（寒假讲义-预习篇）第九讲 相交线与平行线（章节复习）十七大重点考点练+三难度分层练 共64题2025-2026学年人教版数学七年级下册培优讲练

第九讲 相交线与平行线（章节复习） 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1． 理解两条直线平行或垂直的关系.形成和发展抽象能力； 2．在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力； 3．理解平移这类基本的图形运动，知道运动的基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象．   教学重难点 重点：垂线的概念及其性质，平行线的判定和性质，平移及其性质． 难点：理解平行线的概念，探索平行线的性质，运用它们的性质进行说理． 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：相交线 2 知识点二：垂线 3 知识点三：平行线的定义及画法 3 知识点四：三线八角 4 知识点五：平行公理及推论 4 知识点六：平行线判定 4 知识点七：平行线性质 5 知识点八：平移 5 优选考点讲练 6 考点一：对顶角相等 6 考点二：利用邻补角互补求角度 7 考点三：垂线段最短 9 考点四：同位角、内错角、同旁内角 11 考点五：用直尺、三角板画平行线 13 考点六：平行公理的应用 15 考点七：同位角相等两直线平行 17 考点八：内错角相等两直线平行 19 考点九：同旁内角互补两直线平行 20 考点十：在同—平面内，垂直于同一直线的两直线平行 22 考点十一：根据平行线的性质探究角的关系 24 考点十二：根据平行线的性质求角的度数 27 考点十三：平行线的性质在生活中的应用 29 考点十四：根据平行线判定性质求角度 32 考点十五：根据平行线判定与性质证明 34 考点十六：定义、命题、定理 36 考点十七：利用平移解决实际问题 38 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 40 基础通关练 40 能力提升练 46 拔尖拓展练 52 知识点一：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点二：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点三：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点四：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点五：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点六：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点七：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点八：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点一：对顶角相等 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义和平角的性质，掌握对顶角相等，角平分线分角为相等的两部分，平角为是解题的关键． 先利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线定义求出 ，最后通过平角的性质求出． 【完整解答】解：根据题意，得． ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，已知，在内部，且． (1)求的度数． (2)若平分，则是的平分线吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【思路引导】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义以及比例关系的应用，掌握对顶角相等的性质，角平分线的定义，以及通过设未知数利用比例关系求角度是解题的关键． （1）利用对顶角相等得到，根据与的比例设未知数，列方程求解； （2）先计算的度数，利用角平分线定义得到的度数，比较与的大小，判断是否为角平分线． 【完整解答】（1）解：设，则，． ∵， ∴， 解得：， ∴． （2）解：是的平分线．理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ， ∴是的平分线． 考点二：利用邻补角互补求角度 【例2】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查图形中求角度，涉及平角定义、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角是解决问题的关键． 先由，结合，求出，再由角平分线的定义得到，，进而数形结合，表示出，即可得到答案． 【完整解答】解：，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)的补角有__________． (2)若，求和的度数． (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互相垂直   见解析 【思路引导】（1）根据互补的定义确定的补角； （2）先根据角平分线的定义得出的度数，再由邻补角定义可得； 先根据邻补角定义可得，再由角平分线的定义得出的度数； （3）运用平角的定义和角平分线的定义，证明是，得直线、的位置关系. 【完整解答】（1）解：由补角的定义可知，的补角有：，，； （2）解：∵是的平分线，， ∴，∴． 是的平分线，， ∴． （3）解：射线与互相垂直． 理由：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴，即射线与互相垂直． 【考点剖析】本题主要考查了补角的定义和相关计算以及角平分线的性质，熟练掌握并运用是解决此题的关键． 考点三：垂线段最短 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短求解即可． 【完整解答】（1）解：如图所示即为所求； （2）线段的长度是点P到直线的距离， 故答案为：； （3）如图：， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【思路引导】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【完整解答】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 考点四：同位角、内错角、同旁内角 【例4】如图，有下列判断：①和是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是邻补角．其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【思路引导】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义，掌握其定义，数形结合分析是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【完整解答】解：①与是同位角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与不是内错角，不是同旁内角，也不是同位角，原判断错误； ④与是内错角，不是同位角，原判断错误； ⑤和是对顶角，不是邻补角，原判断错误； 综上分析可知：判断正确的是①②． 故答案为：①②． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【思路引导】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【考点剖析】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 考点五：用直尺、三角板画平行线 【例5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)垂线段最短 【思路引导】本题考查了画直线，平行线，垂线，垂线段最短． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点A画垂线即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【完整解答】（1）解：直线即为所求； （2）解：线段即为所求； （3）解：线段即为所求； （4）点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路引导】本题考查了画平行线，解答本题的关键是掌握平行线的画法； （1）将直尺与重合，三角尺与重合，然后将三角尺沿直尺向上平移，使之平移至E点，然后过E点画直线即可得到与平行的直线；利用同样的画法，画出经过点E与直线平行的直线； （2）将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺移动三角板使一边经过点A，过点A沿这边画直线，此直线即为过点A且平行于的直线;把三角板一边与重合，按上述方法操作，画出过点B且平行于的直线;将三角板一边与重合，通过上述平移三角板的方法，画出过点C且平行于的直线 ． 【完整解答】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示： 考点六：平行公理的应用 【例6】（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【完整解答】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点，点，过点A，C分别作y轴，x轴的平行线，交点为B．    (1)直接写出点B的坐标； (2)点D为y轴正半轴上任意一点． ① 当点D在线段上，且时，求的大小； ② 当点D在线段延长线上时，判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)． (2)①；②，见解析 【思路引导】（1）根据点，点可得答案； （2）①过点D作，证明，可得，，从而可得答案；②过D作，证明，可得，，结合，从而可得结论． 【完整解答】（1）解：，∵点，点，过点A，C分别作y轴，x轴的平行线，交点为B． ∴． （2）①过点D作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． ②， 理由如下：过D作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 【考点剖析】本题考查的是坐标与图形，算术平方根的含义，平行线的性质，平行公理的应用，熟记平行线的性质是解本题的关键． 考点七：同位角相等两直线平行 【例7】（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【完整解答】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定、补角与余角的定义以及一元一次方程的应用，掌握同位角相等，两直线平行的判定方法和余角、补角的代数表示是解题的关键． （1）利用同角的补角相等推出同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行判定与的位置关系； （2）设这个角的度数为，分别表示出它的余角和补角，根据题目中的数量关系列方程求解． 【完整解答】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ． （2）解：设这个角的度数为． 由题意，得， 解得． 故这个角的度数为． 考点八：内错角相等两直线平行 【例8】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【完整解答】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【完整解答】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 考点九：同旁内角互补两直线平行 【例9】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【完整解答】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【完整解答】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 考点十：在同—平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【完整解答】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【思路引导】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【完整解答】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 考点十一：根据平行线的性质探究角的关系 【例11】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【完整解答】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【思路引导】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【完整解答】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 考点十二：根据平行线的性质求角的度数 【例12】（2026七年级下·全国·专题练习）如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 【答案】（1） （2）当等于或时，． （3），或． 【思路引导】（1）依据，，可得；依据，即可得到； （2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； （3）根据，，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【完整解答】解：（1）；． 【提示】，， ； ， ， ． （2）分两种情况： ①如图①，当时，， ； ②如图②，当时，， ． 综上所述，当等于或时，． （3）设，则． 由（1）可知，， ， ，即． ， 此时或． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 考点十三：平行线的性质在生活中的应用 【例13】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【完整解答】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【完整解答】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 考点十四：根据平行线判定性质求角度 【例14】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【完整解答】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质以及平行公理的推论，掌握平行线的判定与性质的互推关系和平行公理的推论是解题的关键． （1）利用角平分线定义得到角的等量关系，结合已知推出，再由平行线的同旁内角互补求出，最后根据角平分线求出． （2）由推出，结合（1）中已证的，根据平行公理的推论得出． 【完整解答】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴，． （2）证明：∵， ∴． 由（1），得， ∴． 考点十五：根据平行线判定与性质证明 【例15】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【完整解答】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 考点十六：定义、命题、定理 【例16】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）下列命题中：①在同一平面内，不重合的两条直线不平行就相交； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了判断命题真假，两直线的位置关系，点到直线的距离，根据平面内两直线的位置关系，垂线的定义和点到直线间的距离，逐一进行判断即可． 【完整解答】解：①在同一平面内，不重合的两条直线不平行就相交，原命题是真命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【思路引导】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【完整解答】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 考点十七：利用平移解决实际问题 【例17】如图，的顶点，，均在单位长度为的方格格点上． (1)在图中以点为坐标原点建立平面直角坐标系，并画出向右平移格再向上平移格所得的； (2)写出点，的坐标； (3)请直接写出与，与的位置关系和数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)且，且． 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系、图形的平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，注意上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平移的方向和距离找到点、、，连接点、、，得到即为所求； 根据平面直角坐标系写出点的坐标，再根据平移的方向和距离写出点的坐标即可； 根据平移的性质可知：平移前、后对应边所在的直线平行或在同一条直线上，且对应边相等，可以得出与，与的位置关系和数量关系． 【完整解答】（1）解：如下图所示， 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 分别画出点、、向右平移格再向上平移格所得的点、、， 连接点、、，得到即为所求； （2）解：由平面直角坐标系可知点的坐标是， 向右平移格，横坐标为， 向上平移格，纵坐标为， 点的坐标是； （3）解：由平移的性质可知：且，且． 【变式】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上． (1)将先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出平移后的； (2)在图中建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐标为； (3)在（2）的条件下，直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【思路引导】本题考查了作图——平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点、、，从而得到； （2）利用A点坐标画出直角坐标系； （3）利用第二象限点的坐标特征写出点的坐标． 【完整解答】（1）解：如图所示，为所求， （2）解：如图所示，平面直角坐标系即为所求， （3）解：由（2）得：点的坐标为． 基础通关练 1．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）濮阳杂技是一种非常古老的传统民间杂技艺术．历史悠久，起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．“耍宝”是濮阳杂技艺术节设计出的卡通图案．通过平移，如图中的“耍宝”移动得到的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平移的概念，熟练掌握平移后的图形位置改变，大小和形状、方向不变是解题的关键．根据平移的概念进行判断即可． 【完整解答】解：A、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过旋转变换得到的，故不符合题意； B、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过旋转变换得到的，故不符合题意； C、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过轴对称变换得到的，故不符合题意； D、本选项的“耍宝”是由图中的“耍宝”通过平移变换得到的，故符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·北京·月考）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了对顶角的知识，掌握对顶角的定义是解题关键．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【完整解答】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【思路引导】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【完整解答】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 4．如图，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了图形的平移和正方形的面积求解，掌握这些是解题的关键． 通过平移将不规则的阴影部分转换为规则的正方形，计算正方形的面积即可． 【完整解答】解：由题意得： 阴影部分的面积为； 故选：A． 5．（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【思路引导】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【完整解答】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 6．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【思路引导】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【完整解答】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【思路引导】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【完整解答】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 8．（24-25七年级下·青海海北·期末）如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查对顶角、垂直的定义以及角平分线的定义，根据角平分线的性质，垂直的定义求得，进而由对顶角相等进行计算即可． 【完整解答】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 【答案】对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义 【思路引导】利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到 此题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键 【完整解答】解：与交于点（已知）， （对顶角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分（已知）， （角平分线的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 能力提升练 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【完整解答】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据： ， ， ， ， ，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定条件进行求解即可，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【完整解答】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】首先，由平行线的性质得到；然后利用角平分线的定义来求的度数． 【完整解答】解：， ， 又平分， ， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质．解决本题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”求得的度数． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【完整解答】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：2． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【思路引导】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【完整解答】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【完整解答】解：， ， ． 则直线绕点按逆时针方向至少旋转． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【完整解答】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平分，得，再结合对顶角相等，得，即； （2）结合，得，根据平分，得，又因为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【完整解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 10．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查的是平行线的判定和性质及角平分线的有关计算． （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论． 【完整解答】（1）证明：∵， ， 与互余， ， ， ； （2）解：∵，， ， ，平分， ， ． 拔尖拓展练 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【完整解答】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键． 结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 3．（2025九年级·湖南·学业考试）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【完整解答】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【完整解答】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山东济南·开学考试）老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并能灵活作辅助线是解题的关键． 通过作辅助线，利用平行线的性质，将和与三角板的角建立联系，进而求解． 【完整解答】解：过三角板的角的顶点A作直线． 由题意可得, ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ． 【答案】 【思路引导】利用平行线的判定和光的反射原理可解此题． 【完整解答】解：要使反射光线，则． ， ． ，， ， ． 故答案为： 【考点剖析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练应用平行线的判定． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数． 【完整解答】解：∵都与地面平行， ∴， ， ∴． ∵，， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质、垂直的定义及比例设元法，解题关键是通过垂直关系得到直角，再结合平行线性质建立角度间的数量关系，利用比例设未知数求解． 首先利用垂直的定义确定直角，再结合角度的比例关系设未知数，通过角度和为建立方程，进而求解的度数． 【完整解答】解：∵， ∴． ， ∵， ∴． ∵ ∴设， 代入上式： ． ∴． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行 【思路引导】（1）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行线的判定和性质即可得到结论； （3）由（1）、（2）的结论即可得到结果． 【完整解答】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）． 理由如下：∵， ∴． ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 10．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或或或或或． 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，⑦当时，⑧当时，8种情况时，分别讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或或或或． 理由如下：依题意有以下8种情况： ①当时，如图4①所示： 延长交于点M， 则， ∴， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 当在下方时， 则， ∴； 当在上方时， 则， ∴， 即或． ④当时，如图4④： ∴， ∴； ⑤当时，如图4⑤所示： 则； ⑥当时，如图4⑥所示： 当在左侧时， 则， ∴， ∴； 当在右侧时， 则， ∴． 即或． ⑦当时，如图4⑦， ∴， ∴， ∴； ⑧当时，设与交于点，如图4⑧所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或或或或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九讲 相交线与平行线（章节复习） 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1． 理解两条直线平行或垂直的关系.形成和发展抽象能力； 2．在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力； 3．理解平移这类基本的图形运动，知道运动的基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象．   教学重难点 重点：垂线的概念及其性质，平行线的判定和性质，平移及其性质． 难点：理解平行线的概念，探索平行线的性质，运用它们的性质进行说理． 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：相交线 2 知识点二：垂线 3 知识点三：平行线的定义及画法 3 知识点四：三线八角 4 知识点五：平行公理及推论 4 知识点六：平行线判定 4 知识点七：平行线性质 5 知识点八：平移 5 优选考点讲练 6 考点一：对顶角相等 6 考点二：利用邻补角互补求角度 7 考点三：垂线段最短 7 考点四：同位角、内错角、同旁内角 8 考点五：用直尺、三角板画平行线 9 考点六：平行公理的应用 10 考点七：同位角相等两直线平行 11 考点八：内错角相等两直线平行 12 考点九：同旁内角互补两直线平行 12 考点十：在同—平面内，垂直于同一直线的两直线平行 13 考点十一：根据平行线的性质探究角的关系 14 考点十二：根据平行线的性质求角的度数 15 考点十三：平行线的性质在生活中的应用 16 考点十四：根据平行线判定性质求角度 17 考点十五：根据平行线判定与性质证明 17 考点十六：定义、命题、定理 18 考点十七：利用平移解决实际问题 19 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 20 基础通关练 20 能力提升练 23 拔尖拓展练 26 知识点一：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点二：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点三：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点四：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点五：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点六：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点七：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点八：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点一：对顶角相等 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，已知，在内部，且． (1)求的度数． (2)若平分，则是的平分线吗？请判断并说明理由． 考点二：利用邻补角互补求角度 【例2】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)的补角有__________． (2)若，求和的度数． (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？请说明理由． 考点三：垂线段最短 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 【变式】（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 考点四：同位角、内错角、同旁内角 【例4】如图，有下列判断：①和是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是邻补角．其中正确的是 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 考点五：用直尺、三角板画平行线 【例5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 考点六：平行公理的应用 【例6】（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点，点，过点A，C分别作y轴，x轴的平行线，交点为B．    (1)直接写出点B的坐标； (2)点D为y轴正半轴上任意一点． ① 当点D在线段上，且时，求的大小； ② 当点D在线段延长线上时，判断，，之间的数量关系，并证明． 考点七：同位角相等两直线平行 【例7】（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 考点八：内错角相等两直线平行 【例8】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 考点九：同旁内角互补两直线平行 【例9】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 考点十：在同—平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 考点十一：根据平行线的性质探究角的关系 【例11】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 考点十二：根据平行线的性质求角的度数 【例12】（2026七年级下·全国·专题练习）如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 考点十三：平行线的性质在生活中的应用 【例13】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【变式】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 考点十四：根据平行线判定性质求角度 【例14】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 考点十五：根据平行线判定与性质证明 【例15】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 考点十六：定义、命题、定理 【例16】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）下列命题中：①在同一平面内，不重合的两条直线不平行就相交； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 考点十七：利用平移解决实际问题 【例17】如图，的顶点，，均在单位长度为的方格格点上． (1)在图中以点为坐标原点建立平面直角坐标系，并画出向右平移格再向上平移格所得的； (2)写出点，的坐标； (3)请直接写出与，与的位置关系和数量关系． 【变式】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上． (1)将先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出平移后的； (2)在图中建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐标为； (3)在（2）的条件下，直接写出点的坐标． 基础通关练 1．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）濮阳杂技是一种非常古老的传统民间杂技艺术．历史悠久，起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．“耍宝”是濮阳杂技艺术节设计出的卡通图案．通过平移，如图中的“耍宝”移动得到的图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·月考）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 4．如图，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 6．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 8．（24-25七年级下·青海海北·期末）如图，直线、交于点，，平分，，求的度数． 9．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 10．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 能力提升练 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围得如下数据： ， ， ， ， ，垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据 可判断模型位置是否达标（只填序号）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ． 8．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 9．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 拔尖拓展练 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·湖南·学业考试）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 5．（23-24七年级下·山东济南·开学考试）老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：． （2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由． （3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来． 10．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $