广东省湛江市第二中学2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试卷

湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学 满分：150分；考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。 1．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（   ） A．4 B． C．8 D． 2．圆的圆心到直线的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 4．若，，则（   ） A． B．4 C． D．26 5．已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 7．类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题,每小6分,共18分。 9．已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 10．已知直线与圆，则（   ） A．直线的方程可转化为，即直线过定点． B．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 C．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 11．已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（   ） A．椭圆的方程为 B．双曲线的离心率为 C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为 D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分。 12．，，函数的最小值为 . 13．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和 . 14．由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分。 15．已知的周长为，且. (1)求边的长； (2)若的面积为，求角的度数. 16．已知圆C的方程. (1)求m的取值范围； (2)若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m 的值. 17．已知正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求的值． (2)求面积最大值． 19．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）． (1)若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长． (2)若与平面所成的角为，求的取值范围． 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学参考答案 满分：150分；考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。 1．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算得解. 【详解】抛物线的准线方程为，依题意，， 所以. 故选：A 2．圆的圆心到直线的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 所以所求距离为. 故选：D 3．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质可求出，再利用等差前的性质可以求出，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， . 故选：B. 4．若，，则（   ） A． B．4 C． D．26 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示、模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 5．已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线长、已知点到直线距离求参数 【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 6．在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【详解】在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 7．类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可. 【详解】设曲线上的点为，且， 可得， 其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为. 故选：D. 8．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】面面角的向量求法 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 二、选择题：本题共3小题,每小6分,共18分。 9．已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BD 【知识点】求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可． 【详解】对于A，因为，①， 所以， 当时，②， 由①-②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，故A错误； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以，则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确． 故选：BD． 10．已知直线与圆，则（   ） A．直线的方程可转化为，即直线过定点． B．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 C．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 【答案】ABC 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题、用定义求向量的数量积 【分析】求出直线过的定点判断A；利用圆心到直线的距离求解判断B；利用点到直线距离为1求出值判断C；求出的表达式，进而求出判断D. 【详解】对于A，由，可得恒成立，直线过定点，A正确； 圆的圆心，半径， 对于B，点到直线的距离，解得，B正确； 对于C，由圆上恰有3个点到直线的距离为1，得点到直线的距离，解得，C正确； 对于D，，而， 则，D错误. 故选：ABC 11．已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（   ） A．椭圆的方程为 B．双曲线的离心率为 C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为 D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个 【答案】ACD 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意求出椭圆及双曲线的方程，再由弦长公式判断C项，再由直线与椭圆相切来判断D项． 【详解】解： 如图所示： 由，得， 则椭圆的方程为：，故A项正确； 双曲线的渐近线方程为：， 则，得， 则双曲线的方程为：， 得双曲线的离心率为：，故B项错误； 对于C项，的右顶点为， 由，得， 得被双曲线截得的弦长为：，故C项正确； 对于D项，直线的方程为：， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：， 由，消去得，， 由， 得，故D项正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分。 12．，，函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 故答案为： 13．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和 . 【答案】 【知识点】错位相减法求和 【分析】结合等比数列前n项和公式，根据错位相减法求和即可. 【详解】由题知，① 所以，② ①-②得， 所以. 故答案为： 14．由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ． 【答案】2 【知识点】双曲线定义的理解、双曲线的其他应用 【分析】由双曲线的光学性质结合，可得垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求出. 【详解】由双曲线的光学性质知，平分，延长与的延长线交于点E， 由，得为的中点，又是中点， 所以. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题,共77分。 15．已知的周长为，且. (1)求边的长； (2)若的面积为，求角的度数. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【详解】（1）解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． （2）解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 16．已知圆C的方程. (1)求m的取值范围； (2)若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m 的值. 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】求点到直线的距离、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，列不等式求参数范围. （2）写出圆的圆心和半径，根据弦长、弦心距及半径关系列方程求参数. 【详解】（1）方程可化为， 因为此方程表示圆，所以，即. 故m的取值范围是. （2）因为圆的方程可化为， 所以圆心为，半径， 圆心到直线l:的距离为 ， 由于，故 ，又 ， 所以 ，解得. 17．已知正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得； （2）利用裂项相消法求数列的和即可. 【详解】（1）∵，，∴，， ∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴． （2） ， ∴ ． 18．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求的值． (2)求面积最大值． 【答案】(1)4； (2). 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设，利用直线的点斜式中求出和点坐标即可求出. （2）由（1）中点，利用点到直线距离公式表示出三角形面积，借助三角函数性质求出最大面积. 【详解】（1）依题意，，设，， 直线方程为：，令，得 直线方程为：，令，得 ， 所以 . （2）依题意，直线的方程为：，且， 到直线距离， 则的面积， 因此当，即，时，， 所以面积最大值为. 19．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）． (1)若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长． (2)若与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】判断正方体的截面形状、面面平行证明线线平行、线面角的向量求法 【分析】（1）结合面面平行的性质作出截面，再求出其周长. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法列式，借助基本不等式求出范围. 【详解】（1）令平面交棱于，连接， 则四边形为过的平面截正方体所得的截面图形， 由平面平面，且平面平面,平面平面, 得，而，且方向相同，即， 则，，， ，， 所以四边形的周长为. （2）在棱长为2的正方体中，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则, 则, 设平面的法向量，则，令，得， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是. 第7页（/共4页） 第8页/（共34页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 第7页/（共18页） 第8页/（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$