课时测评2 两个计数原理的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评2　两个计数原理的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．由数字1，2，3，4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是(　　 ) A．4 B．8 C．16 D．24 答案：B 解析：由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8. 2．如图所示，“中国印”被中间的白色图案分成了5个区域，现给它着色，要求相邻区域不能用同一颜色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同的着色方法有(　　 ) A．120种 B．72种 C．48种 D．24种 答案：B 解析：以所选颜色的种数为标准，可分两类进行：第一类，用3种颜色有4×3×2＝24(种)；第二类，用4种颜色有4×3×2×2＝48(种)．所以共有24＋48＝72种不同的方法，故选B． 3．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各一名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为(　　 ) A．11 B．30 C．56 D．65 答案：B 解析：先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法． 4．(多选)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，则下列结论中正确的是(　　) A．当b＝－3时，该方程可表示16条不同的抛物线 B．当b＝－3或3时，该方程可表示32条不同的抛物线 C．当b＝－2或2时，该方程可表示23条不同的抛物线 D．当b＝1或3时，该方程可表示32条不同的抛物线 答案：ACD 解析：若方程表示抛物线，则a≠0，b≠0，方程变形得y＝x2＋，当b＝－3时，a＝－2，c＝0，1，2，3或a＝1，c＝－2，0，2，3或a＝2，c＝－2，0，1，3或a＝3，c＝－2，0，1，2.当b＝3时，a＝－2，c＝0，1，2，－3或a＝1，c＝－2，0，2，－3或a＝2，c＝－2，0，1，－3或a＝－3，c＝－2，0，1，2，以上两种情况中有9条重复，故共有16＋16－9＝23(条)．同理当b＝－2或b＝2时，共有16＋16－9＝23(条)．当b＝1时，a＝－3，c＝－2，0，2，3或a＝－2，c＝－3，0，2，3或a＝2，c＝－3，－2，0，3或a＝3，c＝－3，－2，0，2，共有16条． 5．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为(　　 ) A．18 B．20 C．25 D．10 答案：A 解析：第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋值有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5×4＝20(种)．又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线．A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线． 所以形成不同的直线最多的条数为20－2＝18. 6．有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域涂不同色，则不同的涂色方法共有________种． 答案：4 320 解析：第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320种不同的涂色方法． 7．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 答案：2 880 解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24种方法；第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)． 8．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A、B的值，则方程表示不同直线的条数是________． 答案：22 解析：若A＝0，则B从1、2、3、5、7中任取一个，均表示直线y＝0；同理，当B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20条不同的直线．故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22. 9．(10分)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？ 解：方法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 方法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)． 10．(10分)用1，2，3，4四个数字(可重复的)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}． (1)写出这个数列的前11项；(4分) (2)若an＝341，求项数n.(6分) 解： (1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133. (2)比an＝341小的数有两类： ①首位是1或2： ， ②首位是3： 故共有2×4×4＋1×3×4＝44(项)．因此an＝341是该数列的第45项，即n＝45. 11．(5分)将3张不同的奥运门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法有(　　) A．2 610种 B．720种 C．240种 D．60种 答案：B 解析：将3张门票分给3人，是一个分步计数问题，第一张门票，应从10名同学中选择1人得到，共有10种分法；第二张门票，应从剩下的9名同学中选择1人得到，共有9种分法；第三张门票，应从剩下的8名同学中选择1人得到，共有8种分法，根据分步乘法计数原理知，共有10×9×8＝720(种)分法． 12．(5分)6名同学报考A，B，C三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有(　　) A．216种 B．3 240种 C．729种 D．540种 答案：D 解析：6人随意报3校是36＝729种，A没人报的情况有26＝64种，同理B，C也是这么多，上面将两所学校没人报的情况重复计数了，AB都没人报只有1种情况，AC，BC也是，所以答案是729－3×64＋3＝540(种)． 13．(10分)设集合A＝{2，4，6，8}，B＝{1，3，5，7，9}．现从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字． (1)能组成多少个不同的两位数？(4分) (2)能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数？(6分) 解：(1)分两步：第一步，确定十位上的数字，共有4种取法；第二步，确定个位上的数字，共有5种取法，由分步乘法计数原理得组成的两位数共有4×5＝20(个)． (2)十位数字小于个位数字的两位数可分为以下四类：第一类，十位数字为2，个位数字有3，5，7，9这4种选法；第二类，十位数字为4，个位数字有5，7，9这3种选法；第三类，十位数字为6，个位数字有7，9这2种选法；第四类，十位数字为8，个位数字只能为9.由分类加法计数原理可知，符合题意的两位数共有4＋3＋2＋1＝10(个)． 14．(5分)(多选)高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(　　) A．所有可能的方法有35种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 答案：BC 解析：对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有5×5×5＝53种选择方案，故A错误；对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，故B正确；对于选项C，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，故C正确；对于选项D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，故D错误．故选BC． 15．(15分)如图所示，从左到右共有5个空格． (1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？(5分) (2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？(10分) 解：(1)由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法，再放余下的第二、三、四位，共有3×2×1＝6种，根据分步乘法原理，这样的五位数的奇数共有2×3×3×2×1＝36(个)． (2)从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有3×24＝48(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $