第05讲 变量与函数及函数图像（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第05讲 变量与函数及函数图像 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：变量与常量 1.定义：在某一变化过程中，数值可以取不同值的量叫做变量；数值始终保持不变的量叫做常量（常量可以是数字，也可以是固定的字母）。 2.核心特征：变量与常量是相对的，依赖于具体的变化过程。例如在中，当一定时，是常量，和是变量；当一定时，是常量，和是变量。 3.识别方法：分析变化过程中哪些量发生改变，哪些量保持固定，注意区分字母表示的是变量还是常量（如中，是常量，和是变量）。 4.易错提醒：切勿认为字母一定是变量、数字一定是常量，需结合具体问题判断（如中，为固定系数时是常量，和是变量）。 知识点2：函数的概念 1.定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么是自变量，是的函数（不能单独说“是函数”）。 2.三个关键条件：①存在两个变量； ②一个变量的变化依赖于另一个变量； ③自变量的每一个值对应唯一的函数值。 3.易错辨析：①含有三个及以上变量的关系式（如）不能表示两个变量间的函数关系； ②常量函数（如）因只有一个变量，不满足“两个变量”条件，故不是函数关系。 知识点3：自变量的取值范围 1.定义：使函数表达式有意义且符合实际问题要求的自变量的全体，叫做自变量的取值范围。 2.常见类型及要求： 整式型（如）：自变量取值范围为全体实数； 分式型（如）：分母不能为0，即，解得； 实际问题型（如路程、时间、长度等）：自变量取值需符合实际意义（如时间，剩余油量）。 3.易错提醒：忽略实际问题对自变量的限制（如放水时间不能超过总水量对应的最大时间）。 知识点4：函数值 1.定义：对于函数，当自变量取确定值时，对应的的值叫做时的函数值。 2.求法：①已知自变量求函数值：将自变量代入函数表达式计算； ②已知函数值求自变量：解方程求解，注意检验是否符合自变量取值范围。 3.特征：一个函数值可能对应多个自变量，但一个自变量只能对应一个函数值。 4.易错提醒：求函数值时忽略自变量取值范围，导致计算结果无效（如中，不能代入求函数值）。 知识点5：函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用等式（函数关系式）表示两个变量的关系（如） 准确反映变量间的对应关系，便于计算 部分函数关系无法用表达式表示；求函数值需计算 列表法 将自变量与对应函数值列成表格 一目了然，可直接查找已知自变量的函数值 对应值有限，难以看出变化趋势 图象法 用平面直角坐标系中的点组成的图形表示函数关系 直观形象，能清晰反映变化趋势和性质 由自变量的值难以准确找到对应函数值 1.选择原则：根据实际需求选择合适的表示方法，部分函数可同时用多种方法表示（如一次函数可通过解析法、列表法、图象法表示）。 2.转化关系：三种方法可以相互转化（如根据函数关系式列表，再根据表格描点画图）。 知识点6：平面直角坐标系基础 1.组成：由两条原点重合、互相垂直且单位长度相同的数轴组成，水平数轴为轴（横轴，向右为正方向），铅直数轴为轴（纵轴，向上为正方向），交点为坐标原点。 2.点的坐标：平面内任意一点，过作轴垂线得横坐标，作轴垂线得纵坐标，有序实数对即为点的坐标（先横后纵，顺序不可颠倒）。 3.象限与坐标特征： 第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：； 坐标轴上的点：轴上点，轴上点（坐标轴上的点不属于任何象限）； 角平分线上的点：第一、三象限角平分线；第二、四象限角平分线。 4.对称点坐标特征： 关于轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（如对称点为）； 关于轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（如对称点为）； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数（如对称点为）。 5.距离公式： 点到轴的距离为，到轴的距离为； 轴上两点、的距离为；轴上两点、的距离为。 6.易错提醒：①混淆坐标顺序（如将写成）； ②忽略对称点坐标的符号变化； ③计算距离时忘记加绝对值（距离为非负数）。 知识点7：函数图象的画法（描点法） 1.基本步骤： 列表：在自变量取值范围内，选取有代表性的自变量值，计算对应函数值； 描点：将表格中的有序实数对作为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点； 连线：用光滑曲线（或直线）按横坐标从小到大的顺序连接各点。 2.注意事项：①列表时需覆盖自变量取值范围的关键部分； ②描点时坐标准确，避免横、纵坐标颠倒； ③连线时需平滑，不可画成折线（一次函数除外）。 3.示例：画的图象，列表选取，对应，描点后连线成直线。 知识点8：函数图象的识别与信息提取 1.函数图象的判断：作垂直于轴的直线，若直线与图象有且只有一个交点，则该图象表示是的函数（如抛物线不满足，因垂直轴的直线可能与图象有两个交点）。 2.信息提取方法： 看清横、纵轴表示的量（如横轴为时间，纵轴为距离）； 找特殊点：起点、终点、交点、最高点、最低点（如图象的最高点对应函数最大值）； 分析变化趋势：图象上升表示函数值随自变量增大而增大，图象下降表示函数值随自变量增大而减小，图象水平表示函数值不变。 3.实际问题图象分析：结合实际场景解读图象（如刹车距离图象、行程问题图象、注水问题图象等），注意休息、停留等阶段对应的水平线段。 4.易错提醒：①误将横轴和纵轴表示的量混淆； ②忽略图象中线段对应的自变量取值范围； ③解读动点问题图象时，未结合图形运动轨迹分析。 【题型1常量与变量的识别】 方法技巧：明确变化过程，数值随过程变化的量为变量，始终不变的量为常量；同一量在不同过程中可能角色转换，需结合具体情境判断（例：在中，2和3是常量，和是变量）。 例1. （2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 变式1. （24-25八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（   ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是问题中固定不变的量，变量是可以取不同值的量．逐一分析各选项，判断其表述是否正确即可． 【详解】解：选项A：矩形面积公式为，其中3是固定值，为常量；和随矩形形状变化，是变量．表述正确． 选项B：周长公式中，2和π是固定数值，为常量；和随圆的大小变化，是变量．表述正确． 选项C：匀速运动公式中，速度是固定不变的，为常量；路程和时间是变量．选项中将视为变量，表述错误． 选项D：关系式中，2和1是固定数值，为常量；和可变化，是变量．表述正确． 综上，选项C的表述不正确． 故选：C 变式2. （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【答案】A 【分析】本题考查了变量与常量的定义，根据变量与常量的定义，结合等腰三角形的底边长为，底边上的高为定长，且面积公式为，进行分析各量的变化情况，即可作答． 【详解】解：依题意，是定长，故为常量； 底边未限定为固定值，可以变化，故为变量； 则面积随的变化而变化（中为常量），故也是变量， 故选：A 变式3. （24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度是变量 B．速度是常量，路程和时间都是变量 C．时间，速度是变量 D．速度、时间、路程都是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的概念．根据题意，速度保持不变，即速度是常量．路程与时间的关系为，当速度固定时，路程和时间会相互影响而变化，因此两者均为变量． 【详解】解：由公式可知，若速度不变（常量），则路程会随着时间的变化而变化，或时间随路程的变化而变化． 因此，速度是常量，路程和时间均为变量． 故选：B． 【题型2函数概念的判断】 方法技巧：紧扣“两个变量”“自变量每一个确定值，因变量有唯一值对应”；排除含多个变量、一对多对应、单一变量的情况（例：是函数，不是函数，因含三个变量也不是）。 例2. （25-26九年级上·山东淄博·月考）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的概念，根据函数的定义判断y是否为x的函数，函数定义为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：A项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D项：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 变式1. （24-25八年级下·全国·期末）下列各图象中不能表示是的函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的识别，涉及函数的概念，熟练掌握函数定义是解题的关键．设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，根据定义，反映在图象上就是作轴的垂线，在的取值范围上，垂线与图象有且只有一个交点进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、作轴的垂线，如图所示： 垂线与图象有且只有一个交点，是的函数，不符合题意， B、作轴的垂线，如图所示： 垂线与图象有两个交点，不是的函数，符合题意， C、作轴的垂线，如图所示： 垂线与图象有且只有一个交点，是的函数，不符合题意， D、作轴的垂线，如图所示： 垂线与图象有且只有一个交点，是的函数，不符合题意， 故选：B． 变式2. （25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）下列各图中，不能表示y关于x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量，熟练掌握函数的概念，是解题的关键． 根据函数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A图像，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； B图像，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； C图像，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； D图像，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图像． 故选：D． 变式3. （24-25八年级上·四川成都·期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有多个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 【题型3自变量取值范围的基础确定】 方法技巧：整式型取全体实数，分式型需分母不为0（例：中），偶次根式型需被开方数非负（例：中），实际问题需符合实际意义（如时间）。 例3. （25-26九年级上·云南文山·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·广东茂名·月考）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握“分式的分母不为时，分式有意义”是解题的关键．根据分式有意义的条件，确定自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数是分式形式， ∴分式有意义的条件是分母不为， ∵此函数分母为， ∴． 故答案为：． 变式2. （25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）函数中自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式函数中自变量的取值范围，解题的关键是明确分式有意义的条件（分母不为0）． 根据分式有意义的条件，令分母不为0，求解得到自变量的取值范围． 【详解】解：因为函数是分式形式，分式有意义的条件是分母不为0， 所以令，解得：． 故答案为：． 变式3. （2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）使函数有意义的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，自变量的取值范围．根据分式有意义的条件，分母不能为零，即可求解． 【详解】解：∵函数 有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4平面直角坐标系中点的坐标特征】 方法技巧：象限点看“符号”（第一象限、第二象限等），坐标轴上点看“零值”（轴、轴）；先定符号，再找数值（例：点在第四象限，点在轴正半轴）。 例4. （2023八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴对称， 横坐标取相反数为，纵坐标不变为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 变式1. （2025八年级上·江苏无锡·专题练习）若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查坐标轴和各象限上的点的坐标特点，熟练掌握各象限上的点的坐标特点是解题的关键． 根据y轴上点的横坐标为0，求出n的值，再代入点B的坐标，即可判断其所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴点， ∴点在第四象限． 故答案为：四 变式2. （25-26八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及象限内点的坐标符号特征，熟练掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标不变是解题的关键． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标，再根据坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 点关于轴对称的点的坐标为． 因为横坐标，纵坐标， 所以该点在第四象限． 故答案为：四． 变式3. （25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 【题型5函数值的直接计算】 方法技巧：将自变量取值代入一次函数关系式，遵循代数运算规则；分段一次函数需先判断自变量所属区间，再代入对应关系式（例：，求时，时得（舍去），时得）。 例5. （23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点C是线段上的一个动点（不与点A、B重合），以 为边，在的上方作正方形，设，正方形的周长为y，求y与x之间的关系式，及当时，y的值． 【答案】，当时， 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，根据线段的和差关系得到，再根据正方形周长公式可得，据此把代入关系式中求出对应的y的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． 变式1. （23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了函数关系式，根据给出的函数关系式结合函数的性质逐一判断即可求解，熟练掌握函数关系式的意义是解题的关键． 【详解】解：A、时间是自变量，水位高度是因变量，则正确，故不符合题意； B、y是变量，它的值与x有关，则正确，故不符合题意； C、当时，即， 解得：，则错误，故符合题意； D、当时，即，则正确，故不符合题意； 故选C． 变式2. （24-25八年级下·四川乐山·月考）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，，当时，．求当时的值． 【答案】当时， 【分析】本题考查了变量与函数，求函数表达式，求函数的值，设，，根据时，，当时，，求出，即有，然后再把代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成反比例，与成正比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，． 变式3. （23-24七年级下·山东菏泽·期末）五一期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值． 【答案】(1)每千米耗油量为升； (2)升 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，读懂题中变量间的关系是解题的关键． （1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程，即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量行驶路程，即可得出关于的关系式； （2）将代入（1）中关系式，求出值即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，汽车行驶150千米时，耗油量为升 则该车平均每千米的耗油量为（升） 答：该车平均每千米的耗油量为升，剩余油量与行驶路程的关系式为． （2）解：由（1）可知， 则当时， 答：当千米时，剩余油量的值为升． 【题型6根据实际问题列一次函数关系式】 方法技巧：找出核心等量关系（如路程=速度×时间、剩余量=总量-消耗量），确定自变量和因变量，注明自变量实际取值范围（例：油箱剩油，；行程问题，）。 例6. （25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 变式1. （25-26八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，正确根据分段列式是解题的关键，根据分档计费标准，当停车时长在第二档（）时，停车费包括第一档的固定费用和第二档的超时费用，第一档3小时费用为6元，第二档对超过3小时的部分按元/小时计费． 【详解】解：当停车时长满足时， 第一档费用为（元），第二档费用为元， 因此总停车费 ， 故答案为：． 变式2. （25-26七年级上·河南周口·期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于50元． (1)当一次订购量为多少件时，实际出厂单价恰好降为50元？ (2)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为y元，写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)当一次订购量为600件时，实际出厂单价恰好降为50元 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列分段函数： （1）设当一次订购量为x件时，实际出厂单价恰好降为50元，根据降价规则列一元一次方程，解方程即可； （2）分，，三种情况，列分段函数． 【详解】（1）解：设当一次订购量为x件时，实际出厂单价恰好降为50元， ， 解得， 答：当一次订购量为600件时，实际出厂单价恰好降为50元． （2）解：当时，； 当时，； 当时，， 综上可得： ． 变式3. （25-26七年级上·陕西安康·期中）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)3000字 (2)t与v成反比例关系 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是利用“工作总量 = 工作时间 × 工作效率”确定调查报告的总字数，进而分析变量间的比例关系． （1）根据“总字数 = 时间 × 速度”，任选一组时间和速度数据计算总字数； （2）结合总字数，用含的代数式表示，再根据反比例关系的定义判断与的比例关系． 【详解】（1）解：， 这篇社会调查报告共有3000字 （2） ， ， t与v成反比例关系 【题型7用描点法画一次函数图象】 方法技巧：三步法：①列表（自变量取有代表性的值，覆盖取值范围，如取）； ②描点（坐标对应准确）； ③连线（一次函数图象为直线，顺次连接即可）。 例7. （25-26八年级上·山西运城·期中）小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 变式1. （25-26九年级上·河南周口·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … (1)________， ________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时， 当时， 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：由图可知，当时，函数的图象与直线有3个交点． 变式2. （25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最小值，；增大 (4) 【分析】本题考查了描点法画函数图象，函数图象以及性质，数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得关于直线对称，根据，为该函数图象上不同的两点，关于直线对称，故，解答即可． （2）根据描点法作图即可； （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可； （4）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得关于直线对称， 又，为该函数图象上不同的两点，是对称点， 故， 解得， 故答案为：． （2）解：根据题意，下图为所求： ． （3）解：根据图象，得到： 结论1：该函数有最小值，这个值是， 故答案为：最小值，； 结论2：当时，随增大而增大， 故答案为：增大； （4）解：根据图象，当时，与有唯一交点， 当时，与无交点， 那么关于的方程无解时，， 故答案为：． 变式3. （25-26八年级上·内蒙古包头·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【答案】(1)图表见解析 (2)②③ (3) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据解析式计算即可填表；再利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象判断三个性质即可； （3）根据图象直线经过点时，与函数的图象只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：补充表格： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 0 1 2 2 2 2 … 画出函数图象如图所示： （2）解：由图象可知， ①函数图像关于y轴不对称，故①错误； ②此函数无最小值，正确； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变．正确． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③； （3）解：直线与函数的图象只有一个交点， 根据图象可知，直线经过点， ∴， ∴． 【题型8从函数图象中提取关键信息】 方法技巧：先明确横、纵轴表示的物理量；再找特殊点（起点、终点、交点），分析直线变化趋势（上升→、下降→、水平→）（例：图象与轴交点为，表示时）。 例8. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，点是关于的函数图象上一点．当点沿图象运动，横坐标增加时，相应的纵坐标（    ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象，读图获得信息，理解横坐标增加的含义是解决本题的关键．根据点的横坐标增加时，即横坐标是时，对应的点的纵坐标是，即可解答． 【详解】解：点的坐标是，横坐标增加时，即横坐标是时，对应的点的纵坐标是，因而横坐标增加时，相应的纵坐标减少． 故选：A． 变式1. （22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图是一只小鸟在飞行过程中离地面的高度与飞行时间的对应变化情况，则这只小鸟前5秒飞行的最高与最低位置相差（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的应用，掌握从图象上获取信息的方法是关键． 图象上的最高点对应的纵坐标即小鸟的最高位置，最低点的纵坐标即小鸟的最低位置，两者作差即可． 【详解】解：由图可知，这只小鸟前5秒飞行的最高位置为，最低位置为，两者相差． 故选：B． 变式2. （25-26九年级上·北京·月考）某公司为了研究月宣传费（单位：万元）（）对销售量（单位：吨）和月利润（单位：万元）的影响，搜集了近10个月的月宣传费和月销售量数据： 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 1.15 1.50 1.70 1.85 1.96 2.05 2.13 2.19 2.25 2.30 (1)在表格中各数对所对应的点中的一部分已经在如图的平面直角坐标系中标出，请描出所缺的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接； (2)若，请借助函数图像，回答下列问题： ①当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，； ②当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为___________（精确到0.1）． 【答案】(1)见解析 (2)①4.5②1.0；2.0 【分析】本题主要考查从函数图像获取信息的能力，正确画图是解答本题的关键． （1）根据表格中的数据，补全未标出的点的坐标，并用平滑的曲线连接起来即可； （2）①观察函数图像可得结论； ②观察函数图像可得结论． 【详解】（1）解：在坐标系中补出数对和，并用平滑的曲线连接； （2）解：①当时，对应的的值为4.5，精确到0.1是4.5； ②由图像可得当月宣传费约为1.0（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为2.0． 故答案为：①4.5②1.0，2.0． 变式3. （24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，小钱家、体育公园和文具店依次在同一条笔直的马路上．某日，小钱从家出发，先到体育公园锻炼，再到文具店购买文具，然后按原路返回家中，小钱往返途中均是跑步，且速度不变．设小钱从家出发x分钟时，离家的距离为y米，y关于x的图象如图2所示： (1)体育公园与文具店的距离为 米； (2)求小钱在体育公园锻炼的时间； (3)求小钱跑步的速度． 【答案】(1)1500 (2)20（分钟） (3)100（米/分钟） 【分析】本题主要考查函数的图象． （1）由图可知：列式，计算即可； （2）由图可知：列式计算即可； （3）由图可知：列式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴体育公园与文具店的距离为1500米， 故答案为：1500． （2）解：由图可知：小钱在体育公园锻炼的时间为（分钟）． （3）解：由图可知：小钱跑步到体育公园所用的时间为5分钟，跑步的路程为500米， 所以小钱跑步的速度为（米/分钟）． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题的关键在于明确分式有意义的条件． 函数的分母不能为零，可得求解的值即可． 【详解】解：∵分母， ∴，解得． ∴自变量的取值范围是． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限，熟练掌握二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限特征是解题的关键；通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组，得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点在第四象限； 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 点P的纵坐标恒为正，横坐标恒为负，故点P在第二象限． 【详解】解：点P的坐标为，其中纵坐标， ∵， ∴， ∴， 即横坐标， ∴点P在第二象限． 故选：B． 5．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过A点作轴，交y轴于D点，过B点作轴于G点，的延长线与的延长线相交于E点，过C点作轴于H点，的延长线与的延长线相交于F点，根据证明，则可得，．结合点，，可求得，，进而可得C点的坐标为． 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过A点作轴，交y轴于D点，过B点作轴于G点，的延长线与的延长线相交于E点，过C点作轴于H点，的延长线与的延长线相交于F点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵C点在第四象限， ∴C点的坐标为． 故选：B． 二、填空题 6．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点，则点到轴的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标的几何意义，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．根据点在平面直角坐标系中的坐标特点解答即可． 【详解】解：点的纵坐标为7，其绝对值为7，故点到轴的距离为7； 故答案为7． 7．（25-26八年级上·浙江温州·月考）汽车以的速度由地驶往相距的地，设汽车行驶的时间为，离B地的距离为，则s关于t的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，解题的关键是正确理解题意． 根据离B地的距离s等于总距离减去已行驶距离即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，s关于t的函数表达式为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，通过观察表格数据，发现每小时加工个数与加工时间的乘积恒为600，即可得到，再变形即可求解． 【详解】解：由表格数据可得， 所以关系式为 ， 故答案为 ． 9．（25-26八年级上·广东惠州·期中）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出x和y的值，然后代数求解即可． 【详解】∵点和关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 10．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可求出，，进而求得的值． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：7． 三、解答题 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）在某地区，人们发现某种鸟类的飞行高度与它1分钟鸣叫的次数有如下的近似关系：用该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，就近似地得到该鸟类的飞行高度（单位：）． (1)用代数式表示与之间的关系； (2)当该鸟类1分钟鸣叫的次数是90时，该鸟类的飞行高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用关系式表示变量间的关系，正确列出关系式是解题的关键． （1）根据题意：该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，列代数式即可； （2）把代入，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得． （2）解：当时，． 答：该鸟类的飞行高度是． 12．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知， (1)画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点关于y轴对称的点的坐标特点，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，根据轴对称的性质写出点的坐标； （2） 的外接矩形面积减去其周围三角形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形，点的坐标为； （2）解：． 13．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个顶点的坐标分别为、、． (1)若与关于y轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为： ， ，______； (2)若P为x轴上一点，则当P点坐标是______时，值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）作出点A的对称点，连接，则与x轴的交点即是点P的位置； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：根据题意得，的坐标为、的坐标为、的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：如图所示： 作出点A的对称点，连接，则与x轴的交点即是点P的位置， 此时， ∴， 即的最小值等于的长， 则P为， 故答案为：； （3）解：的面积． 14．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】(1)的长，阴影部分的面积 (2)； (3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 【分析】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意即可解答； （2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式； （3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：因为， 所以图中阴影部分的面积为：， 所以阴影部分的面积与之间的关系式为； （3）解：由题意得，则， 解得：， 所以， 即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 15．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 【答案】(1) (2)该用户这一年的用电量为2800度． 【分析】本题考查了列关系式，一元一次方程的应用． （1）根据分档计费规则计算即可； （2）先求出该用户这一年的用电量属于第二档，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， 所以当时，电费y与x之间的关系式为； （2）解：因为， ， 所以该用户用电量属于第二档， 设该用户一年的用电量为x度，则 ， 解得， 该用户这一年的用电量为2800度． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 变量与函数及函数图像 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：变量与常量 1.定义：在某一变化过程中，数值可以取不同值的量叫做变量；数值始终保持不变的量叫做常量（常量可以是数字，也可以是固定的字母）。 2.核心特征：变量与常量是相对的，依赖于具体的变化过程。例如在中，当一定时，是常量，和是变量；当一定时，是常量，和是变量。 3.识别方法：分析变化过程中哪些量发生改变，哪些量保持固定，注意区分字母表示的是变量还是常量（如中，是常量，和是变量）。 4.易错提醒：切勿认为字母一定是变量、数字一定是常量，需结合具体问题判断（如中，为固定系数时是常量，和是变量）。 知识点2：函数的概念 1.定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么是自变量，是的函数（不能单独说“是函数”）。 2.三个关键条件：①存在两个变量； ②一个变量的变化依赖于另一个变量； ③自变量的每一个值对应唯一的函数值。 3.易错辨析：①含有三个及以上变量的关系式（如）不能表示两个变量间的函数关系； ②常量函数（如）因只有一个变量，不满足“两个变量”条件，故不是函数关系。 知识点3：自变量的取值范围 1.定义：使函数表达式有意义且符合实际问题要求的自变量的全体，叫做自变量的取值范围。 2.常见类型及要求： 整式型（如）：自变量取值范围为全体实数； 分式型（如）：分母不能为0，即，解得； 实际问题型（如路程、时间、长度等）：自变量取值需符合实际意义（如时间，剩余油量）。 3.易错提醒：忽略实际问题对自变量的限制（如放水时间不能超过总水量对应的最大时间）。 知识点4：函数值 1.定义：对于函数，当自变量取确定值时，对应的的值叫做时的函数值。 2.求法：①已知自变量求函数值：将自变量代入函数表达式计算； ②已知函数值求自变量：解方程求解，注意检验是否符合自变量取值范围。 3.特征：一个函数值可能对应多个自变量，但一个自变量只能对应一个函数值。 4.易错提醒：求函数值时忽略自变量取值范围，导致计算结果无效（如中，不能代入求函数值）。 知识点5：函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用等式（函数关系式）表示两个变量的关系（如） 准确反映变量间的对应关系，便于计算 部分函数关系无法用表达式表示；求函数值需计算 列表法 将自变量与对应函数值列成表格 一目了然，可直接查找已知自变量的函数值 对应值有限，难以看出变化趋势 图象法 用平面直角坐标系中的点组成的图形表示函数关系 直观形象，能清晰反映变化趋势和性质 由自变量的值难以准确找到对应函数值 1.选择原则：根据实际需求选择合适的表示方法，部分函数可同时用多种方法表示（如一次函数可通过解析法、列表法、图象法表示）。 2.转化关系：三种方法可以相互转化（如根据函数关系式列表，再根据表格描点画图）。 知识点6：平面直角坐标系基础 1.组成：由两条原点重合、互相垂直且单位长度相同的数轴组成，水平数轴为轴（横轴，向右为正方向），铅直数轴为轴（纵轴，向上为正方向），交点为坐标原点。 2.点的坐标：平面内任意一点，过作轴垂线得横坐标，作轴垂线得纵坐标，有序实数对即为点的坐标（先横后纵，顺序不可颠倒）。 3.象限与坐标特征： 第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：； 坐标轴上的点：轴上点，轴上点（坐标轴上的点不属于任何象限）； 角平分线上的点：第一、三象限角平分线；第二、四象限角平分线。 4.对称点坐标特征： 关于轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（如对称点为）； 关于轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（如对称点为）； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数（如对称点为）。 5.距离公式： 点到轴的距离为，到轴的距离为； 轴上两点、的距离为；轴上两点、的距离为。 6.易错提醒：①混淆坐标顺序（如将写成）； ②忽略对称点坐标的符号变化； ③计算距离时忘记加绝对值（距离为非负数）。 知识点7：函数图象的画法（描点法） 1.基本步骤： 列表：在自变量取值范围内，选取有代表性的自变量值，计算对应函数值； 描点：将表格中的有序实数对作为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点； 连线：用光滑曲线（或直线）按横坐标从小到大的顺序连接各点。 2.注意事项：①列表时需覆盖自变量取值范围的关键部分； ②描点时坐标准确，避免横、纵坐标颠倒； ③连线时需平滑，不可画成折线（一次函数除外）。 3.示例：画的图象，列表选取，对应，描点后连线成直线。 知识点8：函数图象的识别与信息提取 1.函数图象的判断：作垂直于轴的直线，若直线与图象有且只有一个交点，则该图象表示是的函数（如抛物线不满足，因垂直轴的直线可能与图象有两个交点）。 2.信息提取方法： 看清横、纵轴表示的量（如横轴为时间，纵轴为距离）； 找特殊点：起点、终点、交点、最高点、最低点（如图象的最高点对应函数最大值）； 分析变化趋势：图象上升表示函数值随自变量增大而增大，图象下降表示函数值随自变量增大而减小，图象水平表示函数值不变。 3.实际问题图象分析：结合实际场景解读图象（如刹车距离图象、行程问题图象、注水问题图象等），注意休息、停留等阶段对应的水平线段。 4.易错提醒：①误将横轴和纵轴表示的量混淆； ②忽略图象中线段对应的自变量取值范围； ③解读动点问题图象时，未结合图形运动轨迹分析。 【题型1常量与变量的识别】 方法技巧：明确变化过程，数值随过程变化的量为变量，始终不变的量为常量；同一量在不同过程中可能角色转换，需结合具体情境判断（例：在中，2和3是常量，和是变量）。 例1. （2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 变式1. （24-25八年级下·河北唐山·期末）关于常量和变量表述不正确的是（    ） A．矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B．在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C．在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 变式2. （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 变式3. （24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度是变量 B．速度是常量，路程和时间都是变量 C．时间，速度是变量 D．速度、时间、路程都是常量 【题型2函数概念的判断】 方法技巧：紧扣“两个变量”“自变量每一个确定值，因变量有唯一值对应”；排除含多个变量、一对多对应、单一变量的情况（例：是函数，不是函数，因含三个变量也不是）。 例2. （25-26九年级上·山东淄博·月考）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 变式1. （24-25八年级下·全国·期末）下列各图象中不能表示是的函数的是 （    ） A．B．C．D． 变式2. （25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）下列各图中，不能表示y关于x的函数的是（ ） A． B． C． D． 变式3. （24-25八年级上·四川成都·期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C．D． 【题型3自变量取值范围的基础确定】 方法技巧：整式型取全体实数，分式型需分母不为0（例：中），偶次根式型需被开方数非负（例：中），实际问题需符合实际意义（如时间）。 例3. （25-26九年级上·云南文山·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 变式1. （25-26八年级上·广东茂名·月考）函数中，自变量的取值范围是 ． 变式2. （25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）函数中自变量的取值范围为 ． 变式3. （2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）使函数有意义的自变量x的取值范围是 ． 【题型4平面直角坐标系中点的坐标特征】 方法技巧：象限点看“符号”（第一象限、第二象限等），坐标轴上点看“零值”（轴、轴）；先定符号，再找数值（例：点在第四象限，点在轴正半轴）。 例4. （2023八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 变式1. （2025八年级上·江苏无锡·专题练习）若点在轴上，则点在第 象限． 变式2. （25-26八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限． 变式3. （25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5函数值的直接计算】 方法技巧：将自变量取值代入一次函数关系式，遵循代数运算规则；分段一次函数需先判断自变量所属区间，再代入对应关系式（例：，求时，时得（舍去），时得）。 例5. （23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点C是线段上的一个动点（不与点A、B重合），以 为边，在的上方作正方形，设，正方形的周长为y，求y与x之间的关系式，及当时，y的值． 变式1. （23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 变式2. （24-25八年级下·四川乐山·月考）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，，当时，．求当时的值． 变式3. （23-24七年级下·山东菏泽·期末）五一期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值． 【题型6根据实际问题列一次函数关系式】 方法技巧：找出核心等量关系（如路程=速度×时间、剩余量=总量-消耗量），确定自变量和因变量，注明自变量实际取值范围（例：油箱剩油，；行程问题，）。 例6. （25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 变式1. （25-26八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 变式2. （25-26七年级上·河南周口·期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于50元． (1)当一次订购量为多少件时，实际出厂单价恰好降为50元？ (2)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为y元，写出y与x之间的函数关系式． 变式3. （25-26七年级上·陕西安康·期中）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【题型7用描点法画一次函数图象】 方法技巧：三步法：①列表（自变量取有代表性的值，覆盖取值范围，如取）； ②描点（坐标对应准确）； ③连线（一次函数图象为直线，顺次连接即可）。 例7. （25-26八年级上·山西运城·期中）小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 变式1. （25-26九年级上·河南周口·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … (1)________， ________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 变式2. （25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 变式3. （25-26八年级上·内蒙古包头·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【题型8从函数图象中提取关键信息】 方法技巧：先明确横、纵轴表示的物理量；再找特殊点（起点、终点、交点），分析直线变化趋势（上升→、下降→、水平→）（例：图象与轴交点为，表示时）。 例8. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，点是关于的函数图象上一点．当点沿图象运动，横坐标增加时，相应的纵坐标（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 变式1. （22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图是一只小鸟在飞行过程中离地面的高度与飞行时间的对应变化情况，则这只小鸟前5秒飞行的最高与最低位置相差（    ）． A． B． C． D． 变式2. （25-26九年级上·北京·月考）某公司为了研究月宣传费（单位：万元）（）对销售量（单位：吨）和月利润（单位：万元）的影响，搜集了近10个月的月宣传费和月销售量数据： 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 1.15 1.50 1.70 1.85 1.96 2.05 2.13 2.19 2.25 2.30 (1)在表格中各数对所对应的点中的一部分已经在如图的平面直角坐标系中标出，请描出所缺的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接； (2)若，请借助函数图像，回答下列问题： ①当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，； ②当月宣传费约为__________（精确到0.1）时，取最大值，该最大值约为___________（精确到0.1）． 变式3. （24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，小钱家、体育公园和文具店依次在同一条笔直的马路上．某日，小钱从家出发，先到体育公园锻炼，再到文具店购买文具，然后按原路返回家中，小钱往返途中均是跑步，且速度不变．设小钱从家出发x分钟时，离家的距离为y米，y关于x的图象如图2所示： (1)体育公园与文具店的距离为 米； (2)求小钱在体育公园锻炼的时间； (3)求小钱跑步的速度． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点，则点到轴的距离为 ． 7．（25-26八年级上·浙江温州·月考）汽车以的速度由地驶往相距的地，设汽车行驶的时间为，离B地的距离为，则s关于t的函数表达式为 ． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为： ． 9．（25-26八年级上·广东惠州·期中）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）在某地区，人们发现某种鸟类的飞行高度与它1分钟鸣叫的次数有如下的近似关系：用该鸟类1分钟鸣叫的次数减20，再把结果除以5，就近似地得到该鸟类的飞行高度（单位：）． (1)用代数式表示与之间的关系； (2)当该鸟类1分钟鸣叫的次数是90时，该鸟类的飞行高度是多少？ 12．（25-26八年级上·四川广安·期中）已知， (1)画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； (2)求的面积； 13．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个顶点的坐标分别为、、． (1)若与关于y轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为： ， ，______； (2)若P为x轴上一点，则当P点坐标是______时，值最小； (3)计算的面积． 14．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 15．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $