精品解析：陕西省商洛市2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题

陕西省商洛市2025-2026学年度第一学期期末考试 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用并集运算法则计算得到答案. 【详解】因为，所以． 2. 已知，，为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数相等的意义列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：D 3. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 4. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为10，且，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆定义得的取值，又由、之间关系求，进而得到焦距. 【详解】依题意得，解得.又，所以，从而， 所以焦距为. 故选：C. 5. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，通过正弦定理化简，求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 6. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 7. 若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解． 【详解】因为，所以， 又，解得，所以． 故选：B． 8. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，的中点分别为，，通过计算分别求得，通过比较可知，设外接球的球心到平面的距离为，通过勾股定理计算求得、，即可得出结果. 【详解】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高， ，则，所以，， 过点作的垂线，垂足为， 则， ，则，， 故能将正四棱台罩住的半球的最小半径． 设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将某班级40名学生的数学测试成绩（满分150分）整理为如下频数分布表，则下列说法正确的是（ ） 成绩 频数 4 8 12 10 6 A. 该组数据的中位数在内 B. 该组数据的第80百分位数在内 C. 若去掉其中一个同学的数学测试成绩，则剩余39人的数学测试成绩的方差会变小 D. 若从和两组数据中按分层抽样抽取5人，则共有120种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用中位数的性质判断A，利用总体百分位数的估计判断B，利用方差的性质判断C，利用分层抽样结合组合数的性质判断D即可. 【详解】对于A，由题意得总人数为40，则中位数为第个数据的平均数， 而前两组频数和为，前三组频数和为， 因此中位数在内，故A正确． 对于B，计算第80百分位数的位置， 而前3组频数和为24，前4组频数和为， 则第80百分位数在内，故B正确． 对于C，由方差的性质得方差反映数据的离散程度， 由于未明确被去掉同学的数学测试成绩与平均数的偏离程度， 因此无法确定方差的变化，故C错误， 对于D，成绩在内的有4人，成绩在内的有6人， 按分层抽样抽取5人，则从这两组分别选2人与3人， 不同的选法数为，故D正确． 故选：ABD 10. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 在上单调递减 C. 若在上恒成立，则的最大值为 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对称轴求出的值,得到函数的表达式,再根据正弦函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】已知直线是对称轴,则有. 因为,所以当时,.即. 对于选项A,对称中心坐标满足,解关于的方程:, .当时,.此时, 所以点是函数图像的一个对称中心,故A正确. 对于选项B,根据正弦函数的单调性,单调递减区间为:， 解不等式， 当时,单调递减区间为. 显然,故B错误. 对于选项C,即. 则有,，解不等式: . 当时,,因为在上恒成立，所以的最大值为，故C正确. 对于选项D,令,则， 解关于方程: . 当时,，当时,;当时, . 因为在上恰有2个零点,所以,故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由中间值法判断的大小，再用分析法判断，并用导数判断函数单调性可得. 【详解】因为，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，要证，只需证，即证， 因为,所以, 所以，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，则，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆相交可得，结合条件即可解得的取值范围. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，O为坐标原点，若的面积为2，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，再由的面积为2求解即可. 【详解】因为，所以，从而．由的面积为2，得，解得． 故答案为：2. 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 【答案】1080 【解析】 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，联立后即可求得和，使用等差数列通项公式即可求得的通项公式； （2）由题意得，使用裂项相消即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 由题意得，即， 又，即， 联立，解得， 则. 故的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D为BC的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点，连接OD，通过证明来证明平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，再通过二面角的空间向量法求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，与交于点，则为的中点，连接OD， 因为为的中点，所以是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题可知为正三角形，为的中点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，可得， 则， 设平面的法向量为， 则由可得 令，得， 设平面的法向量为， 则由可得 令，得， ， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 17. 已知函数 （1）若点在的图象上，求曲线在点P处的切线方程； （2）若点不在的图象上，过点M且与的图象相切的直线与x轴平行，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据题意，先对函数进行求导，设过点的直线与的图象切于点，再通过直线与x轴平行求解即可. 【小问1详解】 由点在的图象上，得，解得， 所以，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率. 因为直线与轴平行，所以的斜率为0， 得 解得，，所以的值为. 18. 为了了解人们对AI应用的喜爱程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下2×2列联表： 年龄 AI应用 合计 不喜爱 喜爱 不超过35岁 400 600 超过35岁 300 合计 1000 （1）完成2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对AI应用的喜爱程度是否与年龄有关联． （2）从这1000名调查者中随机抽取一人，若这个人年龄不超过35岁，求该调查者是喜爱AI应用的概率． （3）为推广AI应用，某科技公司组织了AI应用知识竞赛活动．活动规定从10道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在10道备选题中，甲只能正确完成其中的8道题．设随机变量X表示甲可以正确完成的题的数量，求变量X的分布列及数学期望． 附：其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可判断人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关联． （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）补全列联表，进行零假设，求出，根据附表进行判断； （2）由列联表，以频率代表概率，可得从这1000名调查者中随机抽取一人，这个人的年龄不超过35岁和这个人不超过35岁且喜爱AI应用的概率，根据条件概率公式，求得答案； （3）根据超几何分布的特征，写出变量X的分布列，根据分布列求出变量X的数学期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 年龄 AI应用 合计 不喜爱 喜爱 不超过35岁 200 400 600 超过35岁 300 100 400 合计 500 500 1000 零假设为：人们对AI应用的喜爱程度与年龄无关. 根据表中数据，计算得到． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立， 即认为人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 从这1000名调查者中随机抽取一人，记这个人的年龄不超过35岁为事件，这个人喜爱AI应用为事件， 则， 所以. 若这个人年龄不超过35岁，则该调查者是喜爱AI应用的概率为． 【小问3详解】 的所有可能取值为2，3，4， 的分布列为 2 3 4 的数学期望. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，且在第一象限，点在轴正半轴上，且四边形为菱形. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，与两渐近线分别交于点. ①求的取值范围； ②直线经过右焦点，且与双曲线的左、右两支分别交于两点，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形特征求出点坐标，代入双曲线方程中，再结合焦点坐标可求； （2）①设直线的方程，与双曲线的方程联立，根据弦长公式求值化简即可； ②根据①求出方程以及即可比大小. 【小问1详解】 依题意知菱形的边长为，且，所以， 所以，可得. 又，所以，由，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①法一：由题意可知，直线的斜率不为，故设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，即， 则 ， 又渐近线的方程为，所以由，得, 由，得， 不妨设， 则，所以， 因为，所以. 法二：由题意可知，直线的斜率不为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，则， 则 又两渐近线方程为，所以由解得， 由解得， 不妨设， 则，所以， 因为，所以. 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 可得，， 则，，则， 综上，. ②法一：若，则的方程为， 由（2）①知，同理可得， 所以. 当时，， 又，所以， 综上，. 法二：当直线的斜率存在时，因为，所以的方程为， 由（2）①知，同理可得， 所以. 当直线的斜率不存在时，， 又，所以. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省商洛市2025-2026学年度第一学期期末考试 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 4. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为10，且，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则=（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将某班级40名学生的数学测试成绩（满分150分）整理为如下频数分布表，则下列说法正确的是（ ） 成绩 频数 4 8 12 10 6 A. 该组数据的中位数在内 B. 该组数据的第80百分位数在内 C. 若去掉其中一个同学的数学测试成绩，则剩余39人的数学测试成绩的方差会变小 D. 若从和两组数据中按分层抽样抽取5人，则共有120种不同的选法 10. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 在上单调递减 C. 若在上恒成立，则的最大值为 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 11. 已知函数，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，O为坐标原点，若的面积为2，则___________． 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D为BC中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数 （1）若点在的图象上，求曲线在点P处的切线方程； （2）若点不在的图象上，过点M且与的图象相切的直线与x轴平行，求a的值． 18. 为了了解人们对AI应用的喜爱程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下2×2列联表： 年龄 AI应用 合计 不喜爱 喜爱 不超过35岁 400 600 超过35岁 300 合计 1000 （1）完成2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对AI应用的喜爱程度是否与年龄有关联． （2）从这1000名调查者中随机抽取一人，若这个人年龄不超过35岁，求该调查者是喜爱AI应用的概率． （3）为推广AI应用，某科技公司组织了AI应用知识竞赛活动．活动规定从10道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在10道备选题中，甲只能正确完成其中的8道题．设随机变量X表示甲可以正确完成的题的数量，求变量X的分布列及数学期望． 附：其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6635 7879 10.828 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，且在第一象限，点在轴正半轴上，且四边形为菱形. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，与两渐近线分别交于点. ①求的取值范围； ②直线经过右焦点，且与双曲线的左、右两支分别交于两点，试判断与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $