（寒假讲义-预习篇）第一讲 相交线（十大重点考点练+三难度分层练 共50题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册精编培优讲练

第一讲 相交线 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.能在具体的情境中了解垂直的相关概念，并学会符号语言的书写格式，体会数学来源于生活，感受定义的合理性和简洁性； 2.探索并掌握用三角尺过一点画一条直线的垂线的方法，培养学生动手操作能力； 3.经历探究垂线“基本事实”的过程，感悟实践出真知的哲理性   教学重难点 1.垂线的概念、画法和基本事实和是重点； 2.画线段和射线的垂线是难点。 新教材 新知识 新目标 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：相交线中的角 3 优选考点讲练 4 考点一：对顶角的定义 4 考点二：对顶角相等 5 考点三：邻补角的定义理解 6 考点四：找邻补角 6 考点五：利用邻补角互补求角度 7 考点六：垂线的定义理解 8 考点七：画垂线 9 考点八：垂线段最短 10 考点九：点到直线的距离 11 考点十：同位角、内错角、同旁内角 11 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 12 基础通关练 12 能力提升练 16 拔尖拓展练 19 知识点梳理01：相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 1.垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【易错点拨】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【易错点拨】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 知识点梳理02：相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°， ∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°， ∠2+∠4=180° 【易错点拨】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【易错点拨】 如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 考点一：对顶角的定义 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 考点二：对顶角相等 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【变式】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 考点三：邻补角的定义理解 【例3】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【变式】如图，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，试说明街道是笔直的（即）． 考点四：找邻补角 【例4】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 考点五：利用邻补角互补求角度 【例5】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线相交于点．∠，若，求的度数． 【变式】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线，相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 考点六：垂线的定义理解 【例6】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【变式】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 考点七：画垂线 【例7】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 【变式】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知、、是正方形网格上的三个格点，根据要求在网格中作图并标注字母． (1)连接，作射线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)求作格点，使得． 考点八：垂线段最短 【例8】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【变式】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 考点九：点到直线的距离 【例9】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【变式】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，有A，B，C，D四个点，请按下列语句画出相应图形： (1)画出直线，线段； (2)过点画直线，垂足为点，交的延长线于点，连接； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度？（直接写出答案，不必说明理由） 考点十：同位角、内错角、同旁内角 【例10】（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 基础通关练 1．（24-25七年级下·北京·月考）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏·假期作业）图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 3．（25-26七年级上·上海·假期作业）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 6．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图，有两堵围墙，有人要测量地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．若小刚提供了测量方案：延长至点，测得的度数为，则的度数为 ． 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，点在直线上，平分，若，则 度． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    9．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 能力提升练 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，点在直线上，射线平分，若，则 ． 7．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 8．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 9．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 10．（25-26七年级上·全国·期末）图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点在线段上，是的补角，平分． (1)若为直角，求的度数． (2)若，求的度数． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 6．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 8．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； 9．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 相交线 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1.能在具体的情境中了解垂直的相关概念，并学会符号语言的书写格式，体会数学来源于生活，感受定义的合理性和简洁性； 2.探索并掌握用三角尺过一点画一条直线的垂线的方法，培养学生动手操作能力； 3.经历探究垂线“基本事实”的过程，感悟实践出真知的哲理性   教学重难点 1.垂线的概念、画法和基本事实和是重点； 2.画线段和射线的垂线是难点。 新教材 新知识 新目标 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：相交线中的角 3 优选考点讲练 4 考点一：对顶角的定义 4 考点二：对顶角相等 6 考点三：邻补角的定义理解 8 考点四：找邻补角 9 考点五：利用邻补角互补求角度 11 考点六：垂线的定义理解 12 考点七：画垂线 14 考点八：垂线段最短 16 考点九：点到直线的距离 18 考点十：同位角、内错角、同旁内角 19 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 21 基础通关练 21 能力提升练 27 拔尖拓展练 35 知识点梳理01：相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 1.垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【易错点拨】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【易错点拨】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 知识点梳理02：相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°， ∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°， ∠2+∠4=180° 【易错点拨】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【易错点拨】 如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 考点一：对顶角的定义 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【思路引导】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【完整解答】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 【答案】 2 6 12 4098600 【思路引导】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键． 根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得． （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角； （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数； （5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【完整解答】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角； 故答案为：2； （2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角； 故答案为：6； （3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角； 故答案为：12； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 2条直线相交于一点，形成对对顶角； 3条直线相交于一点，形成对对顶角； 4条直线相交于一点，形成对对顶角； ……； n条直线相交于一点，形成对对顶角； ∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：； （5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角． 故答案为：4098600． 考点二：对顶角相等 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，直线，相交于点．若，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是正确解答的关键．根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【完整解答】解：∵，，， ∴． 【变式】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3) 【思路引导】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【完整解答】（1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 考点三：邻补角的定义理解 【例3】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【思路引导】本题考查邻补角，等角的余角相等，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到，再根据等角的余角相等求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）． 故选：B． 【变式】如图，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，试说明街道是笔直的（即）． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了角平分线、对顶角相等、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．先求出，，再根据角平分线的定义可得，，然后求出，则可得，由此即可得． 【完整解答】解：∵两条笔直的街道，相交于点， ∴，， ∵街道，分别平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴街道是笔直的． 考点四：找邻补角 【例4】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据对顶角的意义，邻补角的意义求解； （2）先利用对顶角相等求得，再利用求解，然后利用邻补角的意义求得的度数． 【完整解答】（1）解：图中的对顶角为，的补角为， 故答案为：，． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了对顶角的定义，找邻补角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点． 【变式】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可； （2）设，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【完整解答】（1）由图可知：的对顶角为，的邻补角为． （2）设，则． ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴ ∴． 考点五：利用邻补角互补求角度 【例5】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线相交于点．∠，若，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了邻补角的性质和角的和差关系，解题的关键是利用邻补角求出的度数，再结合角的比例关系列方程求解．设，由，得，列方程，求解即可． 【完整解答】解：设， ， ， ， 根据邻补角得：， ， 即， 解得：， 故， 【变式】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，直线，相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查邻补角的定义，角的相关运算，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． （1）根据邻补角的定义可得，结合，即可求解； （2）由（1）知，即可求出，设，则，由，建立方程求出的值，即可解答． 【完整解答】（1）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点六：垂线的定义理解 【例6】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）依据角平分线的定义，得到，根据垂直的定义得到． 【完整解答】（1）解：， ． 平分， ． （2）证明：平分，平分， ，， ， ． 【考点剖析】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 考点七：画垂线 【例7】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 【答案】(1)①；②；点到直线的距离，垂线段最短； (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，垂线段最短，画平行线、垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可作出垂线，①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （2）取格点E，作直线即可． 【完整解答】（1）解：如图，直线即为所求；直线即为所求； ①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为：①；②；点到直线的距离，垂线段最短； （2）解：如图，直线即为所求． 【变式】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知、、是正方形网格上的三个格点，根据要求在网格中作图并标注字母． (1)连接，作射线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)求作格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了线段，射线，垂线，平行线的做法； （1）根据网格的特点，连接，作射线即可； （2）根据网格的特点，过点作的垂线，垂足记为即可； （3）根据网格的特点，过点作，即可找到格点． 【完整解答】（1）解：如图所示 （2）解：如图所示 （3）解：使得的格点，如图所示， 考点八：垂线段最短 【例8】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【思路引导】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【完整解答】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【变式】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【思路引导】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【完整解答】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 考点九：点到直线的距离 【例9】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【完整解答】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 【变式】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，有A，B，C，D四个点，请按下列语句画出相应图形： (1)画出直线，线段； (2)过点画直线，垂足为点，交的延长线于点，连接； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度？（直接写出答案，不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点到直线的距离是的长度． 【思路引导】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解射线、直线、垂线的定义． （1）根据直线、线段的定义画图即可； （2）根据垂线的定义画图，再按要求连接即可； （3）根据点到直线的距离的定义即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，直线，线段即为所作； ； （2）解：所作图形如图所示； （3）解：点到直线的距离是的长度． 考点十：同位角、内错角、同旁内角 【例10】（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D． 【完整解答】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【思路引导】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【考点剖析】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 基础通关练 1．（24-25七年级下·北京·月考）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了对顶角的知识，掌握对顶角的定义是解题关键．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【完整解答】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏·假期作业）图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 【答案】B 【思路引导】此题考查了同位角、同旁内角、内错角、对顶角等知识．根据相关定义进行判断即可． 【完整解答】解：和是直线和直线被直线所截的同位角． 故选：B． 3．（25-26七年级上·上海·假期作业）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【完整解答】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【完整解答】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【思路引导】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【完整解答】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图，有两堵围墙，有人要测量地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．若小刚提供了测量方案：延长至点，测得的度数为，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了邻补角的定义，如果两个角有一条公共边，其余两边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角，互为邻补角两个角的和等于． 直接根据邻补角的定义计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，点在直线上，平分，若，则 度． 【答案】 【思路引导】本题考查了邻补角的定义，角平分线的定义，根据邻补角和角平分线的定义进行计算，即可求解． 【完整解答】解：∵点在直线上， ∴， ∵， ∵平分， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    【答案】 【思路引导】本题主要考查了角度的计算，以及对顶角相等这一性质，正确进行角度的计算是解题的关键． 根据，即可求得的度数，然后根据对顶角相等即可求解． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查对顶角和邻补角的概念． （1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． （2）两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角． 【完整解答】（1）根据对顶角的概念可得：的对顶角是， （2）根据邻补角的概念可得：的邻补角是，． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【思路引导】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【完整解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 能力提升练 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查角的和差运算，掌握好余角和对顶角的概念是解题关键． 由可得，，从而计算出，根据对顶角相等，求出． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为是解题的关键． 根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【完整解答】解：，，， 到的距离为， 点是边上的动点， 则的长不可能是． 故选A． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【完整解答】解： 于， ， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的相关计算．先根据，设，，由算出和，进而算出，再根据平分得，最后根据即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，分类讨论是解答的关键． 分为当射线在上方时和当射线在下方时两种情况，根据垂线的定义得到，再根据角之间的关系进行求解即可． 【完整解答】解：如图1，当射线在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图2，当射线在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，点在直线上，射线平分，若，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查角的运算．先求出，再根据平分即可求得，再根据，即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴． ∴ 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【完整解答】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【思路引导】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 9．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，根据角平分线的定义和已知条件可推出，则由平角的定义可求出的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案． 【完整解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·全国·期末）图1是一把多功能对角尺，图2是其示意图，点在线段上，是的补角，平分． (1)若为直角，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）由可得，进一步结合角平分线的定义求解即可． （2）设， 可得，证明，，进一步解方程可得答案． 【完整解答】（1）解：∵为直角， ∴． ∵是的补角， ∴， ∵平分， ∴． ∴． （2）解：设，而， ∴． ∵是的补角， ∴三点共线， ∴， ∵平分， ∴． ∴， 解得， ∴． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【完整解答】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【完整解答】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【完整解答】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 由，根据邻补角互补可求出，根据对顶角相等求出，由此即可求出的度数． 【完整解答】解：， ，， ， 故选：B． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 【答案】，， 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【完整解答】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 6．（23-24七年级上·山东日照·期末）如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【完整解答】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【完整解答】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 8．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了角度和差，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是掌握角的和差． （1）根据垂直得出直角，然后根据等量代换即可求解； （2）根据垂直得出直角，根据角平分线得出，然后根据平角以及角的和差即可求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【思路引导】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【完整解答】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义、平角的性质、角的和差运算以及动态几何中的分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、根据旋转位置进行分类讨论并建立方程是解题的关键． （）利用平角为的性质，结合已知、，通过角度和差关系直接计算的度数． （2）①先根据角平分线的定义，由平分且，得出；再结合旋转中角度的动态变化关系，建立关于时间的方程，进而求出的度数．②根据三角尺的旋转位置分三种情况讨论：当未与重合时，结合的关系表示出，再由列方程求解．当与重合后、未到下方时，分析角度关系列出方程，检验解是否符合区间范围．当在下方时，用含的式子表示和，再根据角度倍数关系列方程求解，最终综合所有情况得到的值． 【完整解答】（1）解： ， ； （2）解：①如图2， 平分，， ， 当旋转时间为秒时，， 则，解得， ， ②（）当顺时针旋转未与重合，即当时，如图 ， 由，得， 解得； （）当与重合后开始逆时针旋转，即当时，如图， ， 则， 由，得， 解得，此情况不符合题意，舍去， （）当在下方，即当时，如图， ， 由，得， 解得， 综上所述，或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $