6=30种，故选C. 4.B将A,B捆绑在一起，有A2种摆法，再将它们与其他3件产 品全排列，有A种摆法，共有AA种摆法，而A,B,C3件产 品在一起，且A,B相邻，A,C相邻时有2种情况，将这3件产 品与剩下2件产品全排列，有2A种摆法.故A,B相邻，A,C 不相邻的摆法有A2A-2A=36(种) 5.288先选两位家长排在首尾有A:=12种排法；再排队中的 四人有A=24种排法，故有12×24=288种排法. 6.56个数任意填人6个小正方形中有A=720种方法；将6 个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填人一对 面中，共有不同填法A×2×2×2=48种，故所求概率P= 481 720-15 7.(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知， 共有4×5×5×5×5=2500（个）. (2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A4种填法， 其余四个位置四个数字共有A种 故共有A·A=96(个). 解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填人有 A种方法，其余四个数字全排有A种方法， 故共有A4·A4=96(个) (3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数， 按取0和不取0分类： 17 ①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A,其 余任排有A,故有2A,·A种. ②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进 行全排为2A,所以共有2A)A2+2A=8+12=20(个). (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入 个位有A,种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位， 有A:种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列， 排列数为A3,故共有A2·A3·A3=36(个). 8.(1)7名同学的所有排法有A?种，其中甲、乙、丙的排序有A号 -840(种). 种，所以甲、乙、丙排序一定的排法有 (2)方法一：甲不在最左端，按甲的排法分类： 若甲在最右端，则有A。种排法；若甲不在最右端，则甲有A5 种排法，乙有A;种排法，其余同学有A;种排法.综上，不同的 排法共有A+AAA==3720(种). 方法二：在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有A7种站法， 甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，而甲 在最左端且乙在最右端的站法有A种，故不同的排法有 A7-2A6+A=3720(种). (3)先排甲、乙两名同学，有A2种排法，再从余下5名同学中 选3名同字排在甲、乙两名同学中间，有A种排法，这时把已 排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行 全排列，有A种排法，故不同的排法共有AAA=720(种) (4)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A种排 法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A2种排法，最后把排 好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成 的5个空位中，有A种排法，故不同的排法共有A1A2A=960 (种). (5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A;种排法，然 后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从 高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有 A7×1=840(种). 练案[4] A组·素养自测 1.CDA错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序 不同时，仍然不是相同排列，所以错误.B错误.因为相同的组 合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错 误.C正确.当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组 合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相 同.D正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不 能再取了.故选CD. 2D由G知m=012.34,因为C=1,G=4.G-4=6, C=C4=4,C4=1,所以M={1,4,6}.故MnQ={1,4}. 3.A因为C6=Ci6-5, 6