3.1.3 第2课时 组合数的应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

·.方程的根为x=11 例4：解法一：2520先从10人中选出2人参加会议甲，再 从余下8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1 人参加会议丙. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 CCgC,=2520(种). 解法二：先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人 中选出2人分别参加会议乙、丙. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C。A: 2520(种). 课堂检测固双基 1.C①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组 合问题，故选C. 2.A由题意得A-C:=4x3-3X2=12-3=9 2 3.C因为A3=6C 所以m(m-1)(m-2〉 =6×m(m-1)(m-2)(m-3) 4×3×2×1 即1=3解得m7 4.CC4<C, .a(n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) 6×5×4×3×2×1 ..(n-4)(n-5)<30. ..n2-9n-10<0, 解得-1<n<10. 由题意n可取的值是6,7,8,9共四个 5.n=3,4,5,6,7由题意知3≤n≤12，且neN*, 10！ 10！ 由题意得n-3)!(13-n<(n-2)！(12-m1 解得n<7.5,所以n=3,4,5,6,7. 第2课时组合数的应用 必备知识探新知 思考：在解决此类问题时，要注意题中的隐含条件；解题过 程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”；在应 用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 关键能力攻重难 例1：(1)A根据题意，需分两类讨论 第一类：选出的3名医生中有2名男医生1名女医生，有 CC:=30(种)不同的组队方式 第二类：选出的3名医生中有1名男医生2名女医生，有 CC=15(种)不同的组队方式 根据分类加法计数原理，一共有30+15=45（种）组队 方式 (2)17325需分两步 第一步：根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C2 种选法。 第二步：根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 种选法 根据分步乘法计数原理，此人有C2·C=17325(种)不同 的投资方式， (3)26在这8本杂志中，3本文学杂志是完全相同的，因 此从中选取并不是组合问题， 从这8本杂志里选取3本，可分四类完成 第一类：文学杂志选取0本，数学杂志选取3本，有C种不 同的选法. 15 第二类：文学杂志选取1本，数学杂志选取2本，有C:种不 同的选法. 第三类：文学杂志选取2本，数学杂志选取1本，有C种不 同的选法 第四类：文学杂志选取3本，教学杂志选取0本，有1种不 同的选法. 根据分类加法计数原理，不同选法的种数为C+C:+C:+ 1=26. 对点训练1：(1)A由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放 一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有A种不同的放法 (2)B由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， 所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C:种不同的放法 (3)D由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种 放法，第2个球有8种放法，·，第5个球也有8种放法.故不同 的放法共有8×8×8×8×8=85（种）. 例2：(1)74解法一（直接法），第一类，从5名男生中选出 2名男生，从4名女生中选出1名女生，有CC!=40(种)选法； 第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名 生，有C,C=30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女 生，有C=4(种)选法. 根据分类加法计数原理知，共有74种选法 解法二（间接法）：从所有的9名学生中选出3名，有C。种 选法，其中全为男生的有C种选法 所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C-C=74(种)， (2)64解法一（直接法）：4位作介绍的家长可分两类. 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4 位作介绍的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母 亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有2=16（种）： 第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即4位作介绍 的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有C4种，另2 位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有C种，并且 被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其 选法有2种.根据分步乘法计数原理知，作介绍的家长的选法 有C4·C×22=48(种) 根据分类加法计数原理知，满足题意的选法有16+48=64 (种). 解法二（间接法）：从8位家长中选出4位家长有Cg种选 法，其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C 种，所以满足题意的选法有Cg-C=64(种). 对点训练2：(1)需分两步完成： 第一步选3名男运动员，有C6种选法； 第二步选2名女运动员，有C种选法 故选法共有C6C4=120(种) (2)需分两步完成： 第一步选1名女运动员，有C种选法： 第二步选4名男运动员，有C6种选法 故选法共有C4C6=60(种) (3)方法一（直接法）至少有1名女运动员包括以下四种 情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原 理知选法共有C4C6+CC6+CC6+C4C6=246(种). 方法二（间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有C。 种选法，其中全是男运动员的选法有种.故至少有1名女运 动员的选法有Ci0-C6=246(种). (4)需分三类完成： 第一类“只有男队长”的选法为C种： 第二类“只有女队长”的选法为C种： 第三类“男、女队长都入选”的选法为C种： 故队长中至少有1人参加的选法共有2Cg+C=196(种). (5)当有女队长时，其他人的选法任意，共有C。种选法：当 不选女队长时，必选男队长，共有C。种选法，其中不含女运动员 的选法有C:种，故不选女队长时共有(C-C)种选法.所以既 有队长又有女运动员的选法共有Cg+Cg-C;=191(种) 例3：我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准. 第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有 C·Cg=48个不同的三角形； 第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有 C·C%=112个不同的三角形； 第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C =56个不同的三角形 由分类加法计数原理，不同的三角形共有 48+112+56=216(个) 对点训练3：(1)B如图，含顶点A的四面 体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出 3点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A 的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点 共面，此时共有3种取法. 故与顶点A共面的3个点的取法共有3C +3=33(种). (2)D如图，从10个点中取出4个点的取法有C1o种，除去 四点共面的取法种数可以得到结果 ①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有4C。 =60(种)： ②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6 种共面情况； ③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况 故4点不共面的取法有C。-(60+6+3)=141(种). 例4：(1)这是均匀编号分组问题. 第一步：从9本书中选3本给甲，有C。种选法 第二步：再从其余的6本书中选3本给乙，有C种选法 第三步：从余下的3本书中选3本给丙，有C种选法. 根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有C。C。C=三 1680(种). (2)这是均匀不编号分组问题 先将9本书平均放人1号箱，2号箱，3号箱 先放1号箱，有C。种放法： 再放2号箱，有C种放法： 最后把剩下的3本放入3号箱，有C种放法 因此共有C。C6C种放法 由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因 此会出现重复的分法，应用缩倍法，重复的是3个箱子的排列顺 序，应除以箱子的全排列数，即CCC÷A=280. 故共有280种不同的分配方法. (3)这是非均匀不编号分组问题 同(2)中思路，第一步共CCC4种放法. 由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书都不同，因此不 会出现重复的分法，因此共有1260种不同的分配方法 (4)这是非均匀编号问题.在(3)的基础上再进行全排列，所以 不同的分配方法共有CCC4·A=7560(种)： (5)这是部分均匀不编号分组问题 同(2)中思路，第一步共C。CC2种放法 这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样， 因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2 本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个箱子的全排列 数，即CCC÷A=378. 故共有378种不同的分配方法. (6)这是直接分配问题， 15 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法，再给乙选 书，有C2种选法，剩下的3本给丙， 故不同的分配方法共有CC=1260(种)， (7)这是直接分配问题 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法. 再把剩下的5本书分成本数分别为2,3的两份，有CC种 分法，把分好后的两份书分给乙、丙两个人，有A号种分法. 根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有 CCCA=2520(种). (8)这是直接分配问题 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法 再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有CC种方法， 故不同的分配方法共有CCC=756(种). (9)这是部分均匀编号分组问题. 在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人 不同的分配方法共有SCG.A=2268(种). A 例5：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻 名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把 名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对 应一种分法，共有C。=36(种)分法. 如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别 是2个，5个，3个 O0O00o0000 1班 2班 3班 (2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3 个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7 个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小 问的方法，可得有C%=15(种)分法. 如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别 是3+1=4（个），2+1=3（个），2+1=3（个）. oooooloo 1班 2班3班 (3)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问 题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额， 按照解第(1)小问的方法，可得有C,=66(种)分法 如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别 是3-1=2（个），6-1=5（个），4-1=3（个） ooooooooooo 1班 2班 3班 对点训练4：(1)A先给每个小朋友分三个苹果，剩余18 个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个“板”，共 有C,=680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同 的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，有680种不同的分配 方案. (2)B根据题意，分2步进行分析： ①5名医学专案分为3组若分为221的三组，有罗 =15种分组方法，若分为3,1,1的三组，有C=10种分组方法 则有15+10=25种分组方法： ②将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去A 医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点， 有2种情况，则3个组的分派方法有2×2=4种情况，则有25× 4=100种分配方法. 例6：144由题意知，必有1个盒子内放入2个小球从4个小 球中取出2个小球，有C种取法，此时把它看作1个小球，与另2个 小球（共3个小球）分别放人4个盒子中，有A种放法，所以满足题 意的放法有CA=144(种).或CCA=144 课堂检测固双基 1.C甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门 有C种选法. 所以共有C·C·C=6(种)选法. 2.C分两类：一类是2个白球有C=15种取法，另一类是2个 黑球有C=6种取法，所以取法共有15+6=21（种）， 3.D利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案， 根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400 ×600=40人，高中 部共描取①×器20，根据组合公式和分步计数原理则不洞 的抽样结果共有C0·C0种.故选D. 4.A人数分配上有1,1,3与1,2,2两种方式，若是1,1,3，则有 CSCC×=60(种)，若是1,2,2，则有SCC×E=90 A A (种)，所以共有150种，选A. 5.10先把6本书并成一排，它们之间有5个空，在5个空中选 出3个空放上“隔板”.6本书被分成了4组，4组书的本数也 恰好对应一种放书的方法，共有C=10(种). 3.3二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 必备知识探新知 知识点一Ca”+Cna-1b+…+Ca"-b+…+Cb Cka"-b 思考1：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 二项式系数是指C,C,…,C%,而项的系数是指该项中除 了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b 的值有关. 思考2：不同.(a+b)“展开式中第k+1项为Ca”-*b,而 (b+a)”展开式中第k+1项为Cb-*ad 关键能力攻重难 例1：(1)原式=C8(x-1)3+C5(x-1)4+C(x-1)3+C(x- 1)2+C(x-1)+C3-1=[(x-1)+1]5-1=x3-1. 2)方法-2r-是=2✉(- c(2x)(- G(2x)'(- 2+c2°=32-12a+0-5 xx +405_243 8x732x1 法二(2✉-(=这4-= (4x3)5(-3)°+C(43)4(-3)+C(4x3)3(-3)2+C3(4x3)2 （-3)3+C(4r)'(-3)+C(4r)(-3)5]=325-120x2+180 器 对点调练1：法一(3丘+方-3同 cs·左+·(+c3(a+c( =81r2+108x+54+12+1 x+ 15 法=(3+分-色业 =之(81+1082+54r2+12x+1) 2+®++是 (2)原式=1+2C+22C+…+2"C=(1+2)"=3”. 例2：由已知得二项展开式的通项为T,+ -e0(- =(-1)'C62-+·x3-2 T。=-12x2 .第6项的二项式系数为C=6, 第6项的系数为C·（-1)·2=-12 2z=G(-=(-1y心， .∴.9-2r=3. ∴r=3,即展开式中第四项含x,其系数为(-1)3·C=-84. 对点训练2：(1)D(1+x)°展开式的通项为T,1=C5x,令r= 1,2得，T2=Cx,T3=Cx2,因此题中表达式的展开式中含x2的项的 系数为C+aC5=5,解之得a=-1. (2)-120由多项式乘法的运算法则可知，(1-2x)泸(2+x)的 展开式中x3项的系数是(1-2x)5展开式中x项的系数的2倍与 (1-2x)5展开式中x2项的系数的和. :(1-2x)3展开式的通项为T,+1=(-2)C5x, 令r=3得到x3项的系数为-8C=-80 令r=2得到x2项的系数为4C=40, 所以(1-2x)(2+x)的展开式中x2项的系数是-80×2+40= -120. 故答案为-120， 例3：()因为=c(-子》 =4Cx岁 5=c-(引 =-20x号，依题意得4C:+2C=162, 所以2C2+C=81, 所以n2=81,n=9. (2)设第r+1项含x项，则 =G(-2)(-2G 所以2,3=3r=1, 所以第二项为含x的项： T2=-2Cgx2=-18x2. 对点训练3：(1)A(x-)4的二项展开式为T1=Cx4- （-=C(-1)-,(r=01,23,4),令4-7=3，解得r=2, 故所求即为C(-1)2=6.故选A. (2)①由题意，二项式(x+2√x)"的展开式的各项系数和比二 项式系数和大211，可得3-2”=211，解得n=5. ②展开式的通项为T,+1=C5x-‘(2) =C2x3-(r=0,1,…,5), 当r=0,2,4时5-2是整数 故展开式中所有有理项为：T1=x,T3=40x2,T=80x2. 例4：由题设，得T2=Cx-1（-2)=-2nx”-1,T4=C2x“-3, （一-2c心，于是有会方光筒得-4 5016 [辨析]计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一 组”还是“排成一列”，不能将二者混淆.若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会 导致重复计数 [正解] 课堂检测 固双基 1.下面几个问题是组合问题的有 )2.A-C= ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某A.9 B.12 C.15 D.3 两个乡镇的社会调查，有多少种不同的3.若A=6C,则m等于 () 选法？ A.9 B.8 C.7 D.6 ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种4.满足条件C4>C的正整数n的个数是() 不同的选法？ A.10 B.9 C.4 D.3 ③有4张电影票，要在7人中确定4人去观5.不等式C。3<C。2的解为 看，有多少种不同的选法？ ④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均 为2枪连中，不同的结果有多少种？ 夯基提能作业 A.①② B.①③④ 请同学们认真完成练案[4] C.②3④ D.①②③④ 第2课时 组合数的应用 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.学会运用组合的概念分析简单的实际 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运 问题， 算的素养 2.能解决无限制条件的组合问题， 必备知识探新知 1.对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法 2.对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关 思考：在解决排列组 键是要搞清楚事件是否与顺序有关 [思考]合的综合问题时要注 意哪些问题？ 017 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一无限制条件的组合问题 例L)有5名男医生和3名女医生，现要从中选3名医生组成地震医疗 小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数为 A.45 B.60 C.90 D.120 (2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和 规律方法： 7种债券，则此人有 种不同的投资方式。 求解无限制条件的组 (3)现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相 合问题的思路 同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 对于无限制条件的组 [分析]（1)选出的3名医生之间无顺序之分，因此是组合问题，但需要 合问题，首先要分清 对医生的组成人员分类求解：(2)选出的8种股票无顺序之分，选出的4种债 完成一件事情是需要 分类还是分步，在每 券也无顺序之分，因此是组合问题，但需要分选股票、选债券两步求解；(3)本 一类（或每一步）中注 小题需要注意一个问题，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问 意分清对象的总裁及 题，只有从5本不同的数学杂志中选书才是组合问题， 取出对象的个数，按 [规律方法] 照组合的定义，正确 地表示出相应的组合 】对点训练1 裁，再利用分类加法 (1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则 计数原理或分步乘法 不同的放法有 (）计数原理计数 A.A种 B.C种 C.58种 D.8种 (2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则 不同的放法有 () A.A种 B.C种 C.58种 D.8种 (3)5个不同的球，放人8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则 不同的放法有 ()》 A.A种 B.C种 C.58种 D.8种 题型二有限制条件的组合问题 例2()从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1 名女生参加的情况有 种 (2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其 对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法 有 种. 018 [分析]（(1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：①2名男生和 1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生.也可用间接法，用总的选法数 减去全部是男生的选法数.（2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没 有任何两个人是夫妻.第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻.在每一类 中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确 定具体的人来介绍子女的教育情况.也可以采用间接法，用总的选法数减去4 位家长有2对夫妻的选法数 [规律方法] 规律方法： 对点训练2 常见的限制条件及解 题方法 某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外 (1)特殊元素：若要 出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ 选取的元素中有特殊 (1)男运动员3名，女运动员2名； 元素，则要以有无特 (2)恰有1名女运动员； 殊元素，特殊元素的 (3)至少有1名女运动员； 多少作为分类依据. (4)队长中至少有1人参加； (2)含有“至多、至 (5)既要有队长，又要有女运动员. 少”等限制语句：要 分清限制语句中所包 含的情况，可以此作 为分类依据，或采用 间接法求解 (3)分类讨论思想：解 题的过程中要美于利 用分类讨论思想，将 复杂问题分类表达， 逐类求解 ●019 题型三几何中的组合问题 例3平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这 些点为顶点，可得多少个不同的三角形？ [分析]该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一 限制条件 规律方法： 要注意从不同类型的 几何问题中抽象出组 合问题，寻我一个组 合的模型加以处理. 处理几何中的计数问 题时要抓住“对应关 系”，如不共线三点 对应一个三角形，不 共面四点可以确定一 个四面体等.可借助 于图形思考问题，要 善于利用几何的有关 性质或特征解題.避 免重复或遗漏。 [规律方法] 》对点训练3 (1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它 们和点A不在同一平面上，不同的取法有 () A.30种 B.33种 C.36种 D.39种 (2)四面体的顶，点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不 同的取法有 A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 020 题型四组合应用中分组分配问题 角度1不同对象分配问题 规律方法： 例4.9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ 1.分组、分配问题的 (1)分给甲、乙、丙三人，每人3本； 求解策略 (2)分为三组，每组3本 (1)分组问题属于 (3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本； “组合”问题，常见 的分组问题有三种. (4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本； ①完全均匀分组，每 (5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本； 组的元素个数均 (6)分给甲、乙、丙三人，其中甲2本，乙3本，丙4本； 相等： (7)分给甲、乙、丙三人，其中甲4本，另外两人中有一人2本，一人 ②部分均匀分组，应 3本； 注意不要重复，若有 (8)分给甲、乙、丙三人，其中甲得5本，另外两人每人得2本； n组均匀，最后必须 (9)分给甲、乙、丙三人，其中一人得5本，另外两人每人得2本 除以n!; ③完全非均匀分组 这种分组不考虑重复 现象 (2)分配问题属于 “排列”问题 分配问题可以按要求 逐个分配，也可以分 组后再分配 2.相同元素分配问题 角度2相同对象分配问题 的建模思想 例5有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班 (1)隔板法：如果将 放有小球的盒子紧挨 (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ 着成一行放置，便可 (2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？ 看作排成一行的小球 (3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？ 的空隙中插入了若干 [分析](1)直接使用隔板法计数：(2)(3)先将问题进行等价转化，再隔板，相邱两块隔板 使用隔板法计数. 形成一个“盒”，每一 种插入隔板的方法对 应小球放入盒子的一 种方法，此法称之为 隔板法.隔板法专门 解决相同元素的分配 问题. (2)将n个相同的元 素分给m个不同的对 象(n≥m）,有C 种方法.可描迷为n D[规律方法] 1个空中插入m-1 块板 021 》对点训练4 (1)有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多 少种不同的分配方案？ () A.680 B.816 C.1360 D.1456 (2)我省5名医学专家驰授湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把5名专家分配到A,B,C三个集中 医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为 A.116 B.100 C.124 D.90 ●易错警示 计数时重复或遗漏致错 例6将4个不同的小球放入编号为1,23,4的4个盒了中，则恰好有1个空盒子的放法有 种（用数字作答） [错解一]从4个小球中任取3个小球，有C种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有C种取 法， 将3个小球放入取出的3个盒子中，有A；种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1 个，有3种放法。 所以满足题意的放法有C·C·A·3=288(种) [错解二]将3个球放入4个盒子中，有A种放法，再把余下的1个球放入3个盒子中的1 个，有3种放法， 所以满足题意的放法有A4·3=72(种) [辨析]导致错解的原因；错解一是重复计数；错解二是遗漏计数，分析如下 设4个不同的小球为a,b,c,d,从4个小球中取出3个， 若取出的是a,b,c,则d与a,b,c搭配，有a,d;b,d;c,d 若取出的是b,c,d,则a与b,c,d搭配，有b,a;c,a;d,a.其中a,d与d,a是同一种情况.这就是 错解一中出错的地方. 取3个小球，若取出的是a,b,c,则d与a,b,c搭配有a,d;b,d;c,d3种情况.遗漏了a,b;b,c; a,c这3种情况.这就是错解二中出错的地方. [正解] 022 课堂检测 固双基 1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中， 部分别有400名和200名学生，则不同的抽样 甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修 结果共有 ( 方案共有 () A.Ci·C点种 B.Ca·C8种 A.36种 B.48种 C.C0·C0种 D.C·C20种 C.96种 D.192种 4.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少 2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个 去一名志愿者，则不同的分派方法共有( 黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同 A.150种 B.180种 取法有 () C.200种 D.280种 A.27种 B.24种 5.6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒 C.21种 D.18种 子至少放一本书，有不同分配方法 种 3.(2023·新课标全国Ⅱ卷)某学校为了解学生 参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机 抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5]- 层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中 33二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.能用计数原理证明二项式定理， 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养。 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提 公式 升数学运算的素养 3.能解决与二项式定理有关的简单问题， 必备知识 探新知 知识点一 二项式定理 二项式定理 (a+b)"= (n∈N) 思考1：二项式定理 二项展开式 公式右边的式子 中，项的系数与二项 式系数相同吗？ 二项式系数 C(k∈{0,1,2，…，n) 二项展开式 的通项公式 T+1= 知识点二 二项展开式的特点 思考2：二项式(a+ (1)展开式共有n+1项. b)”与(b+a)”展开 (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 式的第k+1项是否 (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到 相同？ 为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为 n. [思考1]P[思考2]