专题06平面直角坐标系寒假预习讲义（1）(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题06平面直角坐标系寒假预习讲义（1） · 认识坐标系：理解平面直角坐标系的构成，明确有序数对与点的对应关系。 · 掌握坐标操作：会写点的坐标、按坐标描点，能求点到坐标轴的距离。 · 判断位置与参数：能判断点所在象限，已知象限可求参数范围。 · 熟悉坐标变换：掌握平移、对称、旋转的坐标变化规律。 · 初探规律与动点：能探索简单坐标规律，了解动点问题的基本思路 预习必备 知识点梳理 1,有序对与坐标基础 2.点的坐标性质与计算 3.坐标变换与规律探索 4.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.用有序数对表示位置 2.用有序数对表示路线 3.写出直角坐标系中点的坐标 4.求点到坐标轴的距离 5.判断点所在的象限 6.已知点所在的象限求参数 7.坐标系中的描点 8.点坐标规律探索 9.坐标系中的平移 10.坐标系中的对称 11.坐标系中的旋转 12.中点坐标 13.坐标系中的动点问题 强化通关 (解答题5题) 【知识点01.有序数对与坐标基础】 1. 有序数对 定义：由两个数 a、b 组成的数对 (a,b)，“有序” 意味着 (a,b) 与 (b,a) 表示不同位置（除非 a=b）。 应用：可表示平面内的位置（如教室座位、棋盘落子），也可描述运动路线（如从 (1,2) 到 (3,4) 的路径）。 2. 直角坐标系 构成：由互相垂直的 x 轴（横轴，向右为正）、y 轴（纵轴，向上为正）及原点 O(0,0) 组成。 象限划分： 第一象限：(+,+) 第二象限：(−,+) 第三象限：(−,−) 第四象限：(+,−) 坐标轴上的点：x 轴上点的纵坐标为 0，y 轴上点的横坐标为 0。 3. 点的坐标表示 写坐标：根据点在坐标系中的位置，写出其横坐标 x 和纵坐标 y，记为 P(x,y)。 描点：根据给定坐标 (x,y)，在坐标系中找到对应位置并标记。 【知识点02.点的坐标性质与计算】 1. 点到坐标轴的距离 点 P(x,y) 到 x 轴的距离：∣y∣ 点 P(x,y) 到 y 轴的距离：∣x∣ 反求坐标：已知点到 x 轴距离为 d，则 y=±d；到 y 轴距离为 d，则 x=±d（注意多解性）。 2. 象限与参数 判断象限：根据坐标符号判断点所在象限，如 (−2,3) 在第二象限。 求参数范围：若点 P(a−1,2a) 在第二象限，则 ，解得 0<a<1。 3. 中点坐标公式 两点 A(x1,y1)、B(x2,y2) 的中点 M 坐标为：M(​,) 应用：已知中点和一个端点，可反求另一个端点坐标。 【知识点03.坐标变换与规律探索】 1. 平移变换 规律： 左右平移：横坐标 “左减右加”，纵坐标不变。 上下平移：纵坐标 “上加下减”，横坐标不变。 2. 对称变换 关于 x 轴对称：(x,y)→(x,−y) 关于 y 轴对称：(x,y)→(−x,y) 关于原点对称：(x,y)→(−x,−y) 3. 旋转变换（绕原点） 旋转 90∘（顺时针）：(x,y)→(y,−x) 旋转 180∘：(x,y)→(−x,−y)（与原点对称一致） 旋转 270∘（顺时针）：(x,y)→(−y,x) 【知识点04.易错点汇总】 · 有序数对顺序不能乱 · 象限符号、坐标轴上 y=0/x=0易记反 · 距离是绝对值，一定非负 · 距离求点别漏解 · 平移、对称变哪个坐标别混淆 · 动点、综合题先看象限 / 限制条件，再验算 【题型1.用有序数对表示位置】 【典例】根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．学校报告厅5排 B．负一层停车场 C．南偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，理解确定位置需要两个数据是解题关键．根据各选项是否提供两个数据判断． 【详解】解：A、 只提供排数，无座位号，不能确定具体位置； B、 只提供楼层，无车位号，不能确定具体位置； C、只提供方向，无距离，不能确定具体位置； D、提供经度和纬度两个数据，能确定具体位置； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有序数对，根据题目所给有序数对，得出相应位置的字母，即可得出代表的英文单词能准确根据所给的坐标得出点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵有序数对对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是， ∴这个单词为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果关于的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．求出不等式组的解集，根据已知求出、，求出：、，即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的整数解仅有， 则、， 解得：、， 则时，、、； 当时，、、； 所以适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有个， 故选． 【题型2.用有序数对表示路线】 【典例】从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可． 【详解】解：可以组成，，，，，共6个有序实数对， 故选D． 【点睛】本题考查函数的基础知识，熟练掌握有序实数对的意义及组合方法是解题关键． 【跟踪专练1】.我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作 ；有序数对表示 ． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 【跟踪专练2】在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 【题型3.写出直角坐标系中点的坐标】 【典例】如图，已知棋子“车”、“炮”的坐标分别为、，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系． 根据棋子“车”、“炮”的坐标，建立平面直角坐标系，即可得棋子“马”的坐标． 【详解】解：∵棋子“车”、 “炮”的坐标分别为、， ∴建立平面直角坐标系，如图所示， ∴棋子“马”的坐标为， 故选：B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点，点，点C都在轴上，且，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，两点间的距离公式．设，分类讨论，根据距离公式表示，求解即可． 【详解】解：∵点位于轴上，设， 则， 当点C在点左侧时，，解得：，此时； 当点C在点和点之间时，（舍去）； 当点C在点右侧时，，解得：，此时； 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵，， ∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是． 故选：C． 【题型4.求点到坐标轴的距离】 【典例】已知点A的坐标为，则点A到y轴的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．点到y轴的距离是点横坐标的绝对值，据此解得即可． 【详解】解：A的坐标为，则点A到y轴的距离为2． 故答案为：2． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．点在x轴上 B．点到x轴的距离是 C．点在y轴上 D．点既在x轴上，也在y轴上 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征及点到坐标轴的距离定义．根据坐标轴上点的坐标特征及点到坐标轴的距离定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、点在y轴上，故本选项错误，不符合题意； B、点到x轴的距离是1，故本选项错误，不符合题意； C、点在x轴上，故本选项错误，不符合题意； D、点既在x轴上，也在y轴上，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 由可得，再根据去绝对值，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，即． 故答案为：． 【题型5.判断点所在的象限】 【典例】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，点的横坐标为正，纵坐标为负，因此在第四象限． 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点P在第四象限． 故选：D． 【跟踪专练1】若，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，再根据的符号，判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴在第四象限； 故答案为：四． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点，且满足二元一次方程组，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键； 先解方程组，根据方程组的解即可判断点所在的象限． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， 所以方程组的解是， ∴点为，在第四象限． 故选D． 【题型6.已知点所在的象限求参数】 【典例】若点在平面直角坐标系的x轴上，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的特点，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上点的纵坐标为0，列关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的x轴上， ∴，解得：， ∴， ∴点A的坐标是：． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据轴上点的纵坐标为，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”，已知点在第二象限，若点为“超整点”，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征、整点与超整点的定义，熟练掌握各定义及象限内点坐标的符号规律是解题的关键．第二象限内点的坐标特征是横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出关于a的不等式组，求解得出a的取值范围，再根据整点与超整点的定义答案即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：； ∵点为“整点”， ∴为整数， 又∵， ∴， 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 则 “整点”的坐标为，，，一共3个， ∵为整数， ∴， ∴点是“超整点”， 故答案为： 【题型7.坐标系中描点】 【典例】在平面直角坐标系中，点和点之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】直接利用坐标系得出两点距离即可． 【详解】解：如图所示：点（−1，3）和点（4，3）之间的距离是：4−（−1）＝5． 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查了两点距离，正确利用坐标系是解题关键． 【跟踪专练1】如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据求出，利用三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 【跟踪专练2】图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 【题型8.点坐标规律探索】 【典例】推理能力如图，一个点在第一象限，第四象限运动，第一次，它从运动到，用了，然后以折线状向右运动，即，它每运动一次需要，那么第秒时，该点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，由点的运动轨迹得出其坐标的变化规律是解题的关键． 根据点的运动轨迹可得其坐标的变化规律“点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，，，，四次一循环”，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 第秒，点的坐标为， 第秒，点的坐标为， 第秒，点的坐标为， 第秒，点的坐标为， 第秒，点的坐标为， ， 点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，，，，四次一循环， ， 第秒时，点的横坐标为，纵坐标与第秒的纵坐标相同，为， 第秒时，该点所在位置的坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键．根据题意画出“马”从点出发到点的路线，进而求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键． 根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律，，，（为自然数），算出的坐标即可． 【详解】解：观察发现：，，，， ，，，，，， ，，，（为自然数）， ， ∴． 故答案为：． 【题型9.坐标系中的平移】 【典例】已知点，则线段MN与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不垂直 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段与坐标轴位置关系的判断，解题的关键是通过横纵坐标关系得到线段与坐标轴位置关系. 根据横坐标相同即可判断. 【详解】解： 横坐标相同， 轴. 故选：A ． 【跟踪专练1】将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．先根据点坐标的平移规律可得，再根据轴上的点的横坐标等于0可得的值，据此解答即可得． 【详解】解：∵将点向右平移3个单位长度得到点， ∴，即， ∵点落在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，点的平移的坐标变化．根据点的平移的坐标变化判断命题（1）（2）；四边形为线段扫过的图形，根据求解即可判断命题（3）． 即可解答． 【详解】解：（1）∵，平移后点与原点重合， ∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∵， ∴．故（1）是真命题． （2）三角形向左平移了3个单位长度，， ∴，不与原点重合．故（2）是假命题． （3）如图，四边形为线段扫过的图形． ∵，，， ∴，， ∴． 过点作轴于点D， ∵点与原点重合时，点的坐标为， ∴， ∴， ∴．故（3）是真命题． 综上，（1）（3）是真命题． 故选：B 【题型10.坐标系中的对称】 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行x轴 的点的纵坐标相等，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型11.坐标系中的旋转】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到，，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 【跟踪专练2.】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质， 【题型12.中点坐标】 【典例】在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴点D为的中点， ∵点，， ∴点E的坐标为，即， 故选：A． 【跟踪专练1】已知点和点，则线段的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，解题的关键在于准确代入数值并注意正负号的运算．已知两点和，要求线段的中点坐标．根据中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半，直接代入计算即可得出结果． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， 则中点横坐标为，纵坐标为， 故中点坐标为． 【跟踪专练2】如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 【详解】解：∵中，点是对角线交点，且，， ∴，即 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， …， 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为，即． 故选：B． 【题型13.坐标系中的动点问题】 【典例】定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点A坐标为，且直线轴， 所以点B的横坐标为． 又因为， 所以， 所以点B的坐标为或． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 1．在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出m的值． (1)点在轴上； (2)点在过且与轴平行的直线上； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“平面直角坐标系”​ 中点的坐标特征，解题的关键在于掌握轴上的点横坐标为0，以及平行于轴的直线上的点的纵坐标相同； （1）根据轴上的点的横坐标为0，得到，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得． 故． （2）由题意得 ， 解得． 故． 2．在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的特征，掌握平面直角坐标系中点的特征和分类讨论是解题的关键． （1）根据点到两坐标轴的距离相等，列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）根据轴，所以点的横坐标和点的横坐标相同，列出方程求出的值，即可解答； （3）根据点在坐标轴上，分两种情况讨论，列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据轴，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，得，根据得到，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， 则， ∴M的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵点在坐标轴上， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵点，点，且轴，， ∴，， 解得或， ∴M的坐标为或； 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，点的坐标为______； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知轴上、平行于轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的坐标特征进行计算即可． （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． （3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行计算即可． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 则， 所以点坐标为． 故答案为：； （2）∵直线平行于轴，且， ∴， 解得， 则， ∴点的坐标为； （3）∵点到轴、轴的距离相等， 则或， 解得或． 当时， ，， 则点坐标为． 当时， ，， 则点坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 4．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． （1）分别作出 的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移分别作出点的对应点再顺次连接即可； （3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：是内一点，其坐标为， ∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的， ∴中的对应点的坐标为． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒，理由见解析 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平面直角坐标系寒假预习讲义（1） · 认识坐标系：理解平面直角坐标系的构成，明确有序数对与点的对应关系。 · 掌握坐标操作：会写点的坐标、按坐标描点，能求点到坐标轴的距离。 · 判断位置与参数：能判断点所在象限，已知象限可求参数范围。 · 熟悉坐标变换：掌握平移、对称、旋转的坐标变化规律。 · 初探规律与动点：能探索简单坐标规律，了解动点问题的基本思路 预习必备 知识点梳理 1,有序对与坐标基础 2.点的坐标性质与计算 3.坐标变换与规律探索 4.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.用有序数对表示位置 2.用有序数对表示路线 3.写出直角坐标系中点的坐标 4.求点到坐标轴的距离 5.判断点所在的象限 6.已知点所在的象限求参数 7.坐标系中的描点 8.点坐标规律探索 9.坐标系中的平移 10.坐标系中的对称 11.坐标系中的旋转 12.中点坐标 13.坐标系中的动点问题 强化通关 (解答题5题) 【知识点01.有序数对与坐标基础】 1. 有序数对 定义：由两个数 a、b 组成的数对 (a,b)，“有序” 意味着 (a,b) 与 (b,a) 表示不同位置（除非 a=b）。 应用：可表示平面内的位置（如教室座位、棋盘落子），也可描述运动路线（如从 (1,2) 到 (3,4) 的路径）。 2. 直角坐标系 构成：由互相垂直的 x 轴（横轴，向右为正）、y 轴（纵轴，向上为正）及原点 O(0,0) 组成。 象限划分： 第一象限：(+,+) 第二象限：(−,+) 第三象限：(−,−) 第四象限：(+,−) 坐标轴上的点：x 轴上点的纵坐标为 0，y 轴上点的横坐标为 0。 3. 点的坐标表示 写坐标：根据点在坐标系中的位置，写出其横坐标 x 和纵坐标 y，记为 P(x,y)。 描点：根据给定坐标 (x,y)，在坐标系中找到对应位置并标记。 【知识点02.点的坐标性质与计算】 1. 点到坐标轴的距离 点 P(x,y) 到 x 轴的距离：∣y∣ 点 P(x,y) 到 y 轴的距离：∣x∣ 反求坐标：已知点到 x 轴距离为 d，则 y=±d；到 y 轴距离为 d，则 x=±d（注意多解性）。 2. 象限与参数 判断象限：根据坐标符号判断点所在象限，如 (−2,3) 在第二象限。 求参数范围：若点 P(a−1,2a) 在第二象限，则 ，解得 0<a<1。 3. 中点坐标公式 两点 A(x1,y1)、B(x2,y2) 的中点 M 坐标为：M(​,) 应用：已知中点和一个端点，可反求另一个端点坐标。 【知识点03.坐标变换与规律探索】 1. 平移变换 规律： 左右平移：横坐标 “左减右加”，纵坐标不变。 上下平移：纵坐标 “上加下减”，横坐标不变。 2. 对称变换 关于 x 轴对称：(x,y)→(x,−y) 关于 y 轴对称：(x,y)→(−x,y) 关于原点对称：(x,y)→(−x,−y) 3. 旋转变换（绕原点） 旋转 90∘（顺时针）：(x,y)→(y,−x) 旋转 180∘：(x,y)→(−x,−y)（与原点对称一致） 旋转 270∘（顺时针）：(x,y)→(−y,x) 【知识点04.易错点汇总】 · 有序数对顺序不能乱 · 象限符号、坐标轴上 y=0/x=0易记反 · 距离是绝对值，一定非负 · 距离求点别漏解 · 平移、对称变哪个坐标别混淆 · 动点、综合题先看象限 / 限制条件，再验算 【题型1.用有序数对表示位置】 【典例】根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．学校报告厅5排 B．负一层停车场 C．南偏东 D．东经，北纬 【跟踪专练1】如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为 ． 【跟踪专练2】如果关于的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【题型2.用有序数对表示路线】 【典例】从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【跟踪专练1】.我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作 ；有序数对表示 ． 【跟踪专练2】在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【题型3.写出直角坐标系中点的坐标】 【典例】如图，已知棋子“车”、“炮”的坐标分别为、，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点，点，点C都在轴上，且，则点C的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【题型4.求点到坐标轴的距离】 【典例】已知点A的坐标为，则点A到y轴的距离为 ． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．点在x轴上 B．点到x轴的距离是 C．点在y轴上 D．点既在x轴上，也在y轴上 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是 ． 【题型5.判断点所在的象限】 【典例】在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练1】若，则点在第 象限． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点，且满足二元一次方程组，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6.已知点所在的象限求参数】 【典例】若点在平面直角坐标系的x轴上，则点A的坐标为 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”，已知点在第二象限，若点为“超整点”，则点的坐标是 ． 【题型7.坐标系中描点】 【典例】在平面直角坐标系中，点和点之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 【跟踪专练2】图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【题型8.点坐标规律探索】 【典例】推理能力如图，一个点在第一象限，第四象限运动，第一次，它从运动到，用了，然后以折线状向右运动，即，它每运动一次需要，那么第秒时，该点所在位置的坐标是 ． 【跟踪专练1】中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为 ． 【题型9.坐标系中的平移】 【典例】已知点，则线段MN与x轴（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．不垂直 【跟踪专练1】将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 【题型10.坐标系中的对称】 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 【跟踪专练2】如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【题型11.坐标系中的旋转】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2.】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 【题型12.中点坐标】 【典例】在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知点和点，则线段的中点坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【题型13.坐标系中的动点问题】 【典例】定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【跟踪专练1】已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 1．在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出m的值． (1)点在轴上； (2)点在过且与轴平行的直线上； 2．在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，点的坐标为______； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 4．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $