精品解析：安徽安庆市宿松县2025～2026学年度第一学期九年级期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卷上． 3．本卷共七大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可． 【详解】解：判断二次函数图象与轴的交点个数，就是当时， 方程解的个数， ，此方程有两个相同的根， 二次函数的图象与轴有一个交点． 故选：B． 【点睛】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，解题的关键是掌握两者之间的关系． 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 3. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 4. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 5. 在中，，则下列各式中正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 则，，，， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，一次函数当大于时随增大而增大，二次函数当开口向下时在对称轴右侧随增大而减小． 【详解】A．，，随增大而减小； B．，，开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小； C．，，随增大而增大； D．，，开口向下，对称轴，当时，随增大而减小． 故选：C． 7. 如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可． 【详解】解：设坡角为，则， ∴， 故选：B． 8. 已知二次函数中部分和的值如表所示： 0.89 0.56 0.25 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及用图象法确定一元二次方程的近似根，利用二次函数的对称性是解题关键，先求对称轴，再根据表格确定较小根的范围，最后通过对称求出较大根的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， ∴方程的较小根满足， ∵二次函数的图象关于对称轴对称，设较大根为，则， ∴， 当时，；当时，， ∴． 故选C． 9. 如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（ ） A. 不变 B. 一直变大 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点位于反比例函数图像上， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ∵， ≌， ，故①正确； 由①得， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又， ，故③正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：，， ，， ∽， ， ． ，， ∽， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故④正确； 当时，， ， ， ∽， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 12. 如图，这是小美家的楼梯示意图，妈妈想给楼梯铺上地毯．已知，，米，则小美家楼梯的地毯长度至少需要______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，理解题意，得到地毯的长度等于的长度，然后利用正切定义求得即可． 【详解】解：在中，，，米，， ∴（米）， ∴小美家楼梯的地毯长度至少需要米， 故答案为：． 13. 如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点，先通过等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据正方形的性质确定平行线，继而确定，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算． 【详解】解：过点A作交于点 ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，抛物线的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且． （1）______________________； （2）若是抛物线上的一点且，则点的坐标为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合．解决本题的关键主要是作辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形． 设，根据抛物线的解析式可知，抛物线的顶点的坐标是，则可得点的坐标是，把点的横坐标代入解析式可以求出，根据可列方程，解方程求出的值即为的长度； 过点作，取，作轴交抛物线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线的解析式和直线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】解：设， 抛物线的顶点的坐标是， 则点坐标是， 当时，， ， ， 可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，取，作轴于点， ， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 由可知，， 点的坐标是，点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， 由可知， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：，(与点重合，舍去)， 点的坐标是． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质以及求顶点坐标、对称轴的方法． 此题既可以利用的顶点坐标公式求得顶点坐标和对称轴，也可以利用配方法求出顶点的坐标和对称轴． 【详解】解： ， 抛物线的开口向上． ， 对称轴是直线，顶点坐标是． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）和关于轴对称，画出； （2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； （3）已知，则点坐标为_____． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点应用是解题的关键． （）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可； （）由（）及位似性质进行作图即可； （3）根据平面直角坐标系写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：由平面直角坐标系可得：点坐标为 故答案为：． 18. 游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB． 【答案】6千米 【解析】 【分析】过点A作AC⊥OB交OB于C，构造直角三角形，设AC＝x，结合锐角三角函数将OC、BC用x表示，然后列式求解，算出AC长，最后再根据锐角三角函数算出AB长． 【详解】如图，过点A作AC⊥OB交OB于C，则AC为所求，设AC＝x， 由题意得：OB＝12千米，∠AOC＝30°，∠ABC＝60°， 在Rt△ACO和Rt△ACB中： tan30°＝，tan60°＝， 则OC＝，BC＝， 而OC+CB＝＝12， 解得：x＝， 故AB＝（千米）， 答：此时游艇与灯塔的距离AB为6千米． 【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是做辅助线构造直角三角形，然后利用锐角三角函数解直角三角形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1，在中，，点在边上，点分别在边上，若． （1）求证：； （2）在图2中，当点为的中点时，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可证，即可得结论； （2）根据相似三角形的性质得到等量代换得到，，从而可证得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：， ． ∵，， ． ． 【小问2详解】 证明：， ． 点是的中点， ． ． ， ． ． 平分． 20. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条． (1)直接写出与的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【答案】(1)；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【解析】 【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出与的函数关系式； (2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值； (3)利用总利润，求出的值，进而得出答案． 【详解】解：(1)由题意可得：整理得； (2)由题意，得： ∵， ∴有最大值， 即当时，， ∴应降价(元) 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； (3)由题意，得： 解之，得：，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故， ∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键． 六、（本大题共2小题．每小题12分．满分24分） 21. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； （2）线段的长度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点G， ∵，， ，， 在中，，， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形， 在中，，， ，， ， ∵， ， ， ∵，，， ， ， 答：线段的长度约为． 22. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）CE∥AD，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：（1）∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AC2=AB•AD， ∴AD：AC=AC：AB， ∴△ADC∽△ACB； （2）CE∥AD， 理由：∵△ADC∽△ACB， ∴∠ACB=∠ADC=90°， 又∵E为AB的中点， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAE， ∴∠DAC=∠ECA， ∴CE∥AD； （3）∵AD=4，AB=6，CE=AB=AE=3， ∵CE∥AD， ∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF， ∴△CEF∽△ADF， ∴==， ∴=． 七、解答题（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题， （1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，再由勾股定理求解即可； （3）根据得出，则，由待定系数法确定直线的表达式为，过点自拍轴交于点，设，则，得出的长，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， ， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长， ， ∵的周长为， ，的最小值为， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 设直线表达式为， 将，，代入中， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∵ ∴，则， 过点作轴交于点，设，则， ∴ ， ∴当时，取的最大值， ∴， 当时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卷上． 3．本卷共七大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 3. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 4. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 在中，，则下列各式中正确的是（　 ） A. B. C. D. 6. 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是( ) A. B. C. D. 7. 如果斜坡坡度，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数中部分和值如表所示： 0.89 0.56 0.25 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（ ） A. 不变 B. 一直变大 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 10. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 若，则________． 12. 如图，这是小美家的楼梯示意图，妈妈想给楼梯铺上地毯．已知，，米，则小美家楼梯的地毯长度至少需要______米．（结果保留根号） 13. 如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________． 14. 如图，抛物线的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且． （1）______________________； （2）若是抛物线上的一点且，则点的坐标为___________ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 写出抛物线开口方向，对称轴和顶点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）和关于轴对称，画出； （2）若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； （3）已知，则点坐标为_____． 18. 游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1，在中，，点在边上，点分别在边上，若． （1）求证：； （2）在图2中，当点为的中点时，求证：平分． 20. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子售价为元(为正整数)，每月的销售量为条． (1)直接写出与的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 六、（本大题共2小题．每小题12分．满分24分） 21. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 22. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 七、解答题（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $