3.1.2 第1课时 排列与排列数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

004 课堂检测 固双基 1.自2020年起，山东夏季高考成绩由“3+3”组3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 成，其中第一个“3”指语文、数学、外语3科，第 二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历 A.24种B.4种 C.43种D.34种 史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同4.（四川高考题)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复 学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从 数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科 目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数 A.144个B.120个C.96个D.72个 为 )5.一个科技小组中有4名女同学和5名男同学 A.6 B.7 C.8 D.9 从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法 2.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1， 共有 种；若从中任选1名女同学和1 2,3,…,9},且P二Q.把满足上述条件的一对 名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有 有序整数对(x,y)作为一个点的坐标，则这样 种 的点的个数是 A.9 B.14 C.15 D.21 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]- 3.1.2 排列与排列数 第1课时排列与排列数 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 题的所有排列.（重点） 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的 2.会用排列数公式进行求值和证明.（难点) 素养 必备知识 探新知 知识点一 排列的概念 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照 排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. (2)特别地 时的排列（即 的排列)称为全排列， [思考1] 思考1：两个排列相同 的条件是什么？ 知识点二排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的 的个数，称为从n个不同对象 中取出m个对象的排列数 排列数的表示 (n,n∈N*,m≤n) 排列 乘积式 A"= 式 阶乘式 A%= n！ (n-m)！ 思考2：排列与排列数 的区别是什么？ 阶乘 A= 规定 0! ,A9= 性质 A+mA"-1= [思考2] ●005 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一排列的概念 例1下列向题是排列问题吗？说明你的理由。 (1)从12、3三个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可 能？ (2)从1、2、3、5四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的 可能？ (3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个 座位安排3个客人，又有多少种方法？ (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (5)某班40名学生在假期相互通信。 [分析]判断是不是排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺 序有关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题 规律方法： 1.解决本题的关键有 两点：一是“取出元素 不重复”，二是“与 顺序有关”· 2.判断一个具体问题 [规律方法] 是不是排列问题，就 》对点训练1 看取出元素后排列是 判断下列问题是不是排列问题， 有序的还是无序的， (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐 而检验它是否有序的 标，可得多少个不同的点的坐标？ 依据就是变换元素的 (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取 “位置”（这里的“位 置”应视具体问题的 方法？ 性质和条件来决 (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出 定)，看其结果是否 来，不同的出入方式共有多少种？ 有变化，有变化就是 排列问题，无变化就 不是排列问题 0069 题型二排列数的计算公式 例2(1)计算A品和A (2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55). 规律方法： (3)化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m). 排列裁的计算方法 [分析](1)直接用排列数公式计算；(2)(3)用排列数公式的定义解答 （1)排列戴的计算主 即可. 要是利用排列裁的乘 积公式进行，应用时 注意：连续正整数的 积可以写成某个排列 数，其中最大的是排 列对象的总个数，而 正整数（因式）的个裁 是选取对象的个数， 这是排列数公式的 逆用. (2)应用排列数公式 的阶乘形式时，一般 写出它们的式子后， ·[规律方法] 再提取公因式，然后 计算，这样往往会减 】对点训练2 少运算量. (1)已知Am=11×10×9×8×…×5,则m+n为 A9-A三 (2)计算：店 题型三排列与排列数公式的简单应用 例3.（1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多规律方法： 少种不同的送法？ (1)没有限制的排列 (2)有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人 问题，即对所排列的 元素或所排列的位置 各1本，共有多少种不同的送法？ 没有特别的限制，这 [分析](1)从7本不同的书中选出3本送给3名同学，各人得到的书 一类问题相对简单， 不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从7种不同的书中任选1分清元素和位置 本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算. 即可. (2)典型的排列问 题，用排列数计算其 排列方法裁；排列指 从n个不同的元素中 取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序 排成一列，由排列的 概念可知排列问题中 ·[规律方法] 元素不能重复选取 ●007 》对点训练3 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？ ●易错警示 忽视排列数公式的隐含条件致误 例4解不等式<6 由排列数公式得。8！ 8-x)6×108化简得19x+84<0,解之得7<x<12 .x∈N*,∴.x=8,9,10,11. [辨析]在排列数公式Am中，隐含条件m≤n,m∈N*,n∈N*,错解没有考虑到x-2>0,8≥ x,导致错误 [正解] [点评]注意公式的适用条件.数学中有好多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排列 数公式A:中，m,neN·,n≥m,忽视限制条件就可能导致错误 课堂检测固双基 1.A2=9×10×11×12,则m等于 ）A.1 B.2 C.3 D.4 A.3 B.4 C.5 D.6 4.不等式A1-n<7的解集为 () 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站 A.{nl-1<n<5}B.{1,2,3,4} 法为 C.{3,4} D.{4} A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 5.(一题两空)从a,b,c,d,e五个元素中每次取 B.甲乙丙，乙丙甲 出三个元素，可组成个以b为首的不同排 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 列，它们分别是 D.甲乙，甲丙，乙丙 3.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、 乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题 中，有几种运算可以看作排列问题() 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2]同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也 是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； 第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得 情况. 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 =64(种). 课堂检测固双基 1.D分两步，第一步，从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选 法，第二步，从政治、历史、地理3科中任选1科，有3种选法.根据 分步乘法计数原理可得不同选法共有3×3=9（种）. 2.B因为PCQ,所以分两类.当x=2时，y∈{3,4,5,6,7,8， 9},所以点的个数为7：当x≠2时，x=y∈3,4,5,6,7,8,9}， 所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个。 3.C第1封信投到信箱中有4种投法： 第2封信投到信箱中也有4种投法； 第3封信投到信箱中也有4种投法. 只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理 可得共有4种投法. 4.B根据题意，需分两类解决： 第一类，万位填4时，此40000大的偶数有2×4×3×2=48 (个)： 第二类，万位填5时，比40000大的偶数有3×4×3×2=72 (个) 根据分类加法计数原理，可知比40000大的偶数共有48+72 =120(个). 5.920根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞 赛，不同的选派方法共有4+5=9种；由分步乘法计数原理 知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的 选派方法共有4×5=20种 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 必备知识探新知 知识点一(1)一定的顺序(2)m=n取出所有对象 思考1：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 均相同. 知识点二所有排列A:n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n·(n-1)·(n-2)·…·2·1n 111A+ 思考2：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是 指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序 排成一列”，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述 完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数 关键能力攻重难 例1：(1)不是：(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)是： (5)是. 理由是：(1)(2)中由于加法运算满足交换律，所以选出的 两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素 谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是 排列问题，做除法是排列问题.(3)中选座位与顺序无关，“人 座”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题 (4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题.(5)A给B写信与B给A写信 是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 对点训练1：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到 问题 (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 15 (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 问题. 综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题 例2：As=15×14×13=2730, A8=6×5×4×3×2×1=720. (2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且 共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， 所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=A5-m (3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·（n+ m）=A 对点训练2：(1)18因为Am=11×10×9×8×…×5,所以 n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18. (2)36A9=7×6×5×4×3×2,A=6×5×4×3×2,A= 5×4×3×2, 所以49A=7x6-6=36 A 例3：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从 7个元素中任取3个元素的一个排列，所以具有A?=7×6×5= 210(种)不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343（种）不同的送法. 对点训练3：(1)用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从6个 元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A:=6×5×4=120 (个)不同的数 (2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，根据分步乘法 计数原理，共有6×6×6=216（个）不同的数. (3)两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 位，个位和百位相同，而每种情况有6×5=30（个）三位数，故共 有3×6×5=90（个）三位数. 8！ 8! 例4：由A<6A2,得8二<6×(10-x 化简得x2-19x+84<0,解之得7<x<12, ① 0,2ea8 ② 由①②及x∈N*得x=8. 课堂检测固双基 1.B由排列数公式可知m=4,故选B. 2.C这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种 站法，故C正确 3.B因为加法和乘法满足交换律，所以选出两数做加法和乘法 时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法 与两个数字的位置有关，故是排列问题 4.C由A-1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即-1<n<5,又 因为n∈N*且n-1≥2，所以n=3,4.故选C. 5.12 bac,bad,bae,bca,bed,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed 树状图如下： 可知共12个，它们分别为bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc, bde bea,bec,bed. 第2课时排列数的应用 关键能力攻重难 例1：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是 0