专题05变量与函数寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题05变量与函数寒假预习讲义 · 能区分实际问题中的变量与常量，并说出它们的意义。 · 理解函数的概念，知道自变量和函数的对应关系。 · 能根据题意列出简单的函数关系式。 · 会确定自变量的取值范围，并能求出对应的函数值。 · 初步感受变量之间的变化规律，为后续函数学习打好基础。 预习必备 知识点梳理 1.变量与常量 2.函数的概念 3.函数的表示方法 4.自变量的取值范围 5.函数值 6.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.用表格表示变量间关系 2.用关系式表示变量间关系 3.用图象表示变量间关系 4.函数的概念 5.函数的三种表示法 6.函数解析式 7.求自变量的取值范围 8.求自变量的值或函数值 强化题型 (解答题4题) 【知识点01.常量与变量】 1. 定义 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 常量：在某一变化过程中，取值始终保持不变的量。 2. 核心辨析（关键） 变量与常量相对变化过程而定，同一量在不同过程中身份可互换。 例：匀速行驶中，路程s=vt，v是常量，s、t是变量；变速行驶中，v、s、t均为变量。 常见常量：固定数值（如2、5）、圆周率π、固定速度 / 单价等。 【知识点02.函数的概念】 1. 定义 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则： x是自变量（主动变化）； y是因变量（随x被动变化）； 称y是x的函数。 2. 三大判定条件（缺一不可） 1.存在一个变化过程； 2.有两个变量（x、y）； 3对x的每一个值，y有唯一值对应（“唯一性” 是核心）。 3. 易错点提醒 函数不是数，是两个变量间的对应关系。 自变量不同值，函数值可相同 【知识点03.函数的表示方法】 1. 解析法（最常用） 定义：用 ** 数学表达式（函数关系式）** 表示变量关系。 优点：精准、简洁，便于计算与分析。 2. 列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。 优点：直观、易查，直接读取对应值。 3. 图象法 定义：在平面直角坐标系中，用 ** 图象（曲线 / 直线）** 表示函数关系。 优点：形象、直观，清晰呈现变化趋势。 4. 三种方法对比 方法 优点 缺点 解析法 精准、便于运算 抽象、不直观 列表法 直观、易查值 数据有限、不连续 图象法 形象、看趋势 读数有误差、不精准 【知识点04.自变量的取值范围】 1. 确定原则 使函数表达式有意义； 符合实际问题背景（如时间、长度不能为负）。 2. 常见类型与取值范围 表达式类型 示例 取值范围 整式型 y=x2+3 全体实数 分式型 y= 分母≠0，即x2 二次根式型 y= 被开方数≥0，即x≥1 复合型 y=​ x≥−1且x3 【知识点05.函数值】 1. 定义 当自变量x取某一确定值a时，函数y的对应值，记作y∣x=a​或f(a)。 2. 求法 代入法：将x=a代入函数解析式，计算得y值。 例：y=3x−5，当x=2时，y=3×2−5=1。 【知识点06.核心易错点总结】 1.混淆变量与常量：未结合具体变化过程判断。 2.忽略函数定义的 **“唯一性”**：如y2=x误判为函数。 3.求自变量范围时漏条件：如分式 + 根式型只考虑一个限制。 4.混淆自变量与因变量：未分清主动 / 被动变化关系。 【题型1.用表格表示变量间的关系】 【典例】小邢到单位附近的加油站加油．如图所示的是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此即可作答． 【详解】解：数据中的变量是金额和数量， 故选：D． 【跟踪专练1】小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 【答案】重量和金额 【分析】本题考查常量与变量，掌握变量的定义是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：∵单价保持不变，金额随着重量的变化而变化， ∴这三个量中的变量是重量和金额． 故答案为：重量和金额． 【跟踪专练2】为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据可知，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从表格数据可知，每增加，增加，所以，当时，，错误，符合题意； D：当时，总刹车距离，正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 【题型2.用关系式表示变量间关系】 【典例】购买单价为每支2元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列关系式． 根据总金额等于单价乘以数量，可得关系式． 【详解】解：由题意，铅笔单价为每支元，购买支铅笔， 总金额与的关系为． 故答案为：． 【跟踪专练1】小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以的速度匀速骑行，用时小时骑行千米．下列说法正确的是（   ） A．10是常量，和是变量 B．10和是常量，是变量 C．10和是常量，是变量 D．以上说法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了常量和变量的定义． 根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案． 【详解】解：∵的速度匀速骑行，用时小时骑行千米， ∴10是常量，和是变量． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键． 根据菜园三边和为24米，可得到，变形即可得到y与x的关系式． 【详解】解：由题意可得，， 则有， 变形得： 故答案为： 【跟踪专练3】在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 【答案】D 【分析】本题主要考查常量与变量；根据表格数据，逐一判断选项，海拔高度每增加，气温下降，得到关系式在给定范围内成立，再把代入关系式计算，即可得出结果． 【详解】解：∵从表格数据可得， 海拔高度为自变量，气温为因变量，故A正确， 在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降，B正确， 当时，时，时，时，时，时，， ∴关系式成立．故C正确， 对于选项D，当时，，但选项D是，与计算不符， ∴选项D错误． 选项A、B、C均正确． 故选：D． 【题型3.用图象表示变量间的关系】 【典例】图象是我们表示变量之间关系的另一种方法，它的特点是非常直观．用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示 ．图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色． 【答案】因变量 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系； 根据用图象表示变量间的关系可直接得出答案． 【详解】解：用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量， 故答案为：因变量． 【跟踪专练1】如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，能从图象中识别信息是解题的关键．观察函数图象的横轴、纵轴，可得答案． 【详解】解：A、由图象的纵轴可以看出，学校距小旺家1000米，故A正确，不符合题意； B、由图象的横轴可以看出，小旺用了20分钟到学校，故B正确，不符合题意； C、由图象的纵轴可以看出，小旺前10分钟走了总路程的一多半，故C正确，不符合题意； D、由图象的纵轴可以看出，小旺后10分钟比前10分钟走得慢，故D错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据图象求得甲、乙的速度是解题的关键．根据图象，利用速度等于路程除以时间，分别求出甲乙的速度即可得解． 【详解】解：根据图可知，甲距离A地，行驶时间为，乙距离A地，行驶时间为， 甲的速度为，乙的速度为， 甲乙的速度和为． 故答案为： 【跟踪专练3】“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查从图象中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间， 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故①说法错误； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选②说法正确； 由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故③说法正确； 综上所述：说法正确的是②③． 故选：B． 【题型4.函数的概念】 【典例】谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个过程．在该变化过程中，变量是 ． 【答案】时间和冰的厚度 【分析】根据变量的定义，在变化过程中，时间和冰的厚度都在变化，因此都是变量． 本题考查了变量与常量的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在冰的厚度随时间变化的过程中，时间不断变化，冰的厚度也随之变化， ∴变量是时间和冰的厚度． 故答案为：时间和冰的厚度． 【跟踪专练1】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，正确理解函数定义是解题的关键．根据函数的定义观察判断即可． 【详解】解：观察上述选项，C选项中，在x轴上取一个点有多个y值与之对应， 则不能表示y是x的函数． 故选：C． 【跟踪专练2】下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查函数的判断，根据函数的定义，一个变化的过程中，有两个变量，其中随着的变化而变化，且对于每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，我们就称y是x的函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，y是x的函数的有，，共3个，，对于每一个确定的的值并不是都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解本题的关键．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数．根据函数的定义判断即可． 【详解】根据函数的定义可知，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之对应，选项A，B，D均满足函数的定义，不符合题意； 选项C中，存在对于的某个确定的x值，y可能出现两个值与其对应，所以选项C中的曲线，y与x不是函数关系，符合题意． 故选：C． 【题型5.函数的三种表示法】 【典例】设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、 ． 【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法 【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可． 【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法． 故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本题的关键． 【跟踪专练1】酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 【答案】B 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，理解表格信息是解本题的关键，根据表格信息结合函数定义可得答案； 【详解】解：由表格信息可得：酒精浓度越高，水蚤心率越低，正确，A不符合题意； 自变量是酒精溶液浓度，因变量是水蚤心率，原来说法错误，B符合题意； 酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0，正确，C不符合题意； 酗酒对人体的心跳可能有不利影响，正确，D不符合题意； 故选B 【跟踪专练2】对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数；随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图像法． 【详解】解：对于关系式，①是自变量，是因变量，正确；②的数值可以任意选择，正确；③y是变量，随的变化而变化，故③错误；④与的关系还可以用列表法和图像法表示，正确， 综上所述正确的说法有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键． 【跟踪专练3】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【答案】C 【分析】根据表格中信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意； C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意； D、当 时，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键． 【题型6.函数解析式】 【典例】在计算器上按下面的程序操作，用与的函数关系表示出来是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数关系式， 按照程序输入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元，设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系：总费用成人票价学生票价是解题关键．根据总费用名成人的门票费用名学生的门票费用解答即可． 【详解】解：依题意，y与x之间的函数解析式为 故选：C． 【跟踪专练2】已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【答案】 200 【分析】本题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，难点是根据题意得到相应的数量的代数式． 根据某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件，即可得到月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式． 【详解】解：根据题意得：， 即该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为； 当时，， 解得：， 即某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元． 故答案为：；200 【跟踪专练3】漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 【题型7.求自变量的取值范围】 【典例】已知函数，其自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不为零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 【跟踪专练2】函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性及函数，熟练掌握算术平方根的非负性及函数是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【跟踪专练3】若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于以及分式有意义的条件，进行计算即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：根据题意可知且， ， 解得：， 在数轴上表示如下：    故选：． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【题型8.求自变量的值或函数值】 【典例】已知，那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键．将代入函数中，直接计算即可． 【详解】解：由函数定义，． 故答案为：． 【跟踪专练1】“我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒”出自宋代诗人苏轼的《水调歌头》，“高处不胜寒”的原因是大气的主要热源是在地球表面，距离地面越远，气温就越低，气温随着高度的增加而降低．在这一变化过程中，自变量是（   ） A．高度 B．气温 C．地球 D．地面 【答案】A 【分析】本题考查了自变量，题干描述气温随高度的增加而降低，高度是主动变化的量，因此自变量是高度． 【详解】∵气温随高度的变化而变化， ∴高度是自变量， 故选：A． 【跟踪专练2】五一假期，小丁一家自驾车到离我市的濮阳海洋馆旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据，下列说法不正确的是（    ） 行驶路程 0 50 100 150 200 … 油箱余油量 45 41 37 33 29 … A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油 C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小丁一家到达景点时，油箱中剩油 【答案】C 【分析】本题考查了函数的应用，关键是能准确理解题目中的数量关系，并能列式表达．通过表格给出的信息理解题意，可得此题答案． 【详解】解：∵当时， ∴该车的油箱容量为，故选项A正确，不符合题意； 由表格可得该车每行驶耗油，故选项B正确，不符合题意； 则油箱余油量与行驶路程之间的关系式为，故选项C不正确，符合题意； ∵， ∴当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断与的大小，然后把代入，求出即可． 【解答】解：， ， 输出的的值为：， 故答案为：． 1．某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； （2）解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 2．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 3．已知函数，．求满足条件的的取值范围：． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，涉及了一元一次不等式的求解，由题意得，即可求解； 【详解】解：∵，． ∴， 由解得：， 4．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05变量与函数寒假预习讲义 · 能区分实际问题中的变量与常量，并说出它们的意义。 · 理解函数的概念，知道自变量和函数的对应关系。 · 能根据题意列出简单的函数关系式。 · 会确定自变量的取值范围，并能求出对应的函数值。 · 初步感受变量之间的变化规律，为后续函数学习打好基础。 预习必备 知识点梳理 1.变量与常量 2.函数的概念 3.函数的表示方法 4.自变量的取值范围 5.函数值 6.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.用表格表示变量间关系 2.用关系式表示变量间关系 3.用图象表示变量间关系 4.函数的概念 5.函数的三种表示法 6.函数解析式 7.求自变量的取值范围 8.求自变量的值或函数值 强化题型 (解答题4题) 【知识点01.常量与变量】 1. 定义 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 常量：在某一变化过程中，取值始终保持不变的量。 2. 核心辨析（关键） 变量与常量相对变化过程而定，同一量在不同过程中身份可互换。 例：匀速行驶中，路程s=vt，v是常量，s、t是变量；变速行驶中，v、s、t均为变量。 常见常量：固定数值（如2、5）、圆周率π、固定速度 / 单价等。 【知识点02.函数的概念】 1. 定义 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则： x是自变量（主动变化）； y是因变量（随x被动变化）； 称y是x的函数。 2. 三大判定条件（缺一不可） 1.存在一个变化过程； 2.有两个变量（x、y）； 3对x的每一个值，y有唯一值对应（“唯一性” 是核心）。 3. 易错点提醒 函数不是数，是两个变量间的对应关系。 自变量不同值，函数值可相同 【知识点03.函数的表示方法】 1. 解析法（最常用） 定义：用 ** 数学表达式（函数关系式）** 表示变量关系。 优点：精准、简洁，便于计算与分析。 2. 列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。 优点：直观、易查，直接读取对应值。 3. 图象法 定义：在平面直角坐标系中，用 ** 图象（曲线 / 直线）** 表示函数关系。 优点：形象、直观，清晰呈现变化趋势。 4. 三种方法对比 方法 优点 缺点 解析法 精准、便于运算 抽象、不直观 列表法 直观、易查值 数据有限、不连续 图象法 形象、看趋势 读数有误差、不精准 【知识点04.自变量的取值范围】 1. 确定原则 使函数表达式有意义； 符合实际问题背景（如时间、长度不能为负）。 2. 常见类型与取值范围 表达式类型 示例 取值范围 整式型 y=x2+3 全体实数 分式型 y= 分母≠0，即x2 二次根式型 y= 被开方数≥0，即x≥1 复合型 y=​ x≥−1且x3 【知识点05.函数值】 1. 定义 当自变量x取某一确定值a时，函数y的对应值，记作y∣x=a​或f(a)。 2. 求法 代入法：将x=a代入函数解析式，计算得y值。 例：y=3x−5，当x=2时，y=3×2−5=1。 【知识点06.核心易错点总结】 1.混淆变量与常量：未结合具体变化过程判断。 2.忽略函数定义的 **“唯一性”**：如y2=x误判为函数。 3.求自变量范围时漏条件：如分式 + 根式型只考虑一个限制。 4.混淆自变量与因变量：未分清主动 / 被动变化关系。 【题型1.用表格表示变量间的关系】 【典例】小邢到单位附近的加油站加油．如图所示的是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【跟踪专练1】小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 【跟踪专练2】为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【跟踪专练3】我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 【题型2.用关系式表示变量间关系】 【典例】购买单价为每支2元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式可表示为 ． 【跟踪专练1】小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以的速度匀速骑行，用时小时骑行千米．下列说法正确的是（   ） A．10是常量，和是变量 B．10和是常量，是变量 C．10和是常量，是变量 D．以上说法均错误 【跟踪专练2】如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ． 【跟踪专练3】在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 【题型3.用图象表示变量间的关系】 【典例】图象是我们表示变量之间关系的另一种方法，它的特点是非常直观．用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示 ．图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色． 【跟踪专练1】如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（    ） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 【跟踪专练2】甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 【跟踪专练3】“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型4.函数的概念】 【典例】谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个过程．在该变化过程中，变量是 ． 【跟踪专练1】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 【跟踪专练3】下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.函数的三种表示法】 【典例】设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、 ． 【跟踪专练1】酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 【跟踪专练2】对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 【跟踪专练3】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【题型6.函数解析式】 【典例】在计算器上按下面的程序操作，用与的函数关系表示出来是 ． 【跟踪专练1】已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元，设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【跟踪专练3】漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【题型7.求自变量的取值范围】 【典例】已知函数，其自变量的取值范围是 ． 【跟踪专练1】函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】函数的自变量的取值范围是 ． 【跟踪专练3】若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型8.求自变量的值或函数值】 【典例】已知，那么 【跟踪专练1】“我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒”出自宋代诗人苏轼的《水调歌头》，“高处不胜寒”的原因是大气的主要热源是在地球表面，距离地面越远，气温就越低，气温随着高度的增加而降低．在这一变化过程中，自变量是（   ） A．高度 B．气温 C．地球 D．地面 【跟踪专练2】五一假期，小丁一家自驾车到离我市的濮阳海洋馆旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据，下列说法不正确的是（    ） 行驶路程 0 50 100 150 200 … 油箱余油量 45 41 37 33 29 … A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油 C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小丁一家到达景点时，油箱中剩油 【跟踪专练3】按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 1．某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 2．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 3．已知函数，．求满足条件的的取值范围：． 4．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $