专题05：分解质因数 （计算专项训练）数学青岛版五四制四年级下册

专题05：分解质因数 计算专项训练 一、核心方法（必记，定义+分解法） 分解质因数是将一个合数表示为若干个质数相乘的形式（质数：只有1和本身两个因数的数，如2、3、5、7等；合数：除1和本身外还有其他因数的数）。核心步骤为：确定合数→选择分解方法（短除法/树枝分解法）→分解至所有因数均为质数→写成连乘形式。 1. 关键概念与方法 定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如12=2×2×3（2和3都是质数）。 短除法（推荐方法）： ① 用最小的质数（从2开始）去除这个合数，若能整除，商写在下面； ② 继续用质数去除商，直到商是质数为止； ③ 将所有除数和最后的商写成连乘形式。 示例：分解36，短除法过程为： 2 | 36 └─── 2 | 18 └─── 3 | 9 └─── 3 （质数） 故36=2×2×3×3。 树枝分解法（辅助理解）： 将合数拆成两个因数相乘，若因数是合数则继续拆分，直到所有因数均为质数。 示例：分解28，树枝分解过程为：28→4×7→(2×2)×7，故28=2×2×7。 2. 分解质因数完整步骤（以短除法分解48为例） ① 确定48是合数； ② 用最小质数2去除48，得商24（48÷2=24）； ③ 24是合数，继续用2除，得商12（24÷2=12）； ④ 12是合数，用2除，得商6（12÷2=6）； ⑤ 6是合数，用2除，得商3（6÷2=3）； ⑥ 3是质数，停止分解； ⑦ 写成连乘形式：48=2×2×2×2×3。 二、举例详解 例1：基础型（直接分解较小合数，形如分解n，n为100以内合数） 分解24 解题思路：用短除法从最小质数2开始除，逐步分解至商为质数。 解题过程： 2 | 24 └─── 2 | 12 └─── 2 | 6 └─── 3 （质数） 故24=2×2×2×3。 例2：进阶型（含合数因数的分解，形如分解n，n可拆分为合数×质数） 分解60 解题思路：先拆分为10×6（均为合数），再分别分解10=2×5，6=2×3，合并所有质数。 解题过程： 树枝分解法：60→10×6→(2×5)×(2×3)，故60=2×2×3×5。 短除法验证： 2 | 60 └─── 2 | 30 └─── 3 | 15 └─── 5 （质数） 结果一致：60=2×2×3×5。 例3：提升型（较大数分解，形如分解n，n为100-500的合数） 分解180 解题思路：用短除法依次除以2、3、5等质数，注意商的变化。 解题过程： 2 | 180 └─── 2 | 90 └─── 3 | 45 └─── 3 | 15 └─── 5 （质数） 故180=2×2×3×3×5。 题型1：基础型（直接分解100以内合数） 典型例题：分解下列合数（1）30；（2）49。 解题思路：用短除法从最小质数开始除，直至商为质数。 解题过程： （1）分解30： 2 | 30 └─── 3 | 15 └─── 5 （质数） 故30=2×3×5。 （2）分解49（7的倍数）： 7 | 49 └─── 7 （质数） 故49=7×7。 跟踪训练（写出完整分解过程） 1.18 2. 25 3. 42 4. 56 5. 63 6. 72 7. 81 8. 98 题型2：进阶型（分解100-500的合数） 典型例题：分解下列合数（1）126；（2）210。 解题思路：短除法优先用2、3、5等小质数去除，注意商是否为质数。 解题过程： （1）分解126： 2 | 126 └─── 3 | 63 └─── 3 | 21 └─── 7 （质数） 故126=2×3×3×7。 （2）分解210： 2 | 210 └─── 3 | 105 └─── 5 | 35 └─── 7 （质数） 故210=2×3×5×7。 跟踪训练（写出完整分解过程） 1. 144 2. 168 3. 240 4. 315 5. 360 6. 420 7. 450 8. 490 题型3：提升型（结合质因数的应用） 典型例题：（1）已知一个数的质因数是2、3、5，且每个质因数只出现一次，这个数是多少？（2）分解84后，求它所有质因数的和。 解题思路：（1）质因数连乘即原数；（2）先分解，再将质因数相加。 解题过程： （1）原数=2×3×5=30。 （2）分解84： 2 | 84 └─── 2 | 42 └─── 3 | 21 └─── 7 （质数） 质因数为2、2、3、7，和=2+2+3+7=14。 跟踪训练（写出完整解题过程） 1.一个数分解质因数后是2×2×3×5，这个数是多少？ 2.分解90，求所有质因数的积（提示：质因数的积即原数）。 3.分解105，判断它的质因数中是否有7。 练习巩固 1．把下面各数分解质因数。 32         55          87 2．用短除法分解质因数。 ①42             ②90 3．用短除法分解质因数。 ①32    ②36 4．把下面几个数分解质因数。 88    135 5．把下面各数分解质因数。 56    75    117 6．把下面各数写成质数相乘的形式。（示例：12＝2×2×3） 65＝        92＝        38＝        70＝ 7．用短除法分解质因数。 24＝                135＝                   42＝ 8．用短除法把下列各数分解质因数。 78    45    91 9．用短除法分解质因数。 24           56           65           78 10．用短除法把下面各数分解质因数。 18      28 11．写成质数相乘的形式。 32  45  60  120  78  88 12．将下列各数分解质因数。 64     81     45 13．用短除法分解质因数。 42                87                     152 14．将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 15．用短除法分解质因数。 56            26          18 16．短除法分解质因数。 36         90 17．将下列各数分解质因数。 54    99    330    91 18．分解质因数。 45＝            48＝           91＝ 19．把下面各数分解质因数。 18                  65                72 20．先找出下面数中的合数，再把它们分解质因数。 17        24          30          31         51 题型1 跟踪训练答案 1.18： 2 | 18 └─── 3 | 9 └─── 3 （质数） 18=2×3×3。 2.25： 5 | 25 └─── 5 （质数） 25=5×5。 3.42： 2 | 42 └─── 3 | 21 └─── 7 （质数） 42=2×3×7。 4.56： 2 | 56 └─── 2 | 28 └─── 2 | 14 └─── 7 （质数） 56=2×2×2×7。 5.63： 3 | 63 └─── 3 | 21 └─── 7 （质数） 63=3×3×7。 6.72： 2 | 72 └─── 2 | 36 └─── 2 | 18 └─── 3 | 9 └─── 3 （质数） 72=2×2×2×3×3。 7.81： 3 | 81 └─── 3 | 27 └─── 3 | 9 └─── 3 （质数） 81=3×3×3×3。 8.98： 2 | 98 └─── 7 | 49 └─── 7 （质数） 98=2×7×7。 题型2 跟踪训练答案 1.144： 2 | 144 └─── 2 | 72 └─── 2 | 36 └─── 2 | 18 └─── 3 | 9 └─── 3 （质数） 144=2×2×2×2×3×3。 2.168： 2 | 168 └─── 2 | 84 └─── 2 | 42 └─── 3 | 21 └─── 7 （质数） 168=2×2×2×3×7。 3.240： 2 | 240 └─── 2 | 120 └─── 2 | 60 └─── 2 | 30 └─── 3 | 15 └─── 5 （质数） 240=2×2×2×2×3×5。 4.315： 3 | 315 └─── 3 | 105 └─── 5 | 35 └─── 7 （质数） 315=3×3×5×7。 5.360： 2 | 360 └─── 2 | 180 └─── 2 | 90 └─── 3 | 45 └─── 3 | 15 └─── 5 （质数） 360=2×2×2×3×3×5。 6.420： 2 | 420 └─── 2 | 210 └─── 3 | 105 └─── 5 | 35 └─── 7 （质数） 420=2×2×3×5×7。 7.450： 2 | 450 └─── 3 | 225 └─── 3 | 75 └─── 5 | 25 └─── 5 （质数） 450=2×3×3×5×5。 8.490： 2 | 490 └─── 5 | 245 └─── 7 | 49 └─── 7 （质数） 490=2×5×7×7。 题型3 跟踪训练答案 1.原数=2×2×3×5=60。 2.分解90： 2 | 90 └─── 3 | 45 └─── 3 | 15 └─── 5 （质数） 质因数为2、3、3、5，积=2×3×3×5=90（即原数）。 3. 分解105： 3 | 105 └─── 5 | 35 └─── 7 （质数） 质因数包含7，故答案为“是”。 巩固练习 1．32＝2×2×2×2×2；55＝5×11；87＝3×29 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】32＝2×2×2×2×2                  55＝5×11                  87＝3×29                                         2．①42＝2×3×7；②90＝2×3×3×5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。据此作答。 【详解】 42＝2×3×7 90＝2×3×3×5 3．32＝2×2×2×2×2；36＝2×2×3×3 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。据此解答即可。 【详解】32＝2×2×2×2×2        36＝2×2×3×3                        4．88＝2×2×2×11；135＝3×3×3×5 【分析】根据题意，分解质因数是将一个合数分解成质数的乘积（质数：只能被1和自身整除的数，如2、3、5、11等）。分解结果通常写成质数连乘的形式。 【详解】 88＝2×2×2×11 135＝3×3×3×5 5．56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 【详解】 56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 6．65＝5×13 92＝2×2×23 38＝ 2×19 70＝2×5×7 【分析】根据质数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。可以用短除法解决。 【详解】65＝5×13      92＝2×2×23 38＝ 2×19      70＝2×5×7                        7．24＝2×2×2×3；135＝5×3×3×3；42＝2×3×7 【分析】把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。用短除法分解质因数，把这个数写在短除号里面，除以它的质因数，一直除到所得的商是质数为止，把所有的除数和最后的商连乘起来即可。 【详解】24＝2×2×2×3 135＝5×3×3×3 42＝2×3×7 8．78＝2×3×13；45＝3×3×5；91＝7×13 【分析】用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数去除，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连成形式。 【详解】                              78＝2×3×13      45＝3×3×5      91＝7×13 9．24＝2×2×2×3；56＝2×2×2×7；65＝5×13；78＝2×3×13 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，最后把所得的质数写成相乘的形式即可。 【详解】24＝2×2×2×3     56＝2×2×2×7 65＝5×13 78＝2×3×13                            10．18＝2×3×3；28＝2×2×7 【分析】短除法：分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的算式的叫短除法；据此解答。 【详解】18＝2×3×3                       28＝2×2×7                         11．32＝2×2×2×2×2；45＝3×3×5；60＝2×2×3×5； 120＝2×2×2×3×5；78＝2×3×13；88＝2×2×2×11 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。利用短除法分解质因数，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的算式的叫短除法。 【详解】；                  ；            ； 32＝2×2×2×2×2；45＝3×3×5；60＝2×2×3×5 ；                   ；         120＝2×2×2×3×5；78＝2×3×13；88＝2×2×2×11 12．64＝2×2×2×2×2×2；81＝3×3×3× 3；45＝3×3×5 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，最后把所得的质数写成相乘的形式即可。 【详解】64＝2×2×2×2×2×2      81＝3×3×3× 3     45＝3×3×5                             13．42＝2×3×7；87＝3×29；152＝2×2×2×19 【分析】把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】42＝2×3×7 87＝3×29 152＝2×2×2×19 14．见详解 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 15．56＝2×2×2×7 26＝2×13 18＝2×3×3 【分析】先写这个数，再画短除号，在左边写上可以被这个数整除的质数比如2，然后继续除下去，直到最后是质数为止，再把所有质数相乘即可。 【详解】56＝2×2×2×7         26＝2×13             18＝2×3×3                                     16．36＝2×2×3×3；90＝2×3×3×5 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，据此解答。 【详解】                               36＝2×2×3×3                         90＝2×3×3×5 17．54＝2×3×3×3    99＝3×3×11   330＝2×3×5×11   91＝7×13 【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 【详解】54＝2×3×3×3    99＝3×3×11   330＝2×3×5×11   91＝7×13 18．45＝3×3×5；48＝2×2×2×2×3；91＝7×13 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，据此解答。 【详解】45＝3×3×5           48＝2×2×2×2×3            91＝7×13                            19．18＝2×3×3；65＝5×13；72＝2×2×2×3×3 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 18＝2×3×3 65＝5×13 72＝2×2×2×3×3 20．合数有：24，30，51； 24＝2×2×2×3； 30＝2×3×5； 51＝17×3 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫做质数；自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；分解质因数的方法，一个合数可以写成几个质数连乘积的形式，叫做分解质因数。由此解答。 【详解】合数有：24，30，51； 24＝2×2×2×3； 30＝2×3×5； 51＝17×3 【点睛】此题考查的目的是理解和掌握质数与合数、分解质因数的概念及意义，掌握分解质因数的方法。 1 学科网（北京）股份有限公司 $