专题04：多边形的面积 （计算专项训练）数学青岛版五四制四年级下册

专题04：多边形的面积 计算专项训练 一、核心方法（必记，公式推导+应用法） 多边形面积计算需掌握基础图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）的面积公式及推导过程，结合图形特征选择公式，基本步骤为：识别图形类型→确定对应底和高（注意单位统一）→代入公式计算→结果检验（可选）。 1. 核心公式及推导（关键步骤） 平行四边形：面积=底×高（(S=ah)）。推导：沿高剪开，平移拼成等底等高的长方形，长方形的长=平行四边形的底，宽=平行四边形的高，故(S=底×高)。 三角形：面积=底×高÷2（(S=ah÷2)）。推导：两个完全一样的三角形可拼成一个等底等高的平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半，故(S=底×高÷2)。 梯形：面积=（上底+下底）×高÷2（(S=(a+b)h÷2)）。推导：两个完全一样的梯形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=梯形上底+下底，高=梯形的高，梯形面积是平行四边形面积的一半，故(S=(上底+下底)×高÷2)。 2. 面积计算完整步骤 以平行四边形为例（底5cm，高3cm）：①识别图形：平行四边形；②确定底和高：底(a=5cm)，高(h=3cm)；③代入公式：(S=ah=5×3=15(cm^2))；④检验：用割补法拼成长方形，长5cm、宽3cm，面积(5×3=15cm^2)，结果一致。 二、举例详解 例1：平行四边形面积计算（形如(S=ah)） 题目：一个平行四边形的底是12厘米，对应的高是7厘米，求面积。若底增加3厘米，高不变，面积增加多少？ 解题思路：先算原面积，再算新底对应的面积，作差得增加的面积。 解题过程： 原面积：(S=ah=12×7=84(平方厘米))。 新底：(12+3=15(厘米))，新面积：(15×7=105(平方厘米))。 增加面积：(105-84=21(平方厘米))。 例2：三角形面积计算（形如(S=ah÷2)） 题目：一个三角形的底是9分米，高是6分米，求面积。若高扩大到原来的2倍，底不变，面积变为多少？ 解题思路：原面积用公式计算，高扩大2倍后，新面积=底×（高×2）÷2=原面积×2。 解题过程： 原面积：(S=ah÷2=9×6÷2=27(平方分米))。 新高：(6×2=12(分米))，新面积：(9×12÷2=54(平方分米))（或(27×2=54)平方分米）。 例3：梯形面积计算（形如(S=(a+b)h÷2)） 题目：一个梯形的上底是5米，下底是9米，高是4米，求面积。若上底和下底都增加2米，高不变，面积增加多少？ 解题思路：原面积用梯形公式计算，新上底=5+2=7米，新下底=9+2=11米，新面积=(7+11)×4÷2，作差得增加面积。 解题过程： 原面积：(S=(a+b)h÷2=(5+9)×4÷2=28(平方米))。 新上底=7米，新下底=11米，新面积=(7+11)×4÷2=36(平方米)。 增加面积：(36-28=8(平方米))。 题型1：平行四边形、三角形、梯形面积计算 典型例题： （1）平行四边形广告牌底2.5米，高1.8米，每平方米用油漆0.6千克，共需油漆多少千克？ （2）三角形菜地底15米，高8米，每平方米收白菜5千克，这块地共收白菜多少千克？ （3）梯形果园上底40米，下底60米，高20米，每棵果树占地5平方米，能种多少棵果树？ 解题思路：先算图形面积，再根据每单位面积的量计算总量。 解题过程： （1）广告牌面积：(2.5×1.8=4.5(平方米))，油漆量：(4.5×0.6=2.7(千克))。 （2）菜地面积：(15×8÷2=60(平方米))，白菜产量：(60×5=300(千克))。 （3）果园面积：((40+60)×20÷2=1000(平方米))，果树棵数：(1000÷5=200(棵))。 跟踪训练（写出完整解题步骤） 1.平行四边形停车位底5米，高2.5米，10个这样的停车位面积是多少？ 2.三角形交通警示牌底1.2米，高0.8米，做100个这样的警示牌需要多少平方米铁皮？ 3.梯形堤坝横截面，上底3米，下底7米，高4米，堤坝长200米，体积是多少立方米？（体积=横截面面积×长） 4.平行四边形的面积是48平方厘米，底是12厘米，对应的高是多少？ 5.三角形面积是36平方分米，高是9分米，对应的底是多少？ 题型2：组合图形面积计算（分割/添补法） 典型例题： 求下图面积（单位：厘米）：图形是一个长15cm、宽10cm的长方形，内部挖去一个底5cm、高4cm的三角形（三角形顶点在长方形中心）。 解题思路：用添补法（总面积=长方形面积-三角形面积）。 解题过程： 长方形面积：(15×10=150(平方厘米))。 挖去三角形面积：(5×4÷2=10(平方厘米))。 组合图形面积：(150-10=140(平方厘米))。 跟踪训练（写出完整解题步骤） 1.求图形面积（单位：米）：由一个底8米、高5米的平行四边形和一个上底3米、下底5米、高2米的梯形组成（梯形下底与平行四边形底边重合）。 2.求阴影部分面积（单位：分米）：边长10分米的正方形，内部有一个半径5分米的半圆（直径与正方形边长重合）。练习巩固 1．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 2．求图形的面积。（单位：米） 3．求下列图形中阴影部分的面积。单位：cm。 4．求涂色部分的面积。（单位：cm） 5．计算下面图形的面积。 6．看图列方程解答。（梯形面积37平方厘米） 7．求组合图形面积（单位为厘米）。 8．看图求面积（单位：厘米） 9．看图求面积（单位：厘米） 10．求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 11．求图中阴影部分的面积。（单位：米） 12．求下面阴影部分的面积。 13．求图形的面积（单位：厘米）。 （1）                           （2）                                      （3） 14．在图中标出割补方法后，再求面积。 15．求阴影部分的面积． 16．计算下面各图形的面积。（单位：cm） （1）　　（2）　 （3） 17．计算下面各图形的面积．（单位：cm） （1）　　 （2）　　 （3） 18．求下面图形中的对应量．（单位：cm） （1）   （2） （3）      （4） （5）      （6） 19．计算下列图形的面积．（单位：cm） 20．求阴影部分的面积 题型1 跟踪训练答案 1.解：一个停车位面积(5×2.5=12.5(平方米))，10个面积(12.5×10=125(平方米))。 2.解：一个警示牌面积(1.2×0.8÷2=0.48(平方米))，100个面积(0.48×100=48(平方米))。 3.解：横截面面积((3+7)×4÷2=20(平方米))，体积(20×200=4000(立方米))。 4.解：高(h=S÷a=48÷12=4(厘米))。 5.解：底(a=2S÷h=2×36÷9=8(分米))。 题型2 跟踪训练答案 1.解：平行四边形面积(8×5=40(平方米))，梯形面积((3+5)×2÷2=8(平方米))，总面积(40+8=48(平方米))。 2.解：正方形面积(10×10=100(平方分米))，半圆面积(3.14×5^2÷2=39.25(平方分米))，阴影面积(100-39.25=60.75(平方分米))。 巩固练习 1．31.5平方厘米 【分析】首先根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 ，即（15＋7）×9÷2＝99平方厘米，求出梯形的面积，再根据三角形的面积＝底×高÷2，即15×9÷2＝67.5平方厘米，然后用梯形的面积减去三角形的面积，即可求出图中阴影部分的面积。 【详解】（15＋7）×9÷2－15×9÷2 ＝22×9÷2－15×9÷2 ＝198÷2－15×9÷2 ＝99－15×9÷2 ＝99－135÷2 ＝99－67.5 ＝31.5（平方厘米） 2．80平方米 【分析】可以通过补的方法把此图形补成一个大梯形，然后减去左上角边长是4 米的正方形的面积，就是此图形的面积。 【详解】（10＋10＋4）×（4＋4）÷2－4×4 ＝（20＋4）×8÷2－4×4 ＝24×8÷2－4×4 ＝192÷2－16 ＝96－16 ＝80（平方米） 即此图形的面积是80平方米。 3．18cm2 【分析】阴影部分的面积＝梯形面积－三角形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，将数值代入公式计算即可。 【详解】（5＋9）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝56÷2 ＝28（cm2） 5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 28－10＝18（cm2） 4．1368cm2 【分析】根据，将数据代入先求出梯形的面积，再根据平行四边形的面积＝底×高，将数据代入求出平行四边形的面积，最后用梯形的面积减去平行四边形的面积即可。 【详解】（40＋90）×24÷2－8×24 ＝130×24÷2－192 ＝3120÷2－192 ＝1560－192 ＝1368（cm2） 涂色部分面积为1368cm2。 5．6.825平方米 【分析】图中是一个五边形，要计算其面积，可如下图把这个五边形分割为一个长方形和一个梯形，根据长方形面积＝长×宽，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将图中的数据代入公式，进行计算求和即可。 【详解】如图，可把图形分为以下两个图形： 五边形面积＝长方形面积＋梯形面积 长方形面积：2.4×2.5＝6（平方米） 梯形面积：（2.4＋0.9）×（32.5）÷2 ＝3.3×0.5÷2 ＝1.65÷2 ＝0.825（平方米） 因此，五边形面积为：6＋0.825＝6.825（平方米） 【点睛】本题主要考查不规则图形面积的计算。 6．x＝5 【分析】根据梯形面积公式列方程解答。梯形面积＝（上底＋下底） × 高÷2 【详解】（4.8＋10）×x÷2＝37 解：14.8x÷2×2＝37×2 14.8x＝74 14.8x÷14.8＝74÷14.8 x＝5 梯形的高是5厘米。 7．3040平方厘米 【分析】这个图形可以看作是两个三角形的面积和，根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出两个三角形的面积，再相加即可。 【详解】80×40÷2＋80×36÷2 ＝3200÷2＋2880÷2 ＝1600＋1440 ＝3040（平方厘米） 组合图形的面积是3040平方厘米。 8．160平方厘米 【分析】观察图形可得：组合图形的面积＝三角形面积＋梯形的面积，三角形的底是12厘米，高是10厘米；梯形的上底是8厘米，下底是12厘米，高是10厘米，然后再根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2进行解答。 【详解】12×10÷2＋（8＋12）×10÷2 ＝12×10÷2＋20×10÷2 ＝120÷2＋200÷10 ＝60＋100 ＝160（平方厘米） 则面积是160平方厘米。 9．60平方厘米 【分析】观察图形可得：这是一个平行四边形，它的底是10厘米，所对应的高是6厘米，然后再根据平行四边形的面积＝底×高进行解答。 【详解】10×6＝60（平方厘米） 则面积是60平方厘米。 10．42平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝两个正方形的面积之和－底为10厘米，高为10厘米的三角形的面积－底为（10＋8）厘米，高为8厘米的三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，代入数据即可求解。 【详解】10×10＋8×8 ＝100＋64 ＝164（平方厘米） 164－10×10÷2－（10＋8）×8÷2 ＝164－50－72 ＝42（平方厘米） 答：阴影部分的面积是42平方厘米。 11．300平方米；30平方米 【分析】（1）图中阴影部分是底为20米、高为15米的一个平行四边形，可以直接使用平行四边形面积计算公式“平行四边形面积＝底×高”进行计算。 （2）图中阴影部分是两个高都是6米的三角形，它们底的和是10米，根据“等底等高的三角形面积相等”可知，它们的面积和相当于底是10米，高是6米的三角形面积（如下图），所以可以使用三角形面积公式“三角形面积＝底×高÷2”计算阴影部分面积。 【详解】（1）20×15＝300（平方米） 则阴影部分的面积是300平方米。 （2）10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（平方米） 则阴影部分的面积是30平方米。 12．24平方米；42平方厘米 【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形面积－空白三角形的面积，据此利用梯形和三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据阴影部分的面积＝边长是10厘米的大正方形的面积＋边长是8厘米的小正方形的面积－底和高都是10厘米的三角形的面积－底是（10＋8）厘米，高是8厘米的三角形的面积，据此利用正方形和三角形的面积公式进行计算即可求解。 【详解】（6＋12）×8÷2 ＝18×8÷2 ＝144÷2 ＝72（平方米） 8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 72－48＝24（平方米） 10×10＋8×8 ＝100＋64 ＝164（平方厘米） 10×10÷2＋8×（10＋8）÷2 ＝50＋72 ＝122（平方厘米） 164－122＝42（平方厘米） 13．（1） 12平方厘米； （2.）35平方厘米； （3.）25平方厘米 【详解】（1）4×6÷2＝12（平方厘米） （2）7×4÷2＋7×3 ＝14＋21 ＝35（平方厘米） （3）（2＋8）×5÷2 ＝10×5÷2 ＝25（平方厘米） 14．67.5cm2 【详解】 长方形的面积：6×5＝30（cm2） 梯形的面积：（5＋10）×5÷2 ＝15×5÷2 ＝75÷2 ＝37.5（cm2） 组合图形的面积：30＋37.5＝67.5（cm2） 15．49cm2 【详解】略 16．（1） 24cm2；（2） 175cm2；（3） 960cm2 【详解】（1）8×3＝24（cm2） （2）25×14÷2＝175（cm2） （3）（26＋34）×32÷2 ＝60×32÷2 ＝960（cm2） 17．（1）127.25cm2；（2）425cm2；（3）1796cm2 【详解】（1）（8.5＋15）×13÷2－8.5×6÷2 ＝23.5×13÷2－51÷2 ＝305.5÷2－25.5 ＝152.75－25.5 ＝127.25（cm2） （2）25×12＋25×10÷2 ＝300＋250÷2 ＝300＋125 ＝425（cm2） （3）（20＋31）×48÷2＋52×22÷2 ＝51×48÷2＋1144÷2 ＝2448÷2＋572 ＝1224＋572 ＝1796（cm2） 18．（1）a=32×2÷8=8cm      （2）S△=12×8÷2 =48cm² （3）S△=6×8÷2=24cm² （4）S△=14×8÷2=56cm² （5）S△=15×8÷2=60cm²    h=60×2÷20=6cm （6）S△=9×10÷2=45cm²     a=45×2÷6=15cm 【详解】略 19．4.4cm2；7cm2；8cm2 【详解】解： ×4×2.2 =2×2.2 =4.4（cm2） 答：三角形的面积是4.4cm2； ×（3+4）×2 = ×7×2 =7（cm2） 答：梯形的面积是7cm2； 3.2×2.5=8（cm2） 答：平行四边形的面积是8cm2 根据三角形的面积公式“S= ah”、梯形的面积公式“S= （a+b）h”、平行四边形的面积公式“S=ah”，即可分别求出图中三角形、梯形、平行四边形的面积．此题是考查三角形、平行四边形、梯形的计算，关键是记住计算公式，特别注意计算三角形面积、梯形面积时不要忘记乘 ． 20．1300平方分米；330平方厘米 【分析】（1）阴影部分的面积=长方形的面积﹣梯形的面积，利用长方形的面积公式S=ab和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2即可求解； （2）阴影部分的面积=梯形的面积﹣长方形的面积，利用长方形的面积公式S=ab和梯形的面积公式S=（a+b）h÷2即可求解． 【详解】（1）52×34﹣（52+26）×12÷2 =1768﹣78×12÷2 =1768﹣468 =1300（平方分米） 答：阴影部分的面积是1300平方分米． （2）（20+40）×15÷2﹣15×8 =60×15÷2﹣120 =450﹣120 =330（平方厘米） 答：阴影部分的面积是330平方厘米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $