专题06：公因数与公倍数 （计算专项训练）数学青岛版五四制四年级下册

专题06：公因数与公倍数 计算专项训练 一、核心概念+计算方法（必记，分解质因数与短除法） 1. 基础概念 公因数与最大公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数（简记为GCD）。 公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数（简记为LCM）。 2. 求最大公因数的方法 列举法：列出每个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的即为最大公因数。 适用类型：数字较小（一般小于30）的两个数。 短除法：用这几个数的公有质因数连续去除，直到所得的商互质为止，所有除数的乘积就是最大公因数。 适用类型：数字较大或多个数（2-3个数）。 分解质因数法：将每个数分解成质因数相乘的形式，取所有公有质因数的乘积即为最大公因数。 3. 求最小公倍数的方法 列举法：列出每个数的倍数（通常列到出现公有倍数为止），找出最小的公有倍数即为最小公倍数。 适用类型：数字较小（一般小于50）的两个数。 短除法：用这几个数的公有质因数连续去除，直到所得的商互质为止，所有除数和最后的商的乘积就是最小公倍数。 适用类型：数字较大或多个数（2-3个数）。 分解质因数法：将每个数分解成质因数相乘的形式，取所有公有质因数和各自独有质因数的乘积即为最小公倍数。 4. 特殊关系数的最大公因数与最小公倍数 互质数（公因数只有1的两个数）：最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 例如：5和7（互质），GCD=1，LCM=5×7=35。 倍数关系（一个数是另一个数的倍数）：最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 例如：6和18（18是6的倍数），GCD=6，LCM=18。 二、举例详解 例1：用列举法求最大公因数和最小公倍数（基础） 题目：求12和18的最大公因数和最小公倍数。 求最大公因数： 12的因数：1，2，3，4，6，12 18的因数：1，2，3，6，9，18 公有因数：1，2，3，6 最大公因数：6 求最小公倍数： 12的倍数：12，24，36，48，60… 18的倍数：18，36，54，72… 公有倍数：36，72… 最小公倍数：36 例2：用短除法求最大公因数和最小公倍数（进阶） 题目：求24和36的最大公因数和最小公倍数。 短除法过程： 2 | 24 36 ------- 2 | 12 18 ------- 3 | 6 9 ------- 2 3 （商2和3互质，停止除） 最大公因数：所有除数相乘 → 2×2×3=12 最小公倍数：所有除数和商相乘 → 2×2×3×2×3=72 例3：特殊关系数的最大公因数和最小公倍数（提升） （1）互质数：求5和9的最大公因数和最小公倍数。 5和9的公因数只有1（互质） 最大公因数：1 最小公倍数：5×9=45 （2）倍数关系：求8和24的最大公因数和最小公倍数。 24是8的倍数（24=8×3） 最大公因数：较小数8 最小公倍数：较大数24 题型1：用列举法求最大公因数（基础） 典型例题：求16和24的最大公因数。 解题思路：列出16和24的所有因数，找出公有因数中最大的。 解题过程： 16的因数：1，2，4，8，16 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 公有因数：1，2，4，8 最大公因数：8 跟踪训练（写出完整解题步骤）： 1.求15和20的最大公因数 2.求18和27的最大公因数 3.求9和15的最大公因数 4.求14和21的最大公因数 5.求8和12的最大公因数 题型2：用短除法求最小公倍数（进阶） 典型例题：求15和25的最小公倍数。 解题思路：用短除法分解公有质因数，将除数和商相乘得最小公倍数。 解题过程： 5 | 15 25 ------- 3 5 （商3和5互质） 最小公倍数：5×3×5=75 跟踪训练（写出完整解题步骤）： 1.求12和15的最小公倍数 2.求14和21的最小公倍数 3.求18和24的最小公倍数 4.求20和28的最小公倍数 5.求9和12的最小公倍数 题型3：特殊关系数的最大公因数与最小公倍数（提升） 典型例题：判断下列各组数的关系，并求最大公因数和最小公倍数。 （1）7和11 （2）12和36 解题过程： （1）7和11：公因数只有1（互质） 最大公因数：1 最小公倍数：7×11=77 （2）12和36：36是12的倍数（36=12×3） 最大公因数：12 最小公倍数：36 跟踪训练（写出完整解题步骤）： 1.求9和10的最大公因数和最小公倍数 2.求6和18的最大公因数和最小公倍数 3.求13和26的最大公因数和最小公倍数 4.求4和9的最大公因数和最小公倍数 题型4：综合应用（解决实际问题，提升） 典型例题：有两根绳子，分别长24米和36米，要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长多少米？一共能截成多少段？ 解题思路：“截成同样长的小段且无剩余” → 求24和36的最大公因数（每段长度），再用总长度除以每段长度得段数。 解题过程： 求24和36的最大公因数：用短除法得12 每段最长：12米 段数：24÷12 + 36÷12 = 2 + 3 = 5段 跟踪训练（写出完整解题步骤）： 1.一块长方形菜地长48分米，宽36分米，用边长最大的正方形地砖铺满（地砖边长为整分米数，无剩余），地砖边长是多少分米？需要多少块地砖？ 2.五年级（1）班有48人，（2）班有54人，要把两班学生分别分成若干小组参加活动，每组人数相同且最多，每组多少人？两班各分多少组？ 练习巩固 1．求8和12的最小公倍数。（需写出过程） 2．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10                7和16                45和60                24和30 3．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）12和30              （2）24和17              （3）116和580 4．你能用短除法求出下面每组数的最小公倍数吗？ 16和24            21和28            20和50            15和10 5．求每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）42和63      （2）144和24      （3）23和51 6．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 7．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24        13和91        12和13 8．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和48 15和21 18和51 9．求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）15和36    （2）9和10    （3）18和27 10．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 13和91                25和35                17和51                6、8和12 11．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 8和15           18和32           17和51 12．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和20        30和24        11和33        13和9 13．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和42   16和48    78和66 14．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和48       17和34       6、8和12 15．用短除法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 45和30                            24和12 16．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24                  39和52 17．用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 60和18        15和24        25和75       45和30 18．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和16          7和8           6和24           2，3和5 19．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 56和42          8和9           96和72           68和34 20．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和36            16和40             30和45 题型1 跟踪训练答案 1.15的因数：1,3,5,15；20的因数：1,2,4,5,10,20；公有最大因数5 → 最大公因数5 2.18的因数：1,2,3,6,9,18；27的因数：1,3,9,27；公有最大因数9 → 最大公因数9 3.9的因数：1,3,9；15的因数：1,3,5,15；公有最大因数3 → 最大公因数3 4.14的因数：1,2,7,14；21的因数：1,3,7,21；公有最大因数7 → 最大公因数7 5.8的因数：1,2,4,8；12的因数：1,2,3,4,6,12；公有最大因数4 → 最大公因数4 题型2 跟踪训练答案 1.短除法：2|12 15 → 3|6 15 → 2 5，LCM=2×3×2×5=60 2.短除法：7|14 21 → 2 3，LCM=7×2×3=42 3.短除法：2|18 24 → 3|9 12 → 3 4，LCM=2×3×3×4=72 4.短除法：2|20 28 → 2|10 14 → 5 7，LCM=2×2×5×7=140 5.短除法：3|9 12 → 3 4，LCM=3×3×4=36 题型3 跟踪训练答案 1.9和10互质，GCD=1，LCM=9×10=90 2.18是6的倍数，GCD=6，LCM=18 3.26是13的倍数，GCD=13，LCM=26 4.4和9互质，GCD=1，LCM=4×9=36 题型4 跟踪训练答案 1.48和36的最大公因数是12，地砖边长12分米；块数：(48÷12)×(36÷12)=4×3=12块 2.48和54的最大公因数是6，每组6人；（1）班：48÷6=8组，（2）班：54÷6=9组 巩固练习 1．24 【分析】两个数公有的倍数，是它们的公倍数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 则8和12的最小公倍数是24。 2．最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 3．（1）最大公因数是6，最小公倍数是60。 （2）最大公因数是1，最小公倍数是408。 （3）最大公因数是116，最小公倍数是580。 【分析】（1）求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积； （2）若两个数是互质数（只有公因数1），则它们的最大公因数是1，最小公倍数就是它们的乘积； （3）若两个数互为倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数；据此计算即可。 【详解】（1）， 最大公因数是：，最小公倍数是：； （2）24和17是互质数，所以最大公因数是1，最小公倍数就是； （3）116和580是倍数关系，所以最大公约数是116，最小公倍数是580。 4．48；84；100；30 【分析】对于每组数，使用短除法，先用公因数连续去除，直到商之间的公因数只有1，再将所有除数和商相乘得到最小公倍数。 【详解】 ； ； 所以，16和24的最小公倍数是48；21和28的最小公倍数是84；20和50的最小公倍数是100；15和10的最小公倍数是30。 5．（1）21；126；（2）24；144；（3）1；1173 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 【详解】（1）42和63 42＝2×3×7 63＝3×3×7 42和63的最大公因数是3×7＝21 42和63的最小公倍数是2×3×3×7＝126 42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126。 （2）144和24 144和24成倍数关系； 144和24的最大公因数是24，最小公倍数是144。 （3）23和51 23和51为互质数， 23和51的最大公因数是1，最小公倍数是23×51＝1173。 6．最大公因数是5，最小公倍数是200； 最大公因数是14，最小公倍数是140； 最大公因数是6，最小公倍数是504。 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数特有质因数的连乘积是最小公倍数。 【详解】， 25和40的最大公因数是5，最小公倍数是； ， 28和70的最大公因数是，最小公倍数是； ，， 24，36和42的最大公因数是，最小公倍数是。 7．8，48；13，91；1，156 【分析】求两数的最大公因数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最大公因数是1；两个数为倍数关系，则最大公因数为较小的数；两个数有公因数的，最大公因数是两个数公有质因数的乘积。求两数的最小公倍数，两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积。据此解答。 【详解】16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3，所以16和24的最大公因数是2×2×2＝8，最小公倍数是2×2×2×2×3＝48； 因为91÷13＝7，所以13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91； 因为12和13互质，所以12和13的最大公因数是1，最小公倍数是12×13＝156。 8．6；144；3；105；3；306 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；据此解答。 【详解】18和48 18＝2×3×3 48＝2×2×2×2×3 18和48的最大公因数是2×3＝6； 18和48的最小公倍数是2×3×3×2×2×2＝144。 18和48的最大公因数是6，最小公倍数是144。 15和21 15＝3×5 21＝3×7 15和21的最大公倍数是3； 15和21的最小公倍数是3×5×7＝105。 15和21的最大公因数是3，最小公倍数是105。 18和51 18＝2×3×3 51＝3×17 18和51的最大公因数是3； 18和51的最小公倍数是2×3×3×17＝306。 18和51的最大公因数是3，最小公倍数是306。 9．（1）最大公因数是3；最小公倍数是180 （2）最大公因数是1；最小公倍数是90 （3）最大公因数是9；最小公倍数是54 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【详解】（1）15＝3×5 ，36＝2×2×3×3 15和36的最大公因数是3；最小公倍数是2×2×3×3×5＝180。 （2）9和10是互质数，最大公因数是1；最小公倍数是9×10＝90。 （3）18＝2×3×3 ，27＝3×3×3 18和27的最大公因数是3×3＝9；最小公倍数是2×3×3×3＝54。 10．13，91；5，175；17，51；2，24 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。特殊情况有两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】91÷13＝7，13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91； 25＝5×5、35＝5×7 5×5×7＝175 25和35的最大公因数是5，最小公倍数是175； 51÷17＝3，17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51； 6＝2×3、8＝2×2×2、12＝2×2×3 2×2×2×3＝24 6、8和12的最大公因数是2，最小公倍数是24。 11．8和15的最大公因数是1，最小公倍数是120； 18和32的最大公因数是2，最小公倍数是288； 17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51 【分析】（1）当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 （2）分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 （3）当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）8和15是互质数，所以8和15的最大公因数是1，最小公倍数是8×15＝120； （2）18＝2×3×3 32＝2×2×2×2×2 18和32的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×2×2×3×3＝288。 （3）17和51是倍数关系，所以17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 12．15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60； 30和24的最大公因数是6，最小公倍数是120； 11和33的最大公因数是11，最小公倍数是33； 13和9的最大公因数是1，最小公倍数是117。 【分析】先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。 【详解】15＝3×5 20＝2×2×5 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是2×2×5×3＝60； 30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 所以30和24的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×5×2×2＝120； 33是11的3倍，所以11和33的最大公因数是11，最小公倍数是33； 13和9互质，所以13和9的最大公因数是1，最小公倍数是13×9＝117。 13．6，126；16，48；6，858； 【分析】用短除法求最小公倍数和最大公因数。求最小公倍数和最大公因数一般用短除法：用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数相乘起来，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。 【详解】 18和42                     16和48                          78和66                        2×3＝6 2×3×3×7 ＝6×3×7 ＝18×7 ＝126 18和42的最大公因数是6，最小公倍数是126。 2×2×2×2 ＝4×2×2 ＝8×2 ＝16 2×2×2×2×3×1 ＝4×2×2×3×1 ＝8×2×3×1 ＝16×3×1 ＝48×1 ＝48 16和48的最大公因数是16，最小公倍数是48。 3×2＝6 3×2×13×11 ＝6×13×11 ＝78×11 ＝858 78和66的最大公因数是6，最小公倍数是858。 14．见详解 【分析】用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数，每次用这几个数的质因数去除，直到商是互质数。除数的乘积就是它们的最大公因数，除数和商的乘积就是它们的最小公倍数。当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【详解】                   36和48的最大公因数是：2×2×3＝12 36和48的最小公倍数是：2×2×3×3×4＝144 17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34。 6、8和12的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×3×1×2×1＝24。 15．15，90；12，24 【分析】用短除法两个数的最大公因数和最小公倍数，每次同时除以这两个数的质因数，除到商是互质数。除数的积就是这两个数的最大公因数，除数和商的积就是这两个数的最小公倍数。 【详解】 45和30的最大公因数是：3×5＝15 45和30的最小公倍数是：3×5×3×2＝90 24和12的最大公因数是：2×2×3＝12 24和12的最小公倍数是：2×2×3×2×1＝24 16．18和24的最大公因数是6，最小公倍数是72； 39和52的最大公因数是13，最小公倍数是156。 【分析】用短除法求最大公因数，先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，然后把所有的除数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。 用短除法求最小公倍数，先把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公倍数。据此解答。 【详解】 18和24的最大公因数：2×3＝6 18和24的最小公倍数：2×3×3×4＝72 39和52的最大公因数：13 39和52的最小公倍数：13×3×4＝156 17．60和18的最大公因数是6，最小公倍数是180 15和24的最大公因数是3，最小公倍数是120     25和75的最大公因数是25，最小公倍数是75   45和30的最大公因数是15，最小公倍数是90 【分析】用短除法将两个数分解因数，将相同的因数相乘得到最大公因数，将相同因数相乘，再乘不同的因数得到最小公倍数。据此可得出答案。 【详解】60和18          最大公因数：，最小公倍数： 15和24          最大公因数为：3，最小公倍数： 25和75        最大公因数为：，最小公倍数： 45和30         最大公因数： 最小公倍数： 18．4，48；1，56；6，24；1，30 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数；对于两个数是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。 【详解】12和16 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数＝2×2＝4； 最小公倍数＝4×3×2×2＝48。 7和8是互质数 7和8的最大公因数是1； 最小公倍数＝7×8＝56。 6和24存在倍数关系 6和24的最大公因数是6； 最小公倍数是24。 2，3和5是互质数 2、3、5的最大公因数＝1； 最小公倍数＝2×3×5＝6×5＝30。 19．56和42的最大公因数14；最小公倍数168 8和9的最大公因数1，最小公倍数72 96和72的最大公因数24，最小公倍数288 68和34的最大公因数34，最小公倍数68 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法： 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 其他情况可以用分解质因数或短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数。 【详解】（1）56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 56和42的最小公倍数是：2×2×2×3×7＝168 （2）8和9是互质数； 8和9的最大公因数是：1 8和9的最小公倍数是：8×9＝72 （3）96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和72的最大公因数是：2×2×2×3＝24 96和72的最小公倍数是：2×2×2×2×2×3×3＝288 （4）68和34是倍数关系； 68和34的最大公因数是：34 68和34的最小公倍数是：68 20．12，36；8，80；15，90 【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大数； 除了以上两种情况外，可以用分解质因数或短除法去找两个数的最大公因数和最小公倍数。 【详解】由分析可得： 12和36：12和36是倍数关系，最大公因数是12，最小公倍数是36； 16和40： 16＝2×2×2×2 40＝2×2×2×5 16和40的最大公因数为：2×2×2＝8，最小公倍数是：2×2×2×2×5＝80； 30和45： 30＝2×3×5 45＝3×3×5 30和45的最大公因数为：3×5＝15，最小公倍数是：2×3×5×3＝90 综上所述：12和36最大公因数为12，最小公倍数是36； 16和40最大公因数为8，最小公倍数是80； 30和45最大公因数是15，最小公倍数是90。 1 学科网（北京）股份有限公司 $