（寒假讲义-预习篇）第十讲 实数（章节复习）二十三大重点考点练+三难度分层练 共61题2025-2026学年人教版数学七年级下册培优讲练

第十讲 实数（章节复习） 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。   教学重难点 重点：算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。 难点：平方根和实数的概念。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：平方根 3 知识点二：平方根的性质 3 知识点三：方根小数点位数移动规律 3 知识点四：立方根的定义 3 知识点五：立方根的性质 3 知识点六：立方根小数点位数移动规律 3 知识点七：无理数 3 知识点八：实数 4 知识点九：实数运算 4 优选考点讲练 4 考点一：求一个数的平方根 4 考点二：求代数式的平方根 5 考点三：已知一个数的平方根，求这个数 7 考点四：利用平方根解方程 7 考点五：求一个数的算术平方根 9 考点六：利用算术平方根的非负性解题 10 考点七：估计算术平方根的取值范围 11 考点八：与算术平方根有关的规律探索题 12 考点九：算术平方根的实际应用 13 考点十：求一个数的立方根 15 考点十一：已知一个数的立方根，求这个数 16 考点十二：与立方根有关的规律探索 17 考点十三：立方根的实际应用 18 考点十四：算术平方根和立方根的综合应用 19 考点十五：计算器-平方根和立方根 20 考点十六：实数的性质 21 考点十七：实数与数轴 22 考点十八：实数的大小比较 23 考点十九：实数的混合运算 24 考点二十：程序设计与实数运算 25 考点二十一：新定义下的实数运算 26 考点二十二：实数运算的实际应用 27 考点二十三：与实数运算相关的规律题 29 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 30 基础通关练 30 能力提升练 32 拔尖拓展练 34 知识点一：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二：平方根的性质 知识点三：方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点四：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点五：立方根的性质 知识点六：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点七：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点八：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点九：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 考点一：求一个数的平方根 【例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求其平方根． 【完整解答】解：， ∵， ∴平方根为． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【思路引导】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【完整解答】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 考点二：求代数式的平方根 【例2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【完整解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【变式】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，是解答此题的关键． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）联立，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可． 【完整解答】（1）实数a的两个平方根分别是x和， ， 即， 当时，； （2）由（1）得 ， 联立得， 解得：， ． 考点三：已知一个数的平方根，求这个数 【例3】若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值是 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即两者相加等于零，由此可列方程，解方程即可得解． 【完整解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 故答案为：6． 【变式】已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【完整解答】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 考点四：利用平方根解方程 【例4】求下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【思路引导】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【完整解答】（1）解：， 移项得，， ∵， 解得，或； （2）解：， ∵， ∴或， 解得，或． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【完整解答】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 考点五：求一个数的算术平方根 【例5】（25-26七年级下·全国·单元测试）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了算术平方根的计算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算的算术平方根，再在结果前添加负号，得到式子的值； （2）计算的算术平方根，直接得出式子的值； （3）先分别计算与​的结果，再通过减法运算求出式子的值． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴​． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ 原式． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【答案】（1）3  ，0.5 ， 7 ， ， 0 （2）①不一定等于a，当时，；当时， ②，   【思路引导】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可． 【完整解答】解：（1）计算：，，，，． （2）①不一定等于， 当时，； 当时，． ②， ，， ；． 【考点剖析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律解决问题是解决第（2）小题的关键． 考点六：利用算术平方根的非负性解题 【例6】若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质，算术平方根和绝对值的值都大于等于零，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可求出a和b的值． 【完整解答】解：因为，，且， 所以 且， 由，得，即， 由，得，即， 所以． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出的值是解题的关键． 直接利用绝对值以及偶次方的性质和算术平方根的性质得出的值，代入计算得出答案． 【完整解答】解：， 且，，， ，，， 解得，，， ． 考点七：估计算术平方根的取值范围 【例7】实数的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．2和3之间 【答案】A 【思路引导】本题考查估算算术平方根范围，掌握夹逼法估算方法是解决问题的关键．熟记算术平方根定义与求法，找准要估算数平方后所对应的数左右两边能开尽方的数，利用夹逼法求解即可得到答案． 【完整解答】解：，且、， ， 即实数的值在3和4之间， 故选：A． 【变式】（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 【思路引导】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【完整解答】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 考点八：与算术平方根有关的规律探索题 【例8】（23-24七年级下·四川南充·月考）按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键； 根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是，进而求解. 【完整解答】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， ……， 所以第n个数是， 所以第6个数为； 故选：A. 【变式】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 1 …     … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【思路引导】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【完整解答】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 考点九：算术平方根的实际应用 【例9】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在综合实践活动中，小军同学想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为294的长方形纸片，使它的长宽之比为．他是否能实现这一想法？若能，请求出裁出的长方形的长和宽；若不能，也请说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【思路引导】设原正方形纸片的边长为，则，设长方形的长为，宽为，根据题意，得，求得长方形的长，比较大小后解答即可． 本题考查了平方根的应用，熟练掌握正方形的面积，长方形的面积，平方根的计算是解题的关键． 【完整解答】解：设原正方形纸片的边长为，则， 解得，（舍去）， 设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故长方形的长为，大于正方形的边长， 故不能实现这一愿望． 【变式】（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，完成下列各题． (1)用“”“”或“”填空； ___________0，______________0，______________0，_____________0； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【思路引导】本题考查了数轴，涉及有理数的大小比较，有理数的加减运算，完全平方公式，算术平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由数轴可得，再根据有理数的运算法则即可判断式子的符号； （2）由数轴可得，，然后根据算术平方根的意义化简，再进行整式加减计算． 【完整解答】（1）解：由数轴可得， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可得，， ∴ ． 考点十：求一个数的立方根 【例10】（2026七年级下·全国·专题练习）下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根为非负数，立方根可为负数． 本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握相关概念是解题关键． 【完整解答】解：∵ 算术平方根定义，表示的算术平方根；立方根定义，表示的立方根． A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误； 故选：B． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）已知，．请根据已知条件填空： （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 24.77 0.006137 【思路引导】（1）利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点就向右移动一位； （2）利用立方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点就向左（或向右）移动一位． 【完整解答】解：（1）已知 ∵， ∴． （2）已知． ∵， ∴． 故答案为：①②． 【考点剖析】本题考查了算术平方根与立方根的小数点移动规律，解题关键是掌握：算术平方根：被开方数小数点每移动两位，结果小数点移动一位；立方根：被开方数小数点每移动三位，结果小数点移动一位． 考点十一：已知一个数的立方根，求这个数 【例11】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】0.2872 【思路引导】本题考查了立方根的性质，掌握被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点相应向左或向右移动一位是解题的关键． 根据立方根的性质，被开方数的小数点移动规律求解． 【完整解答】解：已知 ，由于 则． 故答案为：0.2872． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）求下列各式中未知数的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）先变形得到，然后利用平方根的定义求解； （2）先变形得到，然后利用立方根的定义求解； （3）先变形得到，然后利用立方根的定义以及移项求解； 【完整解答】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． （3）， ， ． 【考点剖析】本题考查了平方根和立方根的定义，解决本题的关键是熟练掌握各自的定义. 考点十二：与立方根有关的规律探索 【例12】（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【完整解答】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 考点十三：立方根的实际应用 【例13】（23-24七年级下·广东广州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）两边除以，再根据平方根的定义解答即可； （）两边除以，再根据立方根的定义解答即可； 本题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【思路引导】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 考点十四：算术平方根和立方根的综合应用 【例14】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查平方根、算术平方根、立方根．根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可． 【完整解答】解：∵的算术平方根为， ∴，则， ∵，而的立方根为， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义得出，，从而得出的值，再由平方根的定义计算即可得出答案． 【完整解答】解：∵的立方根是，的算术平方根是5， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 考点十五：计算器-平方根和立方根 【例15】（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)（结果保留小数点后三位）； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1)425 (2) (3)34 (4) 【思路引导】本题主要考查了开平方运算，开立方运算： （1）利用开平方运算解答，即可求解； （2）利用开平方运算解答，即可求解； （3）利用开立方运算解答，即可求解； （4）利用开立方运算解答，即可求解． 【完整解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ． 【答案】 【思路引导】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【完整解答】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【考点剖析】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 考点十六：实数的性质 【例16】计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，实数的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，先利用乘方，算术平方根，立方根，实数的性质进行化简，再进行加减即可． 【完整解答】解： ． 【变式】（1）计算：                 （2） 已知：，求x的值． 【答案】（1） （2）或 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，求一个数的平方根，根据平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）先根据绝对值化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程即可求解． 【完整解答】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， 解得：或． 考点十七：实数与数轴 【例17】（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【完整解答】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 【变式】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判断即可． 【完整解答】解：， ， ， 又， ， 由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示， 故选：C． 考点十八：实数的大小比较 【例18】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）比较大小： 9（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【思路引导】本题考查实数的大小比较，解题的关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过比较平方值来判断原数的大小． 因为和9都是正数，所以可通过计算它们的平方值，比较平方的大小来确定原数的大小． 【完整解答】解： 和都是正数， =，， ， ． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 【完整解答】（1）解：， ． （2）解：， ． 考点十九：实数的混合运算 【例19】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可； （2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26七年级下·全国·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可； （2）先移项，再开立方，最后求解即可； 【完整解答】解：（1）原式． （2）由已知，得． ， ， ． 【考点剖析】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，解题的关键是掌握相应的运算法则． 考点二十：程序设计与实数运算 【例20】如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【答案】 【思路引导】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【完整解答】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·山东滨州·月考）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【完整解答】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 考点二十一：新定义下的实数运算 【例21】我们用表示不大于a的最大整数，例如：．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了新定义，根据题意可得，再由新定义可得答案． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·重庆·期末）（多选）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】ABD 【思路引导】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键．根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【完整解答】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对连续求根整数，次之后结果为，故选项B正确． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的的整数值为、、，它们的和为，故选项C错误． 设第次运算的数为，则，所以，即； 第次运算的数为，则，所以，因为，取，则； 第次运算的数为，则，所以，取，则，所以的最大值为，故选项D正确． 故选：ABD． 考点二十二：实数运算的实际应用 【例22】求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据立方根的计算，平方根的运算，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，绝对值的性质化简，乘方的运算法则即可求解． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 【考点剖析】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质及运算，三次根式的性质及运算，绝对值的性质，乘方的运算法则是解题的关键． 【变式】以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了命题的真假，邻补角的定义，平行线的判定，算术平方根的应用，实数的运算等，熟练掌握“等式中两侧含有无理数和有理数，则有理数项和无理数项分别相等”是解题的关键． 【完整解答】解：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；只有公共边没有公共点的两个角不是邻补角，故①为假命题； 在同一平面内，过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；若不在同一平面内，则这两条垂线不一定平行，故②为假命题； ∵， ∴， 原式为：， 整理得：， 解得：，故③为假命题； ∵，均为有理数，且满足等式， ∴，， 解得：，， 则或，故④为假命题； 故选：D． 考点二十三：与实数运算相关的规律题 【例23】（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识． 【完整解答】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【完整解答】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D．16 【答案】C 【思路引导】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，由此即可解答． 【完整解答】解：∵ 且， ∴ 的平方根是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）实数4的算术平方根是（    ） A．16 B． C． D．2 【答案】D 【思路引导】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握求一个数的算术平方根的方法是解题的关键． 一个正数的平方等于，则正数是的算术平方根，由此即可求解． 【完整解答】解：4的算术平方根是2． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 本题需要根据平方根的定义求解． 【完整解答】解：方程 两边开平方，得 ，即 ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根和立方根， （1）利用平方根的定义直接得出的值； （2）先将方程化为，再根据立方根的定义求解． 【完整解答】（1）根据平方根的定义得， 则， 即； （2）， 移项得， 则，即． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）将数－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“＜”连接起来． 【答案】见解析， 【思路引导】先化简题中的数，再在数轴上找到每个数对应的位置，最后根据数轴上左边的数小于右边的数的规律，将原数用<连接． 【完整解答】解：化简各数：，， 如图所示． 由数轴，得． 【考点剖析】本题考查了实数的化简、数轴表示与大小比较，掌握先化简实数，再利用数轴左小右大的规律比较数的大小是解题的关键． 能力提升练 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【完整解答】解： A、 2是整数，属于有理数，不符合题意； B、0是整数，属于有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、 ，是整数，属于有理数，不符合题意． 故选C． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 【答案】1 【思路引导】根据非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值． 本题考查了算术平方根和完全平方式的非负性，掌握非负数的性质并能准确求解字母的值是解题的关键． 【完整解答】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ； ∴ ． 故答案为：1． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知：的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的平方根，无理数的估算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，估算出的取值范围可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【完整解答】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是 ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不等的平方根分别为和． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 【答案】(1)，这个正数为 (2) 【思路引导】（）根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，解方程求出的值，进而可求出这个正数； （）把（）所得的值代入求出，再根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【完整解答】（1）解：由题意得，， 解得， ∴这个正数为； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根为． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【完整解答】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 拔尖拓展练 1．．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，写出点B表示的数.根据到点A的距离为1的数分别位于A点的左侧或右侧，即可得到点B表示的数． 【完整解答】解：∵数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度， ∴点B表示的数为或． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【完整解答】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·周测）当时，的值是 ． 【答案】或或 【思路引导】设，将原方程转化为，通过解方程求出的值，再代回求出，最后计算的值． 【完整解答】解：设 ，则原方程化为 . 两边立方得 ，即 ， 因式分解得 ， 解得 或 或 . 当 时，，则 ; 当 时，，则 ; 当 时，，则 . 验证均满足原方程，故 的值为或或． 故答案为：或或． 【考点剖析】本题考查了换元法解方程和立方根的性质，解题关键是通过换元将复杂方程转化为简单的一元三次方程，注意不要漏解． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值． 【答案】2或1 【思路引导】本题考查了相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义以及代数式求值，掌握这些基本概念的性质并分情况讨论是解题的关键． 先根据相反数、倒数、算术平方根、平方根的定义，确定的值，再分情况代入代数式计算． 【完整解答】解：由题意得，，或1，． 当时，； 当时，． 综上所述：的值为或． 5.对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（）； （）（或，答案不唯一） （） （） 【思路引导】本题考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （）由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【完整解答】解：（）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：或或， 故答案为：或或； （）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十讲 实数（章节复习） 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。   教学重难点 重点：算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。 难点：平方根和实数的概念。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：平方根 3 知识点二：平方根的性质 3 知识点三：方根小数点位数移动规律 3 知识点四：立方根的定义 3 知识点五：立方根的性质 3 知识点六：立方根小数点位数移动规律 3 知识点七：无理数 3 知识点八：实数 4 知识点九：实数运算 4 优选考点讲练 4 考点一：求一个数的平方根 4 考点二：求代数式的平方根 5 考点三：已知一个数的平方根，求这个数 5 考点四：利用平方根解方程 5 考点五：求一个数的算术平方根 6 考点六：利用算术平方根的非负性解题 6 考点七：估计算术平方根的取值范围 6 考点八：与算术平方根有关的规律探索题 7 考点九：算术平方根的实际应用 8 考点十：求一个数的立方根 8 考点十一：已知一个数的立方根，求这个数 8 考点十二：与立方根有关的规律探索 9 考点十三：立方根的实际应用 9 考点十四：算术平方根和立方根的综合应用 10 考点十五：计算器-平方根和立方根 10 考点十六：实数的性质 10 考点十七：实数与数轴 11 考点十八：实数的大小比较 11 考点十九：实数的混合运算 11 考点二十：程序设计与实数运算 12 考点二十一：新定义下的实数运算 12 考点二十二：实数运算的实际应用 13 考点二十三：与实数运算相关的规律题 13 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 14 基础通关练 14 能力提升练 14 拔尖拓展练 15 知识点一：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二：平方根的性质 知识点三：方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点四：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点五：立方根的性质 知识点六：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点七：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点八：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点九：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 考点一：求一个数的平方根 【例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 考点二：求代数式的平方根 【例2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【变式】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 考点三：已知一个数的平方根，求这个数 【例3】若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值是 ． 【变式】已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 考点四：利用平方根解方程 【例4】求下列x的值： (1) ； (2)． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 考点五：求一个数的算术平方根 【例5】（25-26七年级下·全国·单元测试）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 考点六：利用算术平方根的非负性解题 【例6】若，则 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，求的值． 考点七：估计算术平方根的取值范围 【例7】实数的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．2和3之间 【变式】（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 考点八：与算术平方根有关的规律探索题 【例8】（23-24七年级下·四川南充·月考）按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 1 …     … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 考点九：算术平方根的实际应用 【例9】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在综合实践活动中，小军同学想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为294的长方形纸片，使它的长宽之比为．他是否能实现这一想法？若能，请求出裁出的长方形的长和宽；若不能，也请说明理由． 【变式】（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，完成下列各题． (1)用“”“”或“”填空； ___________0，______________0，______________0，_____________0； (2)化简：． 考点十：求一个数的立方根 【例10】（2026七年级下·全国·专题练习）下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）已知，．请根据已知条件填空： （1） ； （2）若，则 ． 考点十一：已知一个数的立方根，求这个数 【例11】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）求下列各式中未知数的值． (1)； (2)； (3)． 考点十二：与立方根有关的规律探索 【例12】（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【变式】（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 考点十三：立方根的实际应用 【例13】（23-24七年级下·广东广州·期中）解方程： (1)； (2) 【变式】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 考点十四：算术平方根和立方根的综合应用 【例14】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【变式】（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．求的平方根． 考点十五：计算器-平方根和立方根 【例15】（24-25七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1) ； (2)（结果保留小数点后三位）； (2) ； (4)（结果保留小数点后三位）． 【变式】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ． 考点十六：实数的性质 【例16】计算：． 【变式】（1）计算：        （2） 已知：，求x的值． 考点十七：实数与数轴 【例17】（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 考点十八：实数的大小比较 【例18】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）比较大小： 9（填“>”、“<”或“=”）． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1) 与． (2)与． 考点十九：实数的混合运算 【例19】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式】（25-26七年级下·全国·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 考点二十：程序设计与实数运算 【例20】如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【变式】（24-25七年级下·山东滨州·月考）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 考点二十一：新定义下的实数运算 【例21】我们用表示不大于a的最大整数，例如：．若，则x的取值范围是 ． 【变式】（24-25七年级下·重庆·期末）（多选）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 考点二十二：实数运算的实际应用 【例22】求下列各式的值： (1) (2) 【变式】以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 考点二十三：与实数运算相关的规律题 【例23】（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【变式】观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D．16 2．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）实数4的算术平方根是（    ） A．16 B． C． D．2 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）将数－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“＜”连接起来． 能力提升练 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A．2 B．0 C． D． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知：的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不等的平方根分别为和． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 拔尖拓展练 1．．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）当时，的值是 ． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）已知，互为相反数，，互为倒数，的算术平方根等于它本身，是平方根等于它本身的实数，求的值． 5.对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $