精品解析：陕西省商洛市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

商洛市2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（ ） A 60种 B. 72种 C. 84种 D. 90种 5. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 8. 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的虚部是实部的倍 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线的对称 D. 在上的值域为 11. 已知双曲线左、右焦点分别为，过点的直线l交C于A，B两点，则下列选项正确的是（ ） A. 若A，B在左支上，且为正三角形，则C的离心率为 B. 若A，B分别在左、右两支上，且为正三角形，则C的渐近线方程为 C. 若A，B在左支上，成等差数列，且，则C的离心率为 D. 若A，B分别在左、右两支上，过点作直线l的垂线交双曲线C于点D，，且B，O，D三点共线，则双曲线C的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则___________． 13. 如图，某圆台上、下底面的圆周都在半径为10的球O的球面上，且该圆台的下底面半径与球的半径相等，上底面半径为8，则该圆台的体积为___________． 14. 已知函数若关于a的方程恰有四个不同的解，则正数m的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知某公司生产某产品采用两种不同方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均为，方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为，．该产品只有合格品才能出厂销售．已知每件产品未加工之前的成本为10元． （1）若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率． （2）已知方案一每件产品每道工序加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元，若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 18. 已知表示不超过x的最大整数．例如：．已知数列满足，． （1）求． （2）证明：且数列是等比数列． （3）设数列的前n项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集运算即可求解； 【详解】由条件易得：， 则 故选：D 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可以通过直线与直线得直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以或． 当时，重合； 当时，，，符合题意． 综上. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间变量比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 4. 将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 84种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，则不同的分法共有种． 故选：C 5. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义可得，再代入夹角公式运算求解即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，则， 设非零向量的夹角为， 根据题意可得， 且，所以． 故选：A. 6. 位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C. 7. 已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解； 【详解】根据抛物线的定义，得，解得． 将点的坐标代入，得或（舍去） 故选：A 8. 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题意可得是增函数，且为奇函数， 进而由，得，进而可得. 【详解】因为，所以， 设，因为，，则在上是增函数， 因，故， 因为为定义在上的奇函数，所以为奇函数， 所以， 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的虚部是实部的倍 【答案】AB 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，复数在复平面内对应的点，位于第二象限，C错； 对于D选项，复数的实部是，虚部是，则的虚部是实部的倍，D错. 故选：AB. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线的对称 D. 在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用图象平移，即可求解；对于B，根据条件得，利用图象与性质，即可求解；对于C，直接求出函数值，即可求解；对于D，根据条件得到，利用性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，由题知，所以选项A错误， 对于选项B，当，则，又， 由图象与性质知在上单调递减，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以选项C正确， 对于选项D，由，则，所以， 故在上的值域为，所以选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l交C于A，B两点，则下列选项正确的是（ ） A. 若A，B在左支上，且为正三角形，则C的离心率为 B. 若A，B分别在左、右两支上，且为正三角形，则C的渐近线方程为 C. 若A，B在左支上，成等差数列，且，则C的离心率为 D. 若A，B分别在左、右两支上，过点作直线l的垂线交双曲线C于点D，，且B，O，D三点共线，则双曲线C的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据双曲线的对称性得到求解判断；对于B，根据，结合双曲线的定义，利用余弦定理得到求解判断；对于C，根据成等差数列，得到，结合双曲线定义得到，然后设，在中，利用余弦定理求得，然后根据，利用余弦定理求解判断；对于D，连接，易得称性知四边形为矩形，设分别由，求解判断. 【详解】对于A，如图所示： 由双曲线的对称性可知，直线l垂直于x轴，， 所以，解得，故A正确． 对于B，如图所示： 因为，所以． 因为，所以， 所以，解得，所以， 所以C的渐近线方程为，故B错误． 对于C，如图所示： 因为成等差数列， 所以，即． 因为，所以． 设，则，所以． 在中，， 解得，所以． 因为， 所以 ，解得，故C正确． 对于D，如图所示； 连接，由双曲线的对称性知四边形为矩形， 设，则，所以． 由，得，解得． 由，得，所以， 所以，所以C的渐近线方程为，故D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：有关双曲线（椭圆）的焦点三角形问题，往往结合双曲线（椭圆）的定义和正弦定理和余弦定理求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件与特殊角的正切值，可得答案. 【详解】因为，所以， ，所以． 故答案为：. 13. 如图，某圆台上、下底面的圆周都在半径为10的球O的球面上，且该圆台的下底面半径与球的半径相等，上底面半径为8，则该圆台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的结构特点，结合已知的条件，求出圆台的上、下底半径和圆台的高，利用圆台的体积公式求体积. 【详解】如图，设该圆台上底面圆的圆心为，连接，，，则. 由题意可得，，则， 所以，则该圆台的体积为． 故答案：. 14. 已知函数若关于a的方程恰有四个不同的解，则正数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与方程的关系，将问题等价转化为函数求零点，利用导数与函数的单调性的关系，结合零点存在性定理，建立不等式，可得答案. 详解】由方程，则当时，可得；当时，可得， 则可得关于x的方程有两个不等的正根，关于x的方程有两个不等的负根， 即函数恰好有两个零点，函数恰好有两个零点， 由，则只需研究函数恰好有两个零点即可， 求导可得， 令，因为，且， 所以在上有一个零点，记为． 当时，，；当时，，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或时，，则，即． 因为，所以，则． 因为函数在上单调递增，且， 所以，则，由， 得，又， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的难点在于求导存在隐零点，对于导数函数根据其单调性，结合零点存在性定理，设出零点，可写出原函数的单调区间，在求解不等式时，可用由零点定义所得的等量关系，进行等量代换，即可解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为，极大值为，极小值为32． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可; （2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【小问1详解】 由题意得， 则， 因，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减． 因为，所以是极大值点，极大值为， 是极小值点，极小值为． 故的单调递减区间为，单调递增区间为，极大值为，极小值为32． 16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面ABC得 ，E，F分别为棱AB，BC的中点得，得，，得，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，由夹角公式即可求出. 【小问1详解】 证明：因为平面ABC，平面ABC，所以． 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，因为， 所以， 又，所以平面，则． 设，易得， 则，所以， 又，所以平面 【小问2详解】 以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则， 则． 由（1）知平面的一个法向量为． ． 设平面的法向量为， 则取 设平面与平面的夹角为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均为，方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为，．该产品只有合格品才能出厂销售．已知每件产品未加工之前的成本为10元． （1）若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率． （2）已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元，若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 【答案】（1） （2）该公司应采用方案二进行加工生产． 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可求解两种方案中合格品的概率，即可求解， （2）分别求解两种方案下的期望，即可比较大小求解. 【小问1详解】 采用方案一生产的产品为合格品的概率为； 采用方案二生产的产品为合格品的概率为． 故生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率． 【小问2详解】 用表示方案一每件产品的利润，则的所有可能取值为， ， 所以的分布列为 70 P 则． 用表示方案二每件产品利润，则的所有可能取值为，，70， ， 则的分布列为 70 P 则． 因为，所以该公司应采用方案二进行加工生产． 18. 已知表示不超过x的最大整数．例如：．已知数列满足，． （1）求． （2）证明：且数列是等比数列． （3）设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中通递推公式结合取整函数的定义运算求解即可； （2）可知数列为递增数列，根据题中通递推公式结合取整函数的定义可证，分析可得，利用构造法结合等比数列定义分析证明； （3）由（2）得，，利用裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 因为，所以， 则，且，所以． 【小问2详解】 由题可得为正整数，则， 所以数列为递增数列， 当时，则，，， 可得，即． 由， 且均正整数，得， 因为满足，所以， 则，由，得，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 【小问3详解】 由（2）得，则． ， 则， 因为，所以． 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 1.数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $