2026届黑龙江省绥化市海伦市第六中学第一次模拟考试高三数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026届黑龙江省绥化市海伦第六中学第一次模拟考试试题 高三数学 考试时间：150分钟 试卷满分： 150分 （适用地区：山西、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、贵州、云南、甘肃、新疆） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 2.复数，则(    ) A. B. C. D. 3.在直角三角形中，斜边的中点为，若，则(    ) A. B. C. D. 4.学校运动会十名护旗手身高单位：分别为，，，，，，，，，，则十名护旗手身高的分位数为(    ) A. B. C. D. 5.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点当的周长最大时，(    ) A. B. C. D. 8.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在论音乐中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正项等比数列的公比为，前项和为，，，则(    ) A. B. C. 数列是递减数列 D. 10.已知函数，则(    ) A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为 D. 若关于的方程恰有个不等的实根，则的取值范围为 11.已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是(    ) A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.实数，满足，设点，，，动点满足，点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为      ． 13.双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为        ． 14.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在四棱锥中，底面是梯形，，，，，，是正三角形，为棱中点． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值． 16.本小题分 已知函数为常数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 设函数的两个极值点分别为，，求的范围． 17.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在上． 求双曲线的标准方程； 过的直线交双曲线于，两点两点均位于轴下方，在左，在右，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求直线的方程． 18.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式； 若，求数列的前项和． 19.本小题分 已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，，以，分别为切点作曲线的切线，，与的交点为． 求点的轨迹方程； 设点，连接，，分别与曲线的另一个交点为，，直线与轴相交于，连接，，分别与曲线的另一个交点为，，直线与轴相交于，，连接，，分别与曲线的另一个交点为，，直线与轴相交于，已知． 求数列的通项； 已知，，为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：不等式可化为：， 解得， 所以集合， 由，可得 所以集合， 所以． 故选：． 先解不等式得到集合 ，集合 ，所以由交集的运算得到． 本题主要考查了分式不等式和指数不等式解法，考查了集合的交集运算，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：复数， 故． 故选：． 根据复数的除法运算化简复数，从而根据模长公式得． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3.【答案】  【解析】解：为斜边的中点， ， ， ， 在直角中，，，又， ． 故选：． 以为基底向量得到向量，然后即可求得． 本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题． 4.【答案】  【解析】解：将数据从小到大排序：，，，，，，，，，， ， 故则十名护旗手身高的分位数． 故选：． 结合百分位数的定义，即可求解． 本题主要考查百分位数的定义，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：， 则， ， 则， 故式整理可得，，解得或舍去， 故， 所以． 故选：． 根据已知条件，结合二倍角公式，即可求解． 本题主要考查三角函数的二倍角公式，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：根据题意得， 又因为函数在区间上单调递增，此时， 所以，解得， 所以的最大值为． 故选：． 先根据图象的平移变换得到的解析式，再根据在区间上单调递增，即可得到的最大值． 本题考查了函数的图象变换以及正弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题． 7.【答案】  【解析】解：设的周长为， 则， 因为当、、三点共线时，等号成立， 又因为，， 所以当的周长最大时， 直线的方程为：， 由， 得， 解得或， 当时，；当时，， 设，， 所以． 故选：． 由椭圆的性质可得当、、三点共线时，的周长最大，求出直线的方程，代入椭圆方程，求出，两点的坐标，即可得答案． 本题考查了直线与椭圆的关系、数形结合思想，考查了两点间的距离公式，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：不妨设，， 则，当且仅当时取等号， 所以， 则， 所以当时，取得最小值． 故选：． 由已知结合基本不等式及指数的运算性质即可求解． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：由正项等比数列的公比为可得：，，， 因为，， 所以，解得， 则． 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误． 故选：． 根据数列是正项等比数列，，可得出，，写出及，即可判断选项A、、；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C． 本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属基础题． 10.【答案】  【解析】解：由，得， 对于，由，定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，A正确； 对于，由，解得或， 即函数的递增区间为，，B错误； 对于，由，解得，所以函数的递减区间为， 结合选项中的解答，函数的极小值为，C正确； 对于，结合，选项的解答可知：函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 极大值为，极小值为， 又由关于的方程恰有个不等的实根， 即函数与的图象有个不同的交点，可得， 所以实数的取值范围为，所以D正确． 故选：． 根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；由，求得其解集，可判定不正确；根据函数的单调性和极值的定义，可判定C正确；求得函数的极值，转化为与的图象有个不同的交点，求得的取值范围，可判定D正确． 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数零点的问题，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：由题意得， 因为复数的虚部为，所以项正确； 由，得， 可知在复平面内对应的点为位于第三象限，故B项正确； 根据复数模的计算公式，可得，故C项错误； 根据复数、都是虚数，不能比较它们的大小，可知项错误． 故选：． 根据复数的除法运算法则求得，然后根据复数的基本概念与几何意义，结合复数模的计算公式逐项分析判断，即可得到本题的答案． 本题主要考查复数的四则运算法则、复数的模、复数的几何意义等知识，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：因为实数，满足， 即， 所以， 则， 即， 令， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，从而点在直线上， 因为为线段的中点，，所以， 从而在以为直径的上，所以有， 此时，所以， 可得直线的斜率为， 因为满足，可知点在以为直径的上，方程为， 若面积最大，由圆的对称性可知，此时直线垂直于， 所以直线的斜率为，点在优弧上，从而可知直线：， 联立， 可得负值舍去， 所以，所求点坐标为． 故答案为：． 根据指数的运算性质和对数的运算性质，根据方程求出参数值，再根据向量积的坐标表示，求出动点轨迹，进而求出符合条件的动点坐标即可． 本题考查导数，以及直线与圆的方程的应用，属于难题． 13.【答案】  【解析】解：因为双曲线，所以， 则， 又由抛物线的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 所以， 解得， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解． 本题考查双曲线与抛物线方程的应用，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，， 直线与所成角的大小为， ， 解得， 四棱锥的体积为： ． 故答案为：． 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥的体积． 本题考查异面直线所成角、四棱锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15.【答案】证明：取中点，连接，， 因为，分别为，中点，所以， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面    【解析】解：证明：取中点，连接，， 因为，分别为，中点，所以， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 取中点，连接， 因为是正三角形，所以，， 又因为，，则，所以， 又因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 因为，平面，平面平面， 所以平面， 在平面内过点作，则平面， 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 取则， 平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 取中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，所以，利用线面平行的判定定理得到平面； 取中点，连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，过点作，则平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面与平面夹角的余弦值即可． 本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 16.【答案】解：已知为常数，函数定义域为， 当时，， 此时， 可得， 所以， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 若在定义域内有两个极值点， 则，是方程， 即方程的两个不相等的正根， 满足 解得， 又， 即， 因为， 所以 ， 不妨令，， 此时函数，函数定义域为， 可得， 所以单调递减， 则， 即函数的值域为， 故的范围为  【解析】由题意，将代入函数解析式中，对进行求导，得到和，代入切线方程中即可求解； 将函数有两个不相等的极值点转化成方程的两个不相等的正根，利用韦达定理和根的判别式得到相关信息，此时，利用换元法，构造函数，求导得到单调性和极值，进而即可求解． 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 17.【答案】    【解析】解：根据题意，得，解得， 所以双曲线的标准方程为； 由题知直线斜率不为，设过的直线为， 因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有， 解得舍， 则直线的方程为． 根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可． 本题考查双曲线方程的求法及直线与双曲线的综合应用，属中档题． 18.【答案】   【解析】解：根据题意，设等差数列的首项为，公差为， 若，， 则有，解得，， 故． 根据题意，由的结论，，则， 所以， 得． 利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； 由可推得，进而利用裂项相消法求即可． 本题考查数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于中档题． 19.【答案】；   ；的最小值为．  【解析】由题意可得圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 联立，整理得，恒成立， 设，， 则，，又可化为，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为． 设，，则， 又，则，又， 所以，即直线的方程为， 整理得，令，可得， 同理得的方程为，令，可得， 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 由可知，， 可得． 于是可得，即，又因为，则， 于是，即， 即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以，所以． 由可知，，则， 所以， 则， 两式作差可得， 所以． 令，即． 当，时，显然不合题意； 当时，随着的增大而增大， 又， ， 则满足不等式的的最小值为． 根据抛物线的定义得曲线的方程为，联立，写出韦达公式，应用导数几何意义求切线方程，进而求点的轨迹方程； 设，，得到：，：，：，进而有、、，可得，最后应用对数的运算性质、等比数列的定义写出的通项； 应用错位相减法求得，根据不等式能成立求参数值． 本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的综合，数列的应用，考查运算求解能力，属于难题． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $