4.3.2 独立性检验-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[18] 第四章 概率与统计 4.3[4.3.2 独立性检验] 名组·素养自测 附表： 一、选择题 P(X2≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 1.(多选)下列说法正确的是 A.事件A与B独立，即两个事件互不影响 n(ad-bc)2 B.事件A与B关系越密切，则X就越大 随机变量X=(a+b)(c+)(a+c)(b+d)' 经计算X≈4.762，参照附表，下列结论正确的 CX的大小是判定事件A与B是否相关的唯 一根据 是 () D.若判定两事件A与B相关，则A发生B A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为 定发生 “是否爱好踢键子与性别有关” 2.事件A,B是相互独立的，下列四个式子： B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为 ①P(AB)=P(A)P(B):②P(AB)=P(A)P(B); “是否爱好踢毽子与性别无关” ③P(AB)=P(A)P(B);④P(AB)=P(A)P(B). C.有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性 其中正确的有 别有关” A.1个 B.2个 D.有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子 C.3个 D.4个 与性别无关” 3.某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查5.2019年10月18日至27日，第七届世界军人 沙门氏菌带菌情况，结果如表： 运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得 带菌数 不带菌数 总计 133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各 屠宰场 8 32 40 国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随 零售点 14 18 32 机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数 总计 22 50 72 据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查 利用独立性检验估计屠宰场带菌与零售点猪 的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表 肉带菌 示满意的男性运动员的概率为)；②在犯错误 A.有95%的把握有关 的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对 B.无关 主办方表示满意与运动员的性别有关”； C.有99%的把握有关 D.无法判断 ③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示 4.通过随机询问100名性别不同的大学生是否 满意与运动员的性别有关”. 爱好踢毽子，得到如下的列联表： 男性运动员女性运动员 对主办方表示满意 200 220 男 女 总计 对主办方表示不满意 50 爱好 30 10 40 50 不爱好 20 30 50 则正确说法的个数为 总计 30 70 100 A.0 B.1 C.2 D.3 144 二、填空题 附：K= n(ad-bc)2 6.(一题两空)在一项打鼾与患心脏病的调查 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 中，共调查了1671人，经过计算X2=7.63.根 P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 据这一数据分析，有 的把握说，打 3.841 6.635 10.828 鼾与患心脏病是 的.（“有关”或“无 关”) 7.若两个分类变量x和y的列联表为： y 2 15 X2 40 10 则x与y之间有关系的概率约为 8.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选 该课程的一些学生情况，具体数据如下表： 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根 据表中数据，得到x-02010×72 23×27×20×30 ≈4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性10.2020年3月，工业和信息化部信息通信发展 别有关系，那么这种判断出错的可能性约是 司发布《工业和信息化部关于推动5G加快 发展的通知》，鼓励基础电信企业通过套餐升 三、解答题 级优惠、信用购机等举措，促进5G终端消费， 9.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分 加快用户向5G迁移.为了落实通知要求，掌 为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的 握用户升级迁移情况及电信企业服务措施， 质量，分别用两台机床各生产了200件产品， 某市调研部门随机选取了甲、乙两个电信企 产品的质量情况统计如下表： 业的用户共165户作为样本进行满意度调 一级品 二级品 合计 查，并针对企业服务措施设置了达标分数线， 甲机床 150 50 200 按照不低于80分的定为满意，低于80分的 乙机床 120 80 200 为不满意，调研人员制作了如图所示的2×2 合计 270 130 400 列联表， (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频 满意 不满意 合计 率分别是多少？ 甲企业用户 75 (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质 乙企业用户 20 量与乙机床的产品质量有差异？ 合计 145 已知从样本的165户中随机抽取1户为满意 分组·素养提升 的概率是品 、选择题 (1)请将2×2列联表补充完整，并判断能否 1.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等 有95%的把握认为“满意度与电信企业服务 于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩， 措施有关系”？ 得到如下列联表： (2)为了进一步了解用户对电信企业服务措 优秀 非优秀 总计 施不满意的具体情况，调研人员在样本中的 甲班 10 b 甲企业用户中按照下面的方法抽取一户进行 乙班 c 30 详细调查了解：把甲企业用户中不满意的户 总计 105 主按2,3,4,5，…进行编号，再先后两次抛掷 已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概 一枚质地均匀的骰子，出现点数之和为被抽 取户主的编号，且规定点数之和为12时抽取 率为2X-6.109.则下列说法正确的是( 的编号为2.试求抽到5号或10号的概率. 附： 下面临界值表仅供参考： P(X2≥k) 0.050 0.010 0.001 P(K2≥o)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 3.841 6.635 10.828 o 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式：2= n(ad-be)2 A.列联表中c的值为30，b的值为35 -(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' B.列联表中c的值为15，b的值为50 其中n=a+b+c+d) C.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性 要求，能认为成绩与班级有关系 D.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性 要求，不能认为成绩与班级有关系 2.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生是否 喜欢抖音和性别有关”作了一次调查，其中被 调查的男、女生人数相同，男生中喜欢抖音的 人数占男生人数的子，女生中喜欢抖音的人数 占女生人数？，若有95%的把握认为是香喜欢 抖音和性别有关，则调查人数中男生的人数可 能为 附： P(X2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A.20 B.40 C.60 D.30 146 3.(多选)有两个分类变量X,Y,其列联表如下 如表所示（单位：人）： 所示， 80及80分以上 80分以下 总计 Y 实验班 35 15 50 e 20-a 对照班 20 m 50 X2 15-a 30+a 总计 55 45 n 其中a,15-a均为大于5的整数，若在犯错误 (1)m= ,n= 的概率不超过0.O5的前提下认为X,Y有关， (2)根据表中数据得到的结论是 则a的值为 ( A.6 B.7 C.8 D.9 6.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径 4.(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践 尺寸（单位：mm)的值落在[29.94,30.06）的 中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的 零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽 变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并 出了500件，量其内径尺寸，得结果如表： 将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨 甲厂： 淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”…小波同 [29.86,[29.90.[29.94,[29.98.[30.02,[30.06,[30.10, 学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察 分组 29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10) 30.14) 了A地区的100天日落和夜晚天气的情况，得 颜数 12 63 861829261 4 到如下2×2列联表： 夜晚天气 [29.86,[29.90,29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10, 下雨 未下雨 分组 日落云里走 29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14) 出现 25 5 颜数29 7185159766218 未出现 25 45 (1)两个分厂生产的零件的优质品率分别 并计算得到X=19.05,下列小波对A地区天 为 气判断正确的是 (2)有 的把握认为“两个分厂生产的 附： 零件的质量有差异”、 P(X≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001 7.(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检 k 2.706 3.841 6.635 10.828 查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随 A夜晚下雨的概率约为) 机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 B.在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下 患该疾病 20 180 200 雨的概率约为日 未患该疾病 780 20 800 C.有99.99%的把握认为“日落云里走“是否 合计 800 200 1000 出现与当晚是否下雨有关 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的 D.出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为 概率为P,求P的估计值： 夜晚会下雨 (2)根据小概率值=0.001的独立性检验，分 二、填空题 析超声波检查结果是否与患该疾病有关 5.某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月 n(ad-be)2 后进行了一次检测，实验班与对照班成绩统计 X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' -147 P(x2≥k) 0.05 0.010 0.001 分布直方图如图： 3.841 6.635 10.828 +频率/组距 0.040 0.034 0.032 883% 88t 25303540455055606570箱产量/kg 旧养殖法 ,, ↑频率组距 三、解答题 0.068 8.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全 校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如 0.046 0.044 下表所示： 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 0.020 北方学生 10 10 20 0.010 合计 70 30 100 8.0 o入 3540455055606570箱产量kg (1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为 新养殖法 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 方面有差异； 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养 (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系 殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率； 的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学 (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否 生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的 有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 概率 箱产量<50kg 箱产量≥50kg n(ad-be)2 旧养殖法 =(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)' 新养殖法 PX≥k) 0.100 0.050 0.010 附： 2.706 3.841 6.635 P(X≥) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 n(ad-be)2 X=(a+b)(e+d)(a+e)(b+d) 9.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方 法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网 箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg),其频率 —148则中位数为209.35210.68=210.015 2 (2)由题意，数据共10个，211以上数据共有4个， 故设事件A=“恰有2个数据在211以上”， 则P(A)= C。=10' 放恰有2个数据在21以上的概率为高 (3)由题意，成绩的平均数 206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93 10 =211.399, 由直线y=-0.311x+6过(2006,211.399)， 则6=211.399+0.311×2006=835.265 故回归直线方程为y=-0.311x+835.265. 当x=2028时，y=-0.311×2028+835.265=204.557≈204.56. 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 练案[18] A组·素养自测 1.AB由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义 知，B选项正确X的大小是判定事件A与B是否相关的一种 方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件A与B相关，则A 发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确。 2.D事件A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互 独立. 3.AX-72×8X18-4×32≈4.726>3.841 22×50×40×32 4.AX2≈4.762>3.841，参照题中附表，可得在犯错误的概率 不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢键子与性别有关”.故 选A 5.B任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员 的藏率为贺-号放①错误： X-500×200X3050×20=5.952<6.635,故②错误， 420×80×250×250 ③正确.故选B. 6.99%有关X2=7.63,X2>6.635,因此，有99%的把握 说，打鼾与患心脏病是有关的。 7099f-g510+00,0456-182 .18.822>10.828, .x与y之间有关系的概率约为1-0.001=0.999. 8.5%.P(x≥3.841)=0.05，故判断出错的可能性为5%. 9.(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是 8=0,75,乙机床生产的产品中-级品的频幸是”=0.6 (2)根据题表中的数据可得 4=400×(150×80-120×50）2=400=10.256 200×200×270×130 -19 因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品 质量与乙机床的产品质量有差异 10.(1)设样本中乙企业用户中满意的有x户，结合列联表知， P=75+=9,解得x=60; 16511 所以，填写2×2列联表是： 满意 不满意 合计 甲企业用户 75 10 85 乙企业用户 60 20 80 合计 135 30 165 n(ad-be)2 计算K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d西 =165(75×20-10×60)2_165 4.853>3.841 135×30×85×80 -34 所以能判断有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措 施有关系” (2)设“抽到5号或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚骰 子，出现的点数为(m,n),则所有的基本事件的个数有6×6 =36, 事件A包含的基本事件个数(m+n=5或m+n=10)有： (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4)共有7 个所以所求事件的薇率为P一石 B组·素养提升 .C在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为子， ·成绩优秀的人数为105×号=30，非优秀的人数为1心-0 =75 ∴.c=30-10=20,b=75-30=45, X=105×I0x30-20x45)≈6.109>3.841 30×75×50×55 ·.若按95%的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系.故 选C. 2.C设男生可能有x人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 于 3 2 女生 总计 子 3 2x 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则X≥ 4 2.31 3.841,由X 2x5x·5-5· 73 2≥3.841，解得 x≥40.3305，又由题意知，x是5的整数倍， 9 ·.60满足题意.故选C 3.CD根据公式，得 X-65×[a(30+a)-15-a)(20-a1 20×45×15×50 -13×(13a-60)2 >3.841,根据a>5且15-a>5 20×45×3×2 aeZ,求得当a=8或9时满足题意 4.ABC对于选项A,因为夜晚下雨的天数一共有25+25=50 (天)，所以夜晚下雨的概率约为忍=分，放A正确对于选 项B,未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落 云里走”的一共有25+45=70（天），所以在未出现“日落云里 走“的条件下，夜晚下雨的概率约为亮-各，放B正确对于 选项C,因为X2≈19.05>10.828，所以有99.9%的把握认为 “日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关，故C正确，D错 误，故选ABC. 5.(1)30100m=45-15=30,n=50+50=100 (2)有99%的把握说“教学方式与成绩有关系” 由表中的数 据得X=100×35x30-:15x20≈9.091. 50×50×55×45 因为9.091>6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩 有关系” 6.(1)72%,64%甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲 厂生产的零件的优质品率估计为360×100%=72%： 500 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的 优质品率估计为器x1064%, (2)99% 甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计 500 500 1000 X=1000×(360×180-320×140)2 500×500×680×320 ≈7.35>6.635 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差 异” 7.(1)根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患 病，所以P的结计值为器品 (2)零假设为H。:超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得， X=1000×20×20780x180)=765.625>10.828 800×200×800×200 =x0.001+ 根据小概率值α=0.001的x独立性检验，我们推断H不成 立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概 20( 率不超过0.001。 【知识拓展】独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表： n(ad-be)2 (2)根据公式X=a+b0cC+d)a+cb+计算 (3)比较X与临界值的大小关系，作统计推断。 ,将2×2列表中的数据代入公式计算，得 X=100×60X10-20x102-1004762. 70×30×80×20 21 由于4.762>3.841，所以95%的把握认为南方学生和北方学 生在选用甜品的饮食习惯方面有差异. (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的 基本事件空间2={(a,a2,b),(a1,a,b2),(a1,a2,b3), (a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1, b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)},其中a,表示喜欢甜品的学生，i =1,2,b表示不喜欢甜品的学生，j=1,2,3. 基本事件空间2由10个基本事件组成，且这些基本事件的出 现是等可能的. 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A= {(a1,b1,b2),(a1,b1,b3）,(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1, b3）,(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 事件A由7个基本事件组成，因面P()=石 ·(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事 件“新养殖法的箱产量不低于50kg”, P(A)=P(BC)=P(B)P(C), 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+ 0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 故P(B)的估计值为0.62， 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+ 0.010+0.008)×5=0.66. 故P(C)的估计值为0.66 则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)·P(C)= 0.62×0.66=0.4092, .A发生的概率为0.4092. (2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表： 箱产量 箱产量 总计 <50kg ≥50kg 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则X-200x(62×66.38x34=15.706. 100×100×96×104 由15.705>6.635 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关