精品解析：河北石家庄市第一中学2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科期末考试试题

2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科期末考试试题 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 2. 已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4. 如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体的性质可得为与平面所成的角，从而可求得结果. 【详解】因为在正方体中，平面， 所以为与平面所成的角， 因为为等腰直角三角形， 所以， 所以直线与平面所成的角为， 故选：A 5. 已知函数，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入运算得解. 【详解】由，则. 故选：B. 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 8. 如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以周长为 ． 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若双曲线的方程为，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，所以， 所以的焦距为，所以A正确； 的渐近线方程为，所以B错误； 的离心率为，所以C错误； 的虚轴长为，所以D正确. 故选：AD. 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，求出和的值，再通过求导画出函数的图象，结合图象，判断各选项即可. 【详解】对于A中，由，可得，则， 因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知， 且，解得，所以A正确； 对于B中，由，可知，则， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，则函数图象如图所示， 由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误； 对于C中，因为，所以点恰好在的图象上， 画出函数的切线，如图所示， 由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确； 对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是， 所以且，解得，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知椭圆和双曲线共焦点；则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线标准方程可求. 【详解】由题意，椭圆焦点在轴， 所以，解得． 故答案为：7 13. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，且，则______． 【答案】43 【解析】 【分析】由题化简可得，，两式相减得：，得到数列是以3为周期的数列，利用周期性求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 两式相减得：， 所以， 所以数列是以3为周期的数列， 又因为，所以，所以， 所以， 所以． 故答案为：43． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）最大值；最小值． 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 极大值为，无极小值 【小问3详解】 ， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 16. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列， （2）求的通项公式； （3）设，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义证明； （2）应用等差数列通项公式计算求解； （3）应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， 【小问2详解】 由（1） 故，所以，． 【小问3详解】 由题意， 所以， 令，① 则② ①-②得： 故， 所以． 17. 四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面即可； （2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量公式即可求解． 【小问1详解】 连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； 【小问2详解】 取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆离心率为，且过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可知直线的斜率不为，又由（1）知：， 故可设，，，联立整理得：， 从而有，则，， 所以， 所以， 令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当，即时， 取得最大值，此时直线的方程为：. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递减，当时，单调递增．. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以切线方程为； 【小问2详解】 当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 【小问3详解】 由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科期末考试试题 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 如图所示，在正方体中，直线与平面所成角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 0 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若双曲线的方程为，则（ ） A. 焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 离心率为 D. 的虚轴长为2 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知椭圆和双曲线共焦点；则的值为______． 13. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 14. 已知数列的前项和为，且，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值； （3）求在区间上的最值． 16. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列， （2）求的通项公式； （3）设，求的前项和． 17. 四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $