（寒假讲义-预习篇）第八讲 实数及其简单运算（十三大重点考点练+三难度分层练 共55题）2025-2026学年人教版数学七年级下册培优讲练

第八讲 实数及其简单运算 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 理解实数的相反数和绝对值的意义，掌握有理数的运算律和运算性质在实数范围内的适用性。 2.能够进行实数的简单运算。   教学重难点 重点：实数的相反数和绝对值的意义，有理数的运算律和运算性质在实数范围内的适用性。 难点：实数的运算，尤其是无理数的加减运算。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：有理数与无理数 2 知识点二：实数 2 知识点三：实数大小的比较 3 知识点四：实数的运算 3 优选考点讲练 3 考点一：无理数 3 考点二：无理数的大小估算 3 考点三：无理数整数部分的有关计算 3 考点四：实数概念理解 4 考点五：实数的分类 4 考点六：实数的性质 5 考点七：实数与数轴 5 考点八：实数的大小比较 6 考点九：实数的混合运算 6 考点十：程序设计与实数运算 7 考点十一：新定义下的实数运算 7 考点十二：实数运算的实际应用 8 考点十三：与实数运算相关的规律题 8 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 9 基础通关练 9 能力提升练 10 拔尖拓展练 12 知识点一：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分：实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三：实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四：实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 考点一：无理数 【例1】（24-25七年级下·全国·期中）在一组数 ，，(相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有 个． 考点二：无理数的大小估算 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 考点三：无理数整数部分的有关计算 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知的算术平方根是3，的平方根等于它本身，是的整数部分，求的立方根． 【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 考点四：实数概念理解 【例4】（24-25七年级下·河北承德·期末）点在第（   ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______ }； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 考点五：实数的分类 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       }； 有理数：{                      }； 无理数：{                       }． 【变式】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          } (2)整数集合：{          }； (3)无理数集合：{          }； (4)平方不大于本身的数的集合：{          }． 考点六：实数的性质 【例6】．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【变式】（25-26八年级上·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 考点七：实数与数轴 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 考点八：实数的大小比较 【例8】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较与的大小． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与4． (2)与3． 考点九：实数的混合运算 【例9】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1) ； (2)． 【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）计算： (1)； (2)． 考点十：程序设计与实数运算 【例10】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【变式】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 考点十一：新定义下的实数运算 【例11】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【变式】（24-25七年级下·全国·期中）对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 考点十二：实数运算的实际应用 【例12】（24-25八年级上·河南周口·月考）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 考点十三：与实数运算相关的规律题 【例13】观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【变式】．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 基础通关练 1．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）在下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D．3 2．（2025·云南楚雄·模拟预测）在，，0，这四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 3．下列命题中，正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、0和负无理数 B．无理数不是实数 C．无理数是带根号的数 D．无理数是无限不循环小数 4．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）给出下列各数：，，，0，，，0.3131131113…，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 6．（25-26八年级上·河南开封·期中）请写出一个比大，且比小的无理数： ． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）计算：． 9．（24-25七年级下·广东东莞·月考）计算： 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 能力提升练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·月考）如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有 个． 6．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期末）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{        }； （2）分数：{        }； （3）无理数：{       }． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 10．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·周测）若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列实数：，π，3.14114111411114…（每两个4之间依次增加一个1），，，．其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 5．（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 6．（25-26七年级下·全国·周测）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 7．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）在下列说法中： 是的平方根；的平方根是； 的算术平方根是；是一个负数； 的相反数和倒数都是；； 已知是实数，则；全体实数和数轴上的点一一对应． 正确的是 （填序号）． 8．（25-26七年级下·全国·月考）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 9．（25-26七年级下·全国·单元测试）小明在一本数学资料上看到这样一道题：计算． 小明的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小明检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 实数及其简单运算 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 理解实数的相反数和绝对值的意义，掌握有理数的运算律和运算性质在实数范围内的适用性。 2.能够进行实数的简单运算。   教学重难点 重点：实数的相反数和绝对值的意义，有理数的运算律和运算性质在实数范围内的适用性。 难点：实数的运算，尤其是无理数的加减运算。 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：有理数与无理数 2 知识点二：实数 2 知识点三：实数大小的比较 3 知识点四：实数的运算 3 优选考点讲练 3 考点一：无理数 3 考点二：无理数的大小估算 4 考点三：无理数整数部分的有关计算 5 考点四：实数概念理解 7 考点五：实数的分类 7 考点六：实数的性质 9 考点七：实数与数轴 10 考点八：实数的大小比较 11 考点九：实数的混合运算 12 考点十：程序设计与实数运算 13 考点十一：新定义下的实数运算 14 考点十二：实数运算的实际应用 15 考点十三：与实数运算相关的规律题 16 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 18 基础通关练 18 能力提升练 21 拔尖拓展练 26 知识点一：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分：实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三：实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四：实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 考点一：无理数 【例1】（24-25七年级下·全国·期中）在一组数 ，，(相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】此题考查了无理数，无限不循环小数是无理数．判断每个数是否是无理数即可得到答案． 【完整解答】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵ 0是整数， ∴0是有理数； ∵ π是无理数， ∴是无理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵（相邻的两个1之间依次多一个3）是无限不循环小数， ∴（相邻的两个1之间依次多一个3）是无理数. ∴ 无理数共2个， 故选：B 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有 个． 【答案】3 【思路引导】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【完整解答】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是循环小数，是有理数； π是无理数； 是分数，是有理数； 是无理数； 0.313113…（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 故无理数有个． 故答案为：． 考点二：无理数的大小估算 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键． 先估算的大小，再得到的整数部分，最后依据定义求解即可． 【完整解答】解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【完整解答】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 考点三：无理数整数部分的有关计算 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知的算术平方根是3，的平方根等于它本身，是的整数部分，求的立方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根与平方根、立方根的定义和估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键． 先根据平方根以及算术平方根的定义列式求出a和b的值，根据可得c的值；把a、b、c的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可． 【完整解答】解：由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是 【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【思路引导】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【完整解答】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 考点四：实数概念理解 【例4】（24-25七年级下·河北承德·期末）点在第（   ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路引导】此题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，实数， 在平面直角坐标系中，第一象限点的坐标符号为，第二象限为，第三象限为，第四象限为．根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征判断． 【完整解答】点的横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征， 因此点在第四象限． 故选D． 【变式】把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 【答案】见解析． 【思路引导】根据有理数、无理数、负实数的定义解答． 【完整解答】解∶ 在，0，，，，，， 中，，，， 有理数集合∶； 无理数集合∶ ； 负实数集合∶ ． 【考点剖析】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键． 考点五：实数的分类 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 【答案】正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 【思路引导】根据正数、有理数、负数、无理数的定义进行分类．正数是大于0的数；有理数是整数、有限小数或无限循环小数；负数是小于0的数；无理数是无限不循环小数． 本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【完整解答】解：正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 【变式】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【思路引导】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【完整解答】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 考点六：实数的性质 【例6】．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【答案】(1)的相反数为3， (2)的相反数为， 【思路引导】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． 【变式】（25-26八年级上·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【思路引导】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【完整解答】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 考点七：实数与数轴 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【答案】点C所对应的实数是 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由，两点所对应的实数可求出的长度，再根据，两点关于点对称，可得到，设点所对应的实数是，根据两点间的距离公式列方程，求解即可得到答案． 【完整解答】解：，两点所对应的实数分别是，1， ． 又，两点关于点对称， ． 设点所对应的实数是， 则， 解得． 故点所对应的实数是． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 【答案】点表示的数是 【思路引导】本题考查了实数与数轴，正确地求出点表示的数是解题的关键． 先表示出点表示的数，再根据点是的中点进行求解即可． 【完整解答】解：点表示的数是，线段， 点表示的数是． 是的中点， 线段， 点表示的数是． 考点八：实数的大小比较 【例8】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较与的大小． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减得到，接着比较与的大小，将、分别平方即可比较大小，由此可比较原数的大小． 【完整解答】解：． ，， ， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与4． (2)与3． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了立方根的性质和实数的大小比较，掌握立方法比较立方根大小的方法是解题的关键． （1）比较含立方根的数与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方后比较结果； （2）比较正数的立方根与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方，通过立方结果的大小判断原数大小． 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 考点九：实数的混合运算 【例9】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可； （2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根、立方根的运算，绝对值的化简，以及利用开立方解一元三次方程的基本运算能力． 解题的关键是准确化简根式与绝对值，以及通过移项、系数化为1将方程转化为可直接开立方的形式． (1) 先分别计算平方根、立方根和绝对值，再进行加减运算； (2) 通过移项、系数化为1将方程化为，再开立方求出的值． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解： 考点十：程序设计与实数运算 【例10】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【完整解答】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 【变式】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【完整解答】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 考点十一：新定义下的实数运算 【例11】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【思路引导】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【完整解答】解：， 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·全国·期中）对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大整数即可解答． 【完整解答】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是255． 故选：B． 考点十二：实数运算的实际应用 【例12】（24-25八年级上·河南周口·月考）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【思路引导】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 考点十三：与实数运算相关的规律题 【例13】观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【完整解答】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 【变式】．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【完整解答】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 基础通关练 1．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）在下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数．无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方式有：开不尽方的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻两个之间依次增加个)． 【完整解答】解：A、是整数，是有理数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是分数，是有理数，不是无理数，故该选项不符合题意； C、是开不尽方的数，是无理数，故该选项符合题意； D、3是正整数，是有理数，不是无理数，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025·云南楚雄·模拟预测）在，，0，这四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【完整解答】解：由无理数的定义可知，四个数中无理数只有， 故选：B． 3．下列命题中，正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、0和负无理数 B．无理数不是实数 C．无理数是带根号的数 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【思路引导】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．根据无理数的定义，判断各选项的正误即可． 【完整解答】解：A、0是有理数，不属于无理数，故A错误； B、无理数和有理数统称为实数，故B错误； C、带根号的数不一定无理（如是有理数），且无理数不一定带根号（如），故C错误； D、无理数是无限不循环小数，故D正确； 故选：D． 4．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）给出下列各数：，，，0，，，0.3131131113…，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数． 【完整解答】解：，0，是有理数， ∴无理数有，，，，共4个． 故选：C． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数，绝对值的性质，掌握绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的性质，化简等式，得到，从而求出的值． 【完整解答】解：，且， ∴原等式可化为． 解得： ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河南开封·期中）请写出一个比大，且比小的无理数： ． 【答案】 【思路引导】本题考查无理数的大小比较以及无理数的定义，根据无理数的定义，写出一个在和之间的无理数即可． 【完整解答】解： ，，， ，且是无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【完整解答】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根化简，再计算即可． 【完整解答】解： ． 9．（24-25七年级下·广东东莞·月考）计算： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可． 【完整解答】解： 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【完整解答】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 能力提升练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数的定义与性质，解题关键是准确理解无理数“无限不循环”的本质，避免将“带根号”作为无理数的判定标准． 逐一分析每个选项，根据无理数的定义（无限不循环小数）来判断其正确性． 【完整解答】解：A、无理数是无限不循环小数，属于无限小数，该说法正确，不符合题意； B、（相邻两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符合题意； C、无理数不一定是带根号的数，例如是无理数但不带根号；而像这样带根号的数却是有理数，该说法错误，符合题意； D、分数是有理数，无理数不属于有理数，因此无理数不可能是分数，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【完整解答】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【完整解答】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 通过计算或比较每个选项的数值或表达式，判断其正确性即可． 【完整解答】解：A、，，且， ， ， ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ > ， ∴ ， ∴ ，该选项说法正确，符合题意； C、，，且， ，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵ ， ∴ ，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·月考）如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有 个． 【答案】5 【思路引导】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以估算无理数的大小． 根据题意和数轴的特点可以求得在数和之间的整数有几个，从而可以解答本题． 【完整解答】解：∵， ∴在数和之间的整数有，共有个． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【思路引导】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【完整解答】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期末）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【思路引导】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较．由，得，即可作答． 【完整解答】解：∵， ∴， 即， 故答案为：<． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{        }； （2）分数：{        }； （3）无理数：{       }． 【答案】（1）整数：； （2）分数：； （3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【思路引导】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 【完整解答】解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)10 (2)5 【思路引导】（1）（2）先分别计算每道题中的绝对值、乘方、算术平方根，再按照四则运算的顺序进行计算． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【考点剖析】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，掌握先算绝对值、乘方、开方，再算乘除，最后算加减的运算顺序是解题的关键． 10．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2)见解析 【思路引导】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【完整解答】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·周测）若a，b均为整数，且，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了开平方和开立方，熟练掌握开平方和开立方是解题的关键． 根据条件，a 是大于 的最小整数，b 是大于 的最小整数，分别求出 a 和 b 后相加即可． 【完整解答】解：，， ，即 又∵ a 为整数， ∴ 的最小值为． ∵ ， ∴ ， 又∵为整数， ∴的最小值为． ∴ 的最小值为 ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列实数：，π，3.14114111411114…（每两个4之间依次增加一个1），，，．其中无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【思路引导】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【完整解答】解： 是无理数， 是无理数， （每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数， = 4，是有理数， 是分数，是有理数， 是无理数， ∴ 无理数有个. 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【完整解答】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【完整解答】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 【答案】B与C 【思路引导】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答． 【完整解答】解： ， ∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间． 故答案为：与． 6．（25-26七年级下·全国·周测）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，掌握分母相同的分数，比较分子大小即可，结合无理数的估算判断分子的大小是解题的关键． 因为分母相同，故可通过比较分子的大小来比较两个分数的大小． 【完整解答】解：∵分母相同， ∴比较分子和． ， ∴， ． 故答案为：＞． 7．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）在下列说法中： 是的平方根；的平方根是； 的算术平方根是；是一个负数； 的相反数和倒数都是；； 已知是实数，则；全体实数和数轴上的点一一对应． 正确的是 （填序号）． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数有关概念，分别利用平方根以及算术平方根和二次根式的性质、实数与数轴分别分析得出即可． 【完整解答】解：是的平方根，故此选项错误； 没有平方根，故此选项错误； 的算术平方根是，故此选项错误； 无意义； 没有倒数，故此选项错误； ，故此选项错误； 已知是实数，则，正确； 全体实数和数轴上的点一一对应，正确． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·月考）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 【答案】（1）①  ②  （答案不唯一） （2）  2 （3）或 【思路引导】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解； ② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于； （2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值． 【完整解答】（1）解：（1）①∵， ∴数，的另一个“平方和数”为． ②∵，且， ∴还可以是数，的“平方和数”． （2）解：（2）由题意得 ∵平方数具有非负性， ∴， 要使两个非负数的和为，必须两个数都为： 解得 ：，． （3）解：（3）根据题意，得 当时，； 当时，． ∴或． 【考点剖析】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解． 9．（25-26七年级下·全国·单元测试）小明在一本数学资料上看到这样一道题：计算． 小明的解题过程是这样的：．他在检查时，发现这个结果有些蹊跷，两个数的绝对值的和怎么会是负数呢？他百思不得其解． (1)请你帮小明检查一下，他在哪里出错了？这个式子的结果应是多少？ (2)试一试，计算． 【答案】(1)小明在取绝对值符号时出错了， 结果应该是1 (2) 【思路引导】本题考查了绝对值的化简计算，掌握判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． （1）先判断绝对值内表达式的正负，再根据绝对值的性质正确去掉绝对值符号，进而计算式子的正确结果； （2）依次判断每个绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后，通过式子的抵消进行化简，最终计算出结果． 【完整解答】（1）解：小明的错误：小明在取绝对值符号时出错了，结果应该是． 原式 ． （2）解：原式 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $