3.1.3 第1课时 组合与组合数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

012 课堂检测 固双基 1.从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫 A.20种 B.30种 斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游 C.40种 D.60种 览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除，且 人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 无重复数字的不同的五位数有 A.(2A-A3)个 B.(2A-A)个 A.300种 B.240种 C.2A个 D.5A个 C.144种 D.96种 5.(2024·全国甲卷文科)甲、乙、丙、丁四人排成 2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率 乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 是( ) ( 1 B. A.192种 B.216种 3 C.240种 D.288种 C. 1 2 D 23 3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天 且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两 位前面.不同的安排方法共有 ( 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 3.1.3 组合与组合数 第1课时 组合与组合数 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解组合与组合数的概念 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值 的素养 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培 证明. 养数学运算的素养 必备知识 探新知 知识点一组合的定义 从n个不同对象中取出m(n≥m)个对象并成一组，称为从n个不同对象思考1：组合概念中的 中取出m个对象的一个组合. [思考1]两个要点是什么？ 013 知识点二组合数的概念、公式、性质 组合数 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有 的个数，称为从n个 定义 不同对象中取出m个对象的组合数 表示法 思考2：组合数的两个 性质在计算组合数时 乘积 4” 组合数 式 C= 有何作用？ 公式 阶乘 Cm= 式 性质 Cm= ,C%+1= 备注 ①n,meN*且m≤n,②规定：C-1 P[思考2] 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一组合的概念 例1下列问题不是组合问题的是 () 规律方法： A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种 判断一个问题是否为 组合问题的方法 选法？ 区分排列与组合的方 B.平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可 法是首先弄清楚事件 以构成多少条线段？ 是什么，区分的标准 C.集合{a,4,a,…,a含有三个元素的子集有多少个？ 是有无顺序，而区分 D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独 有无顺序的方法是： 唱、独舞节日，有多少种选法？ 把问题的一个选择结 [分析]区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素果写出来，然后交换 是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题.[规律方法] 这个结果中任意两个 》】对点训练1 元素的位置，看是否 会产生新的变化，若 已知A,B,C,D,E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合 有新变化，即说明有 顺序，是排列问题： 若无新变化，即说明 无顺序，是组合问题 014 题型二 组合数公式的应用 例2.()式子n+山)a+2-n+1m可表示为() 100! A.Ao B.C C.100C1m D.101C (2)求值：C“+C1 [分析]根据题目的特点，选择适当的组合数公式进规律方法： 行求值或证明， 巧用组合数公式解题 (1)涉及具体戴宇的可以直接用Cm= A2=n(n-1)(n-2)(n-m+1进 A m! 行计算 (2)涉及字母的可以用阶乘式C= m!(m-m)计第 n！ (3)与排列组合有关的方程或不等式问 题要用到排列裁、组合裁公式，以及组 合裁的性质，求解时，要注意由C中的 m∈N°，n∈N°，且n≥m确定m,n的 范围，因此求解后要验证所得结果是否 适合题意 ●[规律方法] 》】对点训练2 (1)计算：C+C8·C7: 2e哈忘品求 ●015 题型三组合数性质的应用 例3.1)计算C+G+C+…+c2m的值为 ()》 A.C B.C20 C.C2-1 D.C32n-1 (2)若C1=C3,则x的值为 (3)求证：Cm+2=Cm+2Cm1+Cm-2. [分析]恰当选择组合数的性质进行求值、证明与解 不等式 规律方法： 性质“℃=Cm”的意义及作用. 反映的是组合数的对称性，即从n个不 意义→ 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的(n-m)个元素的组合相对应 作用 当m>分时，计享C:道常转化为计算 ●[规律方法] 》对点训练3 (1)C9+C5+C+C+C+C; (2)解方程3C-3=5A-4 ●易错警示 混淆“排列”与“组合”的概念致错 例年某单位需派人同时参加甲，乙、丙三个会议，甲诺2人 参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三 个会议，不同的安排方法共有种（用数字作答）. [错解]先从10人中选出4人，共有C1。种不同选法. 再从选出的4人中选出2人参加会议甲有C:种选法，剩下 的2人参加会议乙、丙有C种选法，所以共有CCC= 1260(种). 016 [辨析]计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一 组”还是“排成一列”，不能将二者混淆.若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会 导致重复计数 [正解] 课堂检测 固双基 1.下面几个问题是组合问题的有 )2.A-C= ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某A.9 B.12 C.15 D.3 两个乡镇的社会调查，有多少种不同的3.若A=6C,则m等于 () 选法？ A.9 B.8 C.7 D.6 ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种4.满足条件C4>C的正整数n的个数是() 不同的选法？ A.10 B.9 C.4 D.3 ③有4张电影票，要在7人中确定4人去观5.不等式C。3<C。2的解为 看，有多少种不同的选法？ ④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均 为2枪连中，不同的结果有多少种？ 夯基提能作业 A.①② B.①③④ 请同学们认真完成练案[4] C.②3④ D.①②③④ 第2课时 组合数的应用 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.学会运用组合的概念分析简单的实际 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运 问题， 算的素养 2.能解决无限制条件的组合问题， 必备知识探新知 1.对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法 2.对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关 思考：在解决排列组 键是要搞清楚事件是否与顺序有关 [思考]合的综合问题时要注 意哪些问题？.A+A+A=20. 4.A能被5整除，则个位须为5或0，有2A:个，但其中个位是 5的含有0在首位的排法有A个，故共有(2A-A)个. 5.B解法一：画出树状图，如图， 甲 乙 甲 丙 丙丁乙丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 丙 甲 甲 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 81 故所求概率P=24=3 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1 种，共2种： 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1 种，共2种； 于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于 是共8种排法符合题意： 基本事件总数显然是A4=24, 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率 为员-子放选围 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数 必备知识探新知 思考1：(1)取出的对象是不同的， (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是 组合的特征性质， 知识点二不同组合Cnn-)(n-2)··(n-m+) m m!(n-m)1 C"C+C n! 思考2：第一个性质中，若m>2,通常不直接计算C,而改 为计算Cm,这样可以减少计算量：第二个性质是根据需要将 一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合 数，在解题中要注意灵活运用. 关键能力攻重难 例1：D组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D选 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独 舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排 列问题，不是组合问题，选D. 对点训练1：解法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的 顺序写出，即 AB C D E BC D E CD 15 .所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE,CDE. 解法二：画出树形图，如图所示。 D ∴.所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE, BDE.CDE. 例2：(1)D分式的分母是100！，分子是101个连续自然数 的乘积，最大的为n+100,最小的为n, 故2(n+1)(n+2)(n+100) 100! =101.n(n+1)(n+2)…(n+100) 101 =101Cim: (2)解：由组合数定义知： r0≤5-n≤n, l0≤9-n≤n+1, 所以4≤n≤5，又因为neN*, 所以n=4或5. 当n=4时，C”+Ci=C4+C=5: 当n=5时，C"+C2i=Cg+Cg=16. 对点训练2：(1)原式=C+Cm×1=8×7x6+100×99 3×2×1 2×1 56+4950=5006. (2)原方程可化为 m!(5-m)!_m!(6-m)!_7×(7-m)！mg 5！ 61 10×7! 即m!(5-m!_m!(6-m)(5-m! 5！ 6×5! =7×m!(7-m)(6-m)(5-m)！ 10×7×6×5! 1-6-m=(7-m)(6-m 6 60 即m2-23m+42=0,解得m=2或21. 而0≤m≤5，m=2. ..C9=C2=28. 例3：(1)CC4+C+C6+…+C20 =C+C好+C3+C6+…+C2m-C4 =C5+C5+…+C22m-1=… =C2m+C2m-1=C221-1. (2)2或4由Cg-1=C3得2x-1=x+3或2x-1+x+ 3=8,解得x=4或x=2 (3)由组合数的性质C+1=C:+C-1可知， 右边=(C+Cm1)+(Cm-1+C%-2) =C01+Cm=C02=左边， 右边=左边，所以原式成立 对点训练3：(1)原式=2(C9+C+C)=2(C6+C)= 26+-2 (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3-7145·-4 3.,(x-3)！ (x-6)1 则4》三6即为-3)-6=0 .x2-9x-22=0, 解之可得x=11或x=-2 经检验知x=11是原方程的根，x=-2是原方程的增根， 2 ·.方程的根为x=11 例4：解法一：2520先从10人中选出2人参加会议甲，再 从余下8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1 人参加会议丙. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 CCgC,=2520(种). 解法二：先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人 中选出2人分别参加会议乙、丙. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C。A: 2520(种). 课堂检测固双基 1.C①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组 合问题，故选C. 2.A由题意得A-C:=4x3-3X2=12-3=9 2 3.C因为A3=6C 所以m(m-1)(m-2〉 =6×m(m-1)(m-2)(m-3) 4×3×2×1 即1=3解得m7 4.CC4<C, .a(n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) 6×5×4×3×2×1 ..(n-4)(n-5)<30. ..n2-9n-10<0, 解得-1<n<10. 由题意n可取的值是6,7,8,9共四个 5.n=3,4,5,6,7由题意知3≤n≤12，且neN*, 10！ 10！ 由题意得n-3)!(13-n<(n-2)！(12-m1 解得n<7.5,所以n=3,4,5,6,7. 第2课时组合数的应用 必备知识探新知 思考：在解决此类问题时，要注意题中的隐含条件；解题过 程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”；在应 用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 关键能力攻重难 例1：(1)A根据题意，需分两类讨论 第一类：选出的3名医生中有2名男医生1名女医生，有 CC:=30(种)不同的组队方式 第二类：选出的3名医生中有1名男医生2名女医生，有 CC=15(种)不同的组队方式 根据分类加法计数原理，一共有30+15=45（种）组队 方式 (2)17325需分两步 第一步：根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C2 种选法。 第二步：根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 种选法 根据分步乘法计数原理，此人有C2·C=17325(种)不同 的投资方式， (3)26在这8本杂志中，3本文学杂志是完全相同的，因 此从中选取并不是组合问题， 从这8本杂志里选取3本，可分四类完成 第一类：文学杂志选取0本，数学杂志选取3本，有C种不 同的选法. 15 第二类：文学杂志选取1本，数学杂志选取2本，有C:种不 同的选法. 第三类：文学杂志选取2本，数学杂志选取1本，有C种不 同的选法 第四类：文学杂志选取3本，教学杂志选取0本，有1种不 同的选法. 根据分类加法计数原理，不同选法的种数为C+C:+C:+ 1=26. 对点训练1：(1)A由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放 一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有A种不同的放法 (2)B由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， 所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C:种不同的放法 (3)D由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种 放法，第2个球有8种放法，·，第5个球也有8种放法.故不同 的放法共有8×8×8×8×8=85（种）. 例2：(1)74解法一（直接法），第一类，从5名男生中选出 2名男生，从4名女生中选出1名女生，有CC!=40(种)选法； 第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名 生，有C,C=30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女 生，有C=4(种)选法. 根据分类加法计数原理知，共有74种选法 解法二（间接法）：从所有的9名学生中选出3名，有C。种 选法，其中全为男生的有C种选法 所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C-C=74(种)， (2)64解法一（直接法）：4位作介绍的家长可分两类. 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4 位作介绍的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母 亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有2=16（种）： 第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即4位作介绍 的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有C4种，另2 位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有C种，并且 被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其 选法有2种.根据分步乘法计数原理知，作介绍的家长的选法 有C4·C×22=48(种) 根据分类加法计数原理知，满足题意的选法有16+48=64 (种). 解法二（间接法）：从8位家长中选出4位家长有Cg种选 法，其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C 种，所以满足题意的选法有Cg-C=64(种). 对点训练2：(1)需分两步完成： 第一步选3名男运动员，有C6种选法； 第二步选2名女运动员，有C种选法 故选法共有C6C4=120(种) (2)需分两步完成： 第一步选1名女运动员，有C种选法： 第二步选4名男运动员，有C6种选法 故选法共有C4C6=60(种) (3)方法一（直接法）至少有1名女运动员包括以下四种 情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原 理知选法共有C4C6+CC6+CC6+C4C6=246(种). 方法二（间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有C。 种选法，其中全是男运动员的选法有种.故至少有1名女运 动员的选法有Ci0-C6=246(种). (4)需分三类完成： 第一类“只有男队长”的选法为C种： 第二类“只有女队长”的选法为C种： 第三类“男、女队长都入选”的选法为C种：