精品解析：山东菏泽市成武县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末学业质量测评八年级数学试题 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 1，4，9 D. 1，2，3 3. 在平面直角坐标系中，点一定在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是延长线上一点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 两个全等的图形的面积一定相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 形状相同的两个图形一定全等 D. 直角三角形的两个锐角互余 7. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 实数与的大小关系是（ ） A. B. C. 一样大 D. 无法确定 9. 若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A. B. C. D. 10. 小明将一个比的前项加24，后项乘4，结果发现比值竟然不变，这个比可能是（    ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是_________． 12. 如图，在直角三角形中，，平分．已知米，那么点到斜边的距离是______米． 13. 若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则________． 14. 如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则______． 15. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为____． 三、解答题（本题共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. 如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 17. 计算 （1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组；. 18. 如图，的两条高，相交于点F，． （1）求证：． （2）若，求的长． 19. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上． （1）请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； （2）在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； （3）在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 21. （1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 22. 为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米． （1）工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度． （2）若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？ 23. 综合与实践活动： 课本再现：如图1，“将军饮马问题”抽象出数学模型，直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的做法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学业质量测评八年级数学试题 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．能找到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 1，4，9 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，符合题意； B、 ，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点一定在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与象限，由非负数的性质可得横坐标为正数，再根据纵坐标为负数即可判断求解，掌握各象限点的坐标符号特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴点在第四象限， 故选：． 4. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，掌握不等式的三个基本性质是关键；由数轴得，再利用不等式的三个基本性质判断． 【详解】解：由数轴得， 由不等式的基本性质1得：，， 故选项A、B错误； 由不等式基本性质3得：， 故选项C错误； 由不等式基本性质2得：， 故选项D正确； 故选：D． 5. 如图，在中，是延长线上一点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 两个全等的图形的面积一定相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 形状相同的两个图形一定全等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概念的正确性，需判断各选项是否符合初中数学知识．全等图形面积相等、两直线平行内错角相等、直角三角形两锐角互余均正确；形状相同的图形不一定全等． 【详解】解：A．两个全等的图形的面积一定相等，故A正确，不符合题意； B．两直线平行，内错角相等，故B正确，不符合题意； C．形状相同的图形可能大小不同，因此不一定全等，故C错误，符合题意； D．直角三角形中两个锐角互余，故D正确，不符合题意． 故选：C． 7. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 8. 实数与的大小关系是（ ） A. B. C. 一样大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的计算及实数的大小比较，关键是先计算出两个实数的值，再进行大小比较． 【详解】解：， ∴，即， ∵， ． 故选：A． 9. 若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的综合应用，熟练掌握不等式的解集与方程的解的关系是解题的关键．先根据不等式的解集确定的符号，再利用边界点求出的值，最后代入方程求解． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴ 当时，，即， ∴ ， ∴ ． 又∵ 方程， 代入，得， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 10. 小明将一个比的前项加24，后项乘4，结果发现比值竟然不变，这个比可能是（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比的基本性质，解题的关键是根据“后项乘4时比值不变，前项也应乘4”，推导原前项与增加量的关系． 后项乘4，由比的基本性质知前项也应乘4，设原前项为，则，解得，再验证选项中前项为8的比是否符合条件． 【详解】解：设原比的前项为，因后项乘4后比值不变，故前项应乘4，即， 解得． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是_________． 【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 【解析】 【分析】该题考查了逆命题，逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“它们相等”． 交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 12. 如图，在直角三角形中，，平分．已知米，那么点到斜边的距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可解答． 【详解】解：平分， 点到斜边的距离等于点到的距离， ， 点到的距离即为米， 点到斜边的距离为米， 故答案为：． 13. 若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限点的特点，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式，掌握象限中点的符号，点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键．根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）可得，．由点到坐标轴的距离相等（到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且两者相等），列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，． ∵点A到x轴和y轴的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 14. 如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，由题意可得，，由图形可得，估算出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形面积为10，正方形面积为4， ∴，， 由图形可得：， ∵， ∴，即， ∵正方形的边长是整数， ∴， 故答案为：3． 15. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. 如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，再由三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义可得，则可由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长． 17. 计算 （1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组；. 【答案】（1） 数轴表示如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键； （1）不等式移项合并，把系数化为，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 【小问2详解】 解：， 解①得：； 解②得：； 18. 如图，的两条高，相交于点F，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由即可证明； （2）由得，设，则，由建立方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， 故． 19. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上． （1）请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； （2）在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； （3）在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 【答案】（1） 如图所示，平面直角坐标系即为所求； （2）， （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称； （1）根据A的坐标为，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系，写出坐标即可； （3）根据轴对称的特点画出关于y轴对称的图形即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可得，，； 【小问3详解】 略 21. （1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． 22. 为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米． （1）工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度． （2）若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？ 【答案】（1）的长为5米； （2）铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，米，米， （米， 即线段的长为5米； 【小问2详解】 解：，米，米，米， ， 是直角三角形，且， （平方米）， （元， 答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元． 23. 综合与实践活动： 课本再现：如图1，“将军饮马问题”抽象出数学模型，直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的做法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．求的最小值． 【答案】（1） 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）①6，② 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵等边，是的平分线， ∴所在直线是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，则点落在上，连接，， ∵是中点， ∴为的中点， ∵等边三角形， ∴为的平分线，， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ②∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点， ∵平分， ∴落在上， 连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $