（寒假讲义-预习篇）第二讲 平行线的概念及其判定（九大重点考点练+三难度分层练 共48题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册精编培优讲练

第二讲 平行线的概念及其判定 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 通过经历画平行线的过程，归纳得到关于平行线的基本事实及其推论，培养学生的几何直观和逻辑推理能力； 2.探究并证明平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 3.运用平行线的判定方法3、判定方法2和判定方法1，用规范的语言进行推理和证明，提升推理能力、几何直观．   教学重难点 重点：探究并证明平行线的判定方法3，会运用平行线的三种判定方法进行推理和证明． 难点：用规范的语言进行推理和证明，以及如何推理和明． 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：平行线的定义及画法 2 知识点二：平行公理及推论 3 知识点三：直线平行的判定 3 优选考点讲练 3 考点一：平面内两直线的位置关系 3 考点二：立体图形中平行的棱 4 考点三：用直尺、三角板画平行线 5 考点四：平行公理的应用 6 考点五：平行公理推论的应用 7 考点六：同位角相等两直线平行 7 考点七：内错角相等两直线平行 8 考点八：同旁内角互补两直线平行 9 考点九：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10 三难度分层练（基础 提高 拔尖） 11 基础通关练 11 能力提升练 13 拔尖拓展练 16 知识点一：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点二：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【易错点拨】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点三：直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 考点一：平面内两直线的位置关系 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 考点二：立体图形中平行的棱 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【变式】观察下图所示的长方体，回答下列问题． (1)用符号表示两棱的位置关系： ， ， ， ； (2)与所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 考点三：用直尺、三角板画平行线 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【变式】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 考点四：平行公理的应用 【例4】．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【变式】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 考点五：平行公理推论的应用 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【变式】如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 考点六：同位角相等两直线平行 【例6】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 考点七：内错角相等两直线平行 【例7】（25-26七年级下·全国·周测）如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是 ． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 考点八：同旁内角互补两直线平行 【例8】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 考点九：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【例9】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 3．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 5．（25-26七年级下·浙江·单元测试）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 8．（25-26七年级上·河北邢台·期中）看图，写出相应的语句． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 10．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 能力提升练 1．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据： ， ， ， ， ，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 5．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件： ； ： ； ．其中能判定的有 ．（填序号） 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 9．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 10．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 7．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 10．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，小正方形边长都为1，点，，均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点C到直线的距离为线段_____的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 平行线的概念及其判定 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 通过经历画平行线的过程，归纳得到关于平行线的基本事实及其推论，培养学生的几何直观和逻辑推理能力； 2.探究并证明平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 3.运用平行线的判定方法3、判定方法2和判定方法1，用规范的语言进行推理和证明，提升推理能力、几何直观．   教学重难点 重点：探究并证明平行线的判定方法3，会运用平行线的三种判定方法进行推理和证明． 难点：用规范的语言进行推理和证明，以及如何推理和明． 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：平行线的定义及画法 2 知识点二：平行公理及推论 3 知识点三：直线平行的判定 3 优选考点讲练 3 考点一：平面内两直线的位置关系 3 考点二：立体图形中平行的棱 5 考点三：用直尺、三角板画平行线 6 考点四：平行公理的应用 9 考点五：平行公理推论的应用 10 考点六：同位角相等两直线平行 12 考点七：内错角相等两直线平行 13 考点八：同旁内角互补两直线平行 15 考点九：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 16 三难度分层练（基础 提高 拔尖） 19 基础通关练 19 能力提升练 24 拔尖拓展练 32 知识点一：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点二：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【易错点拨】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点三：直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 考点一：平面内两直线的位置关系 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两条平行直线无交点，第三条直线与这两条平行直线均相交，故有两个交点 【完整解答】解：设三条直线为a、b、c，其中，c不平行于a或b ∵ ， ∴ a与b无交点 ∵ c与a相交， ∴有一个交点 ∵ c与b相交， ∴有一个交点 ∴ 三条直线共有两个交点． 故选：C． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【思路引导】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【完整解答】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 考点二：立体图形中平行的棱 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【思路引导】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【完整解答】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 【变式】观察下图所示的长方体，回答下列问题． (1)用符号表示两棱的位置关系： ， ， ， ； (2)与所在的直线不相交，它们 平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】【答题空1】∥ 【答题空2】⊥ 【答题空3】⊥ 【答题空4】∥ 【答题空5】不是 【答题空6】同一平面 【思路引导】根据长方体的结构特点及平行线、垂线的定义可知：，，，，与所在的直线不相交,它们不是平行线,在同一平面内,两条不相交的直线才是平行线, 【完整解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴ 故答案为：，，，． （2）与不在同一平面内，与所在的直线不相交，它们不是平行线， ∴平行线的定义，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线． 不是，同一平面． 【考点剖析】本题考查平行线的定义，相交线，掌握平行线的定义是解题关键． 考点三：用直尺、三角板画平行线 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【完整解答】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 【变式】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【思路引导】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【完整解答】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 考点四：平行公理的应用 【例4】．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【答案】C 【思路引导】本题考查平行公理、线段性质和中点定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项A需考虑点是否在直线外；选项B混淆了相等角与对顶角的关系；选项C是公理，正确；选项D忽略点是否在线段上． 【完整解答】解：A、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项A未指定“直线外一点”，∴ A错误； B、∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴ B错误； C、∵两点之间所有连线中线段最短，这是几何公理，∴ C正确； D、∵点是中点需满足点在线段上且，但选项D未指定点在线段上，∴ D错误； 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【完整解答】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 考点五：平行公理推论的应用 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【思路引导】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【完整解答】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【考点剖析】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【变式】如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【思路引导】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【完整解答】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【考点剖析】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 考点六：同位角相等两直线平行 【例6】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，已知四边形纸片，按如图所示的折纸方法（点在上）得到两条折痕与，则下列不能作为判断与平行的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【思路引导】本题考查了折叠的性质，平行线的判定．由折叠的性质求得，，即，，根据平行线的判定定理即可判断． 【完整解答】解：由折叠的性质知，， ∵，， ∴，，即，， ∵， ∴(同位角相等，两直线平行)，故选项A不符合题意； ∵， ∴(同旁内角互补，两直线平行)，故选项B不符合题意； ∵，， ∴(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，故选项C不符合题意； ∴不能作为判断与平行的依据是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选：D． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【完整解答】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 考点七：内错角相等两直线平行 【例7】（25-26七年级下·全国·周测）如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【思路引导】根据和是内错角可直接得出结论． 【完整解答】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【考点剖析】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【完整解答】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 考点八：同旁内角互补两直线平行 【例8】（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【完整解答】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【完整解答】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 考点九：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【例9】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【答案】(1)图见解析 (2)30； (3)错误 【思路引导】本题考查画垂线，点到直线的距离，角的和差关系，平行线的判定： （1）根据垂线的定义，画图即可； （2）根据角的和差关系求出的度数，根据平行线的判定方法，得到与的位置关系即可； （3）根据点到直线的距离，进行判断即可． 【完整解答】（1）解：画图如下：    （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴线段之长等于点D到直线的距离， 故原说法是错误的； 故答案为：错误． 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【思路引导】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【完整解答】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 基础通关练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【完整解答】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【思路引导】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【完整解答】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【完整解答】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【完整解答】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 5．（25-26七年级下·浙江·单元测试）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 【完整解答】解：图中移动的三角板的角度是同位角的关系， 则过直线外一点作已知直线的平行线，依据是同位角相等，两直线平行. 故答案为：同位角相等，两直线平行． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【思路引导】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【完整解答】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【思路引导】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【完整解答】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 8．（25-26七年级上·河北邢台·期中）看图，写出相应的语句． 【答案】（1）点P在直线l上，点Q在直线l外；（2）直线，交于点O，点P在内；（3）直线a，直线b，直线c交于一点Q 【思路引导】本题主要考查了点与直线的关系，直线与直线的位置关系等知识，根据几何图来一一描述图形即可． 【完整解答】解：（1）点P在直线l上，点Q在直线l外； （2）直线，交于点O，点P在内； （3）直线a，直线b，直线c交于一点Q． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【答案】2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据等式的性质得到，根据对顶角相等得到，进而得到，再根据平行线的判定方法进行解答即可． 【完整解答】解：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， （等式的性质）， （对顶角相等）， 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 能力提升练 1．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据： ， ， ， ， ，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定条件进行求解即可，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【完整解答】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 【答案】C 【思路引导】此题考查了点与直线的位置关系、角的内部与外部、两直线相交、角的表示等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【完整解答】解：A. 点P在直线n外，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； B. 点M在的内部，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； C. 直线m、n相交于点B，故文字语言与图形语言相符，符合题意；     D. 不可以用表示，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； 故选：C 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【完整解答】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 5．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【完整解答】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件： ； ： ； ．其中能判定的有 ．（填序号） 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 逐一判断条件是否能得到即可． 【完整解答】解：，，故①不符合题意； ，，故②符合题意； ，得不出任何平行，故③不符合题意； ，，故④符合题意； 故答案为：②④． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 【答案】③⑤ 【思路引导】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【完整解答】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【完整解答】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 9．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【思路引导】本题考查了画平行线，垂线，线段，点到直线的距离，垂线段最短等知识点． （1）根据题意即可画平行线，垂线，线段； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，，，，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 10．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【完整解答】解：A、（同位角相等，两直线平行），故A选项正确； B、（内错角相等，两直线平行），故B选项正确； C、（同旁内角互补，两直线平行），故C选项正确； D、同旁内角相等证明不了，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【完整解答】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 3．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【完整解答】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【完整解答】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【思路引导】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【完整解答】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【完整解答】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 7．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【思路引导】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【完整解答】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【思路引导】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【完整解答】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 9．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【思路引导】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【完整解答】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 10．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，小正方形边长都为1，点，，均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点C到直线的距离为线段_____的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义： （1）根据网格的特点直接作平行线即可； （2）根据网格的特点直接作垂线即可； （3）根据点到直线距离的定义求解． 【完整解答】（1）解：如下图即为所求； （2）解：如下图即为所求； （3）解：由图知，点C到直线的距离为线段的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $