3.1.1 基本计数原理-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[1] 第三章排列、组合与二顶式定理 3.1[3.1.1基本计数原理] b组·素养自测 作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电 一、选择题 脑，而丁只会操作A型号的电脑.从这4名操 作人员中选3人分别去操作这三种型号的电 1.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8 脑，则不同的选派方法有 种 个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个 球，不同取法的种数为 ( 8.由0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成 A.182 B.14 C.48 D.91 个无重复数字的四位偶数 2.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个， 三、解答题 至多5个，则不同的分法共有 9.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}， A.4种 B.5种C.6种 则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的 D.7种 圆的个数是多少？ 3.如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供 选择.要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区 域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为 A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 4.已知函数y=ax2+bx+c,其中a、b、c∈{0,1,10.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机 2,3,4},则不同的二次函数的个数共有 ( 卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通 A.125个 B.15个 手机卡 C.100个 D.10个 (1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使 5.体育老师把9个相同的足球放人编号为1,2,3 用的手机卡，共有多少种不同的取法？ 的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小 (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移 于其编号，则不同的放球方法有 动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共 A.8种 B.10种 有多少种不同的取法？ C.12种 D.16种 二、填空题 6.如图，在由开关组A与B组成的并联电路（规 定只能合上其中一个开关)中，接通电源使灯 泡发光的方法有 种. 7.有A、B、C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、 丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操 —101 8组·素养提升 6.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,向量 一、选择题 a=(m,n)和向量b=(1,-1)的夹角为0，则0 为锐角的概率是 1.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字 的三位数的个数为 7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是 一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短 A.243 B.252 C.261 D.279 的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种 2.大学生小王和小张即将参加实习，他们分别从 方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为 荆州市荆州中学，荆门市龙泉中学、钟祥一中， “=1”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹 襄阳市第四中学、第五中学，宜昌市第一中学、 不能剩余，则可以表示的两位数的个数为 夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所 参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学 校，假设他们选择哪所学校是等可能的，则他 们在同一个市参加实习的概率为 ( ,245678 A月 B Ci D.13 三、解答题 21 8.4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个 3.如图为我国数学家赵爽（约3 人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同 世纪初)在为《周髀算经》作注 取法？ 时验证勾股定理的示意图，现 用5种颜色给A,B,C,D,E五 个区域涂色，规定每个区域只 涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则A,C区 域涂色不相同的概率为 A. B c 4.（多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选 择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表 所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外9.如图，一个正方形花圃被分成5份.若给这5 一节上自习，则下列说法正确的是 ( 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色 第1节 第2节 第3节 第4节 的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 花，求有多少种不同的种植方法？ 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班历史B层1班 物理A层1班生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 B 物理B层2班生物B层1班物理B层1班 物理A层4班 D 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 A.此人有4种选课方式 B.此人有5种选课方式 C.自习不可能安排在第2节 D.自习可安排在4节课中的任一节 二、填空题 5.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8 本不同的英语书，从中任取两本不同类的书， 共有不同的取法 种. —102[练案 练案[1] A组·素养自测 1.C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48，故 选C. 2.A分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分 别为4个、5个，只有一种分法：若最少一堆是2个，则由3+5 =4+4知有2种分法：若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4 个，故共有分法1+2+1=4种 3.C解法一：分两种情况： (1)A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D各有 1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2=24种 (2)A、C同色，先涂A有4种，E有3种，B、D各有2种，由分 步乘法计数原理知有4×3×2×2=48种 由分类加法计数原理知，共有72种，故选C. 解法二：先涂A,有4种涂法，再涂B、D,①若B与D同色，则B 有3种，E有2种，C有2种，共有4×3×2×2=48种： ②若B与D不同色，则B有3种，D有2种，E有1种，C有1 种，共有4×3×2×1×1=24种 由分类加法计数原理知，共有不同涂法48+24=72种. 4.C由题意可得a≠0，可分以下几类， 第一类：b=0,c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有 4×4=16个不同的函数； 第二类：c=0,b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有 4×4=16个不同的函数； 第三类：b≠0，c≠0，此时a,b,c都各有4种选择，共有4×4×4 =64个不同的函数； 第四类：b=0,c=0,此时a有4种选择，共有4个不同的函数， 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N=16+ 16+64+4=100(个).故选C. 5.B首先在三个箱子中放人个数与编号相同的球，这样剩下三 个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每 个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两 份，1和2，这两份在三个位置，有3×2=6种结果；第三种方 法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果。 综上可知共有1+6+3=10种结果 6.5要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B 组成的并联电路中，只要合上题图中的任一开关，接通电源， 灯泡就会发光.因此接通电源使灯泡发光的方法有2+3=5 (种). 7.8要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号 的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙 不会操作C型号的电脑，故有2×2×1=4（种）选派方法：第 二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2 -11 部分] 种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方 法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选设方法.根据 分类加法计数原理，知共有4+2+1+1=8（种）选派方法. 8.420要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”， 所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位 数中的四个数字不重复.因此应先分类，再分步. 第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个 位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两 个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数 字.根据分步乘法计数原理，取法有3×4×5×4=240（种）. 第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个 位数字可以取除千位数字外任意一个偶数数字，百位数字不 能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数 字重复的数字.根据分步乘法计数原理，取法有3×3×5×4= 180(种). 根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数有 240+180=420(个). 9.圆方程由三个量a、b、r确定，a,b,r分别有3种、4种、2种选 法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2= 24(个). 10.(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种 取法； 第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种 取法. 根据分类加法计数原理，共有10+12=22（种）取法. (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种 取法： 第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种 取法 根据分步乘法计数原理，共有10×12=120（种）取法 B组·素养提升 1.B由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成的三 位数的个数为9×10×10=900，组成无重复数字的三位数的 个数为9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数的个数 为900-648=252. 2.C由题意知，两人从七所学校中随机选择一所参加实习，共 有7×7=49种选法，他们在同一个市参加实习共有1×1+2 ×2+2×2+2×2=13种选法，所以他们在同一个市参加实习 的概率为号放选C 3.D分4步进行分析： 第1步，对于A区域有5种颜色可选； 3 第2步，因为B区域与A区域相邻，所以有4种颜色可选； 第3步，对于E区域，因为与A,B区域相邻，所以有3种颜色 可选； 第4步，对于D,C区城，若D与B颜色相同，则C区域有3种 颜色可选； 若D与B颜色不相同，D区城有2种颜色可选，C区域有2种 颜色可选，则区域D,C共有3+2×2=7种选择。 综上，不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A,C区 域涂色不相同的情况有5×4×3×2×2=240种. 所以A,C区域涂色不相同的概率为P=207 240.4 4.BD由于生物在B层，只有第2,3节有，故分两类： 若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法 其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2=4种（此种情况 自习可安排在第1、3、4节中的某节)： 若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节， 自习只能选第2节，故有1种 根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5种， 综上，自习可安排在4节课中的任一节。 5.242取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原 理有10×9=90（种）不同取法： 取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8=72（种）不同 取法； 取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80（种）不同 取法 综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80= 242(种)不同取法. 68 cos0=a·b m-n ab=2.m+n元 rm-n>0. 0e(0,受) ra·b>0. m-n Laxb. <1」 √2m2+2n .m>n,则m=2时，n=1:m=3时，n=1,2:m=4时，n=1,2 3;m=5时，n=1,2,3,4:m=6时，n=1,2,3,4,5. 则这样的向量a共有1+2+3+4+5=15（个）： 而第一次投掷骰子得到的，点数m有6种情形，同样n也有6 种情形，∴.不同的向量a=(m,n),共有6×6=36个，因此所 求藏幸P-名-高 7.16根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1,5；1,9；2， 4;2,8;6,4;6,8;3,3;3,7;7,7. 数字组合1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,7中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示2×7=14个两位数； 数字组合3,3：7,7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示 2×1=2个两位数. 综上，共可以表示14+2=16个两位数， 8.将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四 17 位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位4不在千位的 四位数有多少个”.因此，可分三步，第一步确定个位数，有3 种不同的方法：第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任 一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有 一种方法，由分类计数原理可得不同的分配方法为3×3= 9种. 9.先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植， 有3种不同的种植方法：对C部分种植进行分类： ①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种 植方法，共有4×3×1×2×2=48（种）： ②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种 植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2=48 (种)；综上所述，共有96种种植方法. 练案[2] A组·素养自测 1.AD根据排列的定义进行判断 2.C符合题意的商有A=4×3=12. 3.A因为最大数为m+20,所以共有21个自然数连续相乘，根 据排列公式可得m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20) =A0*20 8 9！ 4.B由92nx3=1-x4, 得(11-n)(10-n)=12,解得n=7,n=14(舍). 5.B先确定最大数，即n,再确定因式的个数，即m,易知n= x-2,m=(x-2)-(x-15)+1=14,所以原式=A42 6.20先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不 命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个 进行排列，有A=20种 5A8+Ag8×7×6×5×4+8×7×6×5 5 7.278-元9x8x7×6x5x4-9×8X7×6x57 8.720这是6个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有 A6=6×5×4×3×2×1=720(种). 9.(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列：其他问题则不是 排列. 10证明：左边=n2+n-4 n！ =n![(n-k+1)+k] (n-k+1)! (n+1)n!(n+1)！ (n-k+1)1=(n-k+1)1' 右边=所以+= B组·素养提升 1.D根据题意，2021×2020×2019×2018×2017×·× 1981×1981=A221 2.C由排列数公式知，A,A,…,A10中均含有2和5的因子， 故个位数均为0，所以S的个位数字应是A+A2+A:+A的 4