精品解析：广东湛江市2025-2026学年度高二第一学期期末调研考试数学试题

湛江市2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高二数学 说明：本卷满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆与的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 内含 3. 方程等价于（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. 12 C. 11 D. 10 8. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则点在圆内 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称圆的方程为 10. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则的面积为 11. 如图，八面体每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线与所成的角大小为 B. 二面角的平面角的余弦值为 C. 此八面体的外接球的体积是 D. 此八面体内切球的表面积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______． 13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________. 14. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 在平面直角坐标系中，三个顶点分别为、、. （1）求边的高线的直线方程； （2）求边垂直平分线的直线方程； （3）求的外接圆方程. 17. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，已知. （1）求抛物线的标准方程； （2）经过抛物线焦点的任意直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于轴. 18. 已知椭圆左右顶点分别为，右焦点为，已知，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设是椭圆上异于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 19. 如图，在五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，是的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高二数学 说明：本卷满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 2. 圆与的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案 【详解】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A 3. 方程等价于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间的距离的几何意义以及椭圆的定义可得答案. 【详解】方程， 表示点到两个定点和的距离之和为常数， 这满足椭圆的定义，其中焦点为和， 得，， 因此椭圆方程为：. 故选：C 4. 在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：因点M在线段上，且，N为中点， 所以, 故选：D 5. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径,然后利用点到直线的距离公式即可. 【详解】圆的圆心为,半径为，直线：， 直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径, 即，即， 故，即,解得. 设直线倾斜角为,则,所以. 因为，所以, 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选:C. 6. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得,， 则，， 在上的投影向量为， 故选：C. 7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点和准线方程，延长交准线于，连接，由抛物线定义得到即可数形结合得解. 【详解】抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当三点共线时， ， 的最小值为. 故选：B ． 8. 已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知为等边三角形，进而得点A到渐近线的距离为，再结合点到直线的距离公式得，最后根据离心率公式求解即可. 【详解】双曲线，右顶点，不妨取渐近线方程为， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，在正三角形中，点A到渐近线的距离为， 由点到直线的距离公式，化简得， 所以， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则点在圆内 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程. 【详解】，圆心，半径， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，， 所以，所以点在圆内，故正确； 对于C：当时，，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故错误； 对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆， 所以圆的方程为，故正确； 故选：ABD. 10. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据椭圆标准方程的要求，即可判断； 对于选项B，椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义即可判断； 对于选项C，先求出椭圆方程，再结合椭圆的定义和性质，即可求解的周长； 对于选项D，先求出椭圆方程，结合椭圆的定义和性质，以及余弦定理，即可求解. 【详解】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误； 对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即， 又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确； 对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 所以周长为，根据椭圆的定义及性质， 可得，，所以周长为，故C正确； 对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上， 所以，，，所以，， 根据椭圆的定义及性质，可得，， 又，在中，根据余弦定理可得， ， 即， 所以， 解得，与矛盾， 所以不存在，故D错误. 故选：BC 11. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线与所成的角大小为 B. 二面角的平面角的余弦值为 C. 此八面体的外接球的体积是 D. 此八面体的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接交于O，以O点为原点建立空间直角坐标系，对于AB，采用空间向量法计算即可；对于C，易知外接球的球心为O，利用球的半径计算即可；对于D，利用体积法计算内切球半径，再结合球体的表面积计算公式即可计算． 【详解】连接交于O，连接，由正方形得， 八面体各面是正三角形，根据对称性可知三点共线且平面， 以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 对于A，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，， 设面的一个法向量为，则，也即， 取，则， 设面BEC的一个法向量为，则，也即， 取，则， 所以，又面与面所成的角为钝角， 故二面角的平面角的余弦值为，故B错误； 对于C，由，且由对称性易知外接球球心为O， 则外接球半径为，外接球体积为，故C正确； 对于D，设内切球半径为， 则八面体的体积为， 又因为八面体体积为， 解得，所以内切球表面积为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程. 【详解】由题意可设点，由，，，得， 化简得，即. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 14. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据P点在椭圆上，得到m、n的等式，再求出关于m、n的表达式，并将其转化为关于m的表达式后进一步与离心率e结合，最后根据离心率即可求出． 【详解】设，即，则， ． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）建系，利用点面距的空间向量计算公式可得答案. 【小问1详解】 因为且所以平面 因为平面所以 因为为中点 所以，且 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为轴建立 因为 因为 设平面的法向量为 因为 所以 令，则，即 设点到平面的距离为 即 所以点到平面的距离为 16. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. （1）求边的高线的直线方程； （2）求边的垂直平分线的直线方程； （3）求的外接圆方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【小问1详解】 因为，且，故直线斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 17. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，已知. （1）求抛物线的标准方程； （2）经过抛物线焦点的任意直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于轴. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用弦长公式可得答案； （2）设，，联立，设而不求，把坐标表示出来，即可得到答案. 【小问1详解】 设方程为 联立化简得， 则， 所以， 故， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 易知过焦点交抛物线的直线斜率不为0， 设， 设， 因为， 由韦达定理得， 设方程为：，令，则可得点纵坐标， 因为在抛物线上，所以，则， 因为，所以平行于轴. 18. 已知椭圆左右顶点分别为，右焦点为，已知，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设是椭圆上异于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据、离心率和椭圆之间关系可求出，即可得解； （2）设，可得直线方程，进而确定两点坐标，设椭圆右焦点为，利用平面向量数量积的坐标运算可证得，可知以为直径的圆过点，由此可确定线段为直径作圆被轴截得的弦长. 【小问1详解】 由题意， 解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图， 由（1）得，设，则，即. 直线，直线， 即， 以为直径的圆的方程为， 即圆的方程为， 求被轴截得的弦长，可以令，则， 则，又因为， 则，则，或， 则以为直径的圆被轴截得的弦长为. 19. 如图，在五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，是的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在点在线段上，且. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面垂直的判定证明平面，再利用面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用线面角的向量法列式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，同理得， 因此，则， 即平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得直线两两垂直，以原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 由，取，得， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值. 【小问3详解】 由（2）得，， 假设在线段上存在点满足要求，设，则， ，设直线与平面所成角为， 则，则， 此时， 所以在线段上存在点满足要求，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $