专题04分式方程寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题04分式方程寒假预习讲义 · 秒辨分式方程，掌握核心定义，一眼区分整式与分式方程； · 吃透解方步骤，能熟练解简单分式方程，会验根避坑； · 掌握增根 / 无解核心考点，理清两类情况的解题逻辑； · 学会找实际问题等量关系，能列分式方程解决生活应用题。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的概念 2.分式方程的解法 3.增根 4.列分式方程解实际应用题 5.高频易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.解分式方程 3.根据分式方程解的情况求值 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 8.分式方程的经济问题 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程其他实际问题 强化题型 (解答题8题) 【知识点01.分式方程的概念】 1. 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ✅举例：2、 是分式方程； ❌ 举例：+1=3、x不是分式方程（分母为常数，无未知数）。 2. 关键特征 3. 方程中至少有一个分母含有未知数，这是分式方程与整式方程（如一元一次方程）的本质区别。 【知识点012.分式方程的解法】 分式方程的基本解法为去分母法，最终转化为已学的一元一次方程求解，共分五步，验根是必不可少的步骤，缺一不可。 步骤 1：去分母，化分式方程为整式方程 在方程两边同乘所有分母的最简公分母，消去分母；⚠️ 注意：最简公分母不能为 0，这是后续增根产生的根源。 步骤 2：解转化后的一元一次方程 按照一元一次方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）求出未知数的值。 步骤 3：验根（分式方程独有的关键步骤） 将求出的未知数的值代入原分式方程的最简公分母中检验： 若最简公分母≠0，则这个值是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，则这个值是增根，原分式方程无解。 步骤 4：写出原方程的解 若有有效解，直接写出；若无解（仅含增根），明确标注 “原分式方程无解”。 举例 解​： 1.最简公分母为x(x−1)，两边同乘得：x=2(x−1)； 2.解整式方程：x=2x−2 → x=2； 3.验根：代入x(x−1)，2×1=20，故x=2是原方程的解。 【知识点03.增根】 1. 增根的定义 在去分母转化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程的分母为 0的未知数的值，叫做分式方程的增根。 2. 增根的本质 增根是转化后整式方程的解，但不是原分式方程的解，原因是去分母时乘的最简公分母为 0，违背了等式的基本性质。 3. 增根的常见考法 已知分式方程有增根，求参数的值： (1)先将分式方程化为整式方程； (2)令原分式方程的最简公分母 = 0，求出所有可能的增根； (3)将增根代入整式方程，解出参数的值。 【知识点04.列分式方程解实际应用题】 分式方程的应用与一元一次方程应用的解题思路一致，核心区别是列方程时含分式，且解完后必须双重检验，共分六步： 步骤 1：审 审清题意，找出已知量、未知量，明确等量关系（关键：找到含 “分率、比值、路程 / 速度 / 时间、工作总量 / 效率 / 时间” 的等量关系）。 步骤 2：设 设出未知数（直接设或间接设），带单位，注意设的量要使后续列式简便。 步骤 3：列 根据等量关系，列出分式方程（确保分母中含所设未知数）。 步骤 4：解 按照分式方程的解法，求出未知数的值（去分母→解整式→验公分母）。 步骤 5：验 双重检验（分式方程应用独有的要求）： 数学检验：检验所求值是否为原分式方程的解（公分母≠0）； 实际检验：检验所求值是否符合实际问题的意义（如人数为正整数、速度为正数、时间不为 0 等）。 步骤 6：答 写出答案，带单位，语言完整。 行程问题：路程 = 速度 × 时间（常考：顺水 / 逆水行船、相遇 / 追及，速度含分式）； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常考：合作完成工作，效率为分式）； 销售 / 利润问题：单价、数量、总价的比值关系，平均增长率 / 降低率； 配套问题：不同量之间的比例关系，列分式方程。 【知识点05.高频易错点汇总】 1.漏验根：解分式方程时，跳过验根步骤，直接将整式方程的解当作原方程的解； 2.去分母时漏乘：方程两边同乘最简公分母时，漏乘不含分母的项（如常数项）； 3.去分母时符号错误：分子是多项式时，去分母后未加括号，导致去括号时符号出错； 4.实际应用漏双重检验：仅检验数学解，未检验解是否符合实际意义（如人数为负数、速度为 0）； 5.求增根相关参数时：未先求最简公分母为 0 的解，直接代入整式方程求解。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【跟踪专练2】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.解分式方程】 【典例】分式方程的解是 ． 【跟踪专练1】关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【跟踪专练2】使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则： （1）使等式成立的的值为 ． （2）使等式成立的的值为 ． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】如果方程有增根，那么增根的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于的分式方程有增根，则 ． 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】当 时，关于x的分式方程无解． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【跟踪专练2】若关于的方程无解，则的取值为 ． 【题型5.列分式方程】 【典例】我校秋季运动会，八年级120人要参加举旗表演，按原计划分组后，又来了20人，比原计划多分一组，但每组人数比原计划少了2人，设原计划分组，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小欣和小军周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，已知路线总长为，小欣骑行速度比小军快，小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟．设小军这次骑行速度为，依题意，可列方程为 ． 【跟踪专练2】我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，设种绿植单价是元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为 ． 【跟踪专练1】如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的1.5倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一项工程，若甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲工程队单独做24天可以完成，则乙工程队单独做需要 天可以完成． 【跟踪专练2】随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【跟踪专练1】某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（    ） A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价 C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价 【跟踪专练2】某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为 ． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树 棵． 【跟踪专练2】某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每名同学少分摊3元，则原来参加旅游的同学为 人． 【跟踪专练1】在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出． 1．柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 2．某商店用1400元购进一批红枣，销售发现供不应求，于是用6300元再购进一批红枣，第二批红枣的数量是第一批红枣数量的4倍，但第二批红枣的进货价比第一批红枣每箱贵10元．第一批红枣的进货价为每箱多少元？ 3．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵元，玩具店用元购进种哪吒玩偶的数量是用元购进种哪吒玩偶数量的倍．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 4．近年来，人工智能发展迅速，宇树公司研发的智能分拣机器人“小宇”在快递分拣中心大显身手．它能够自动识别快递信息，并根据目的地进行快速分拣，大大提高了工作效率．某快递分拣中心引入“小宇”机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 5．若关于的分式方程有解，求的取值范围． 6．已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 7．2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截至2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园行驶的高速公路路程为120千米，普通公路的路程为30千米，已知高速公路路段行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地．求汽车在普通公路路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 8．贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04分式方程寒假预习讲义 · 秒辨分式方程，掌握核心定义，一眼区分整式与分式方程； · 吃透解方步骤，能熟练解简单分式方程，会验根避坑； · 掌握增根 / 无解核心考点，理清两类情况的解题逻辑； · 学会找实际问题等量关系，能列分式方程解决生活应用题。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的概念 2.分式方程的解法 3.增根 4.列分式方程解实际应用题 5.高频易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.解分式方程 3.根据分式方程解的情况求值 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 8.分式方程的经济问题 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程其他实际问题 强化题型 (解答题8题) 【知识点01.分式方程的概念】 1. 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ✅举例：2、 是分式方程； ❌ 举例：+1=3、x不是分式方程（分母为常数，无未知数）。 2. 关键特征 3. 方程中至少有一个分母含有未知数，这是分式方程与整式方程（如一元一次方程）的本质区别。 【知识点012.分式方程的解法】 分式方程的基本解法为去分母法，最终转化为已学的一元一次方程求解，共分五步，验根是必不可少的步骤，缺一不可。 步骤 1：去分母，化分式方程为整式方程 在方程两边同乘所有分母的最简公分母，消去分母；⚠️ 注意：最简公分母不能为 0，这是后续增根产生的根源。 步骤 2：解转化后的一元一次方程 按照一元一次方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）求出未知数的值。 步骤 3：验根（分式方程独有的关键步骤） 将求出的未知数的值代入原分式方程的最简公分母中检验： 若最简公分母≠0，则这个值是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，则这个值是增根，原分式方程无解。 步骤 4：写出原方程的解 若有有效解，直接写出；若无解（仅含增根），明确标注 “原分式方程无解”。 简洁口诀 去分母→解整式→验公分母→写解 / 无解 举例 解​： 1.最简公分母为x(x−1)，两边同乘得：x=2(x−1)； 2.解整式方程：x=2x−2 → x=2； 3.验根：代入x(x−1)，2×1=20，故x=2是原方程的解。 【知识点03.增根】 1. 增根的定义 在去分母转化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程的分母为 0的未知数的值，叫做分式方程的增根。 2. 增根的本质 增根是转化后整式方程的解，但不是原分式方程的解，原因是去分母时乘的最简公分母为 0，违背了等式的基本性质。 3. 增根的常见考法 已知分式方程有增根，求参数的值： (1)先将分式方程化为整式方程； (2)令原分式方程的最简公分母 = 0，求出所有可能的增根； (3)将增根代入整式方程，解出参数的值。 【知识点04.列分式方程解实际应用题】 分式方程的应用与一元一次方程应用的解题思路一致，核心区别是列方程时含分式，且解完后必须双重检验，共分六步： 步骤 1：审 审清题意，找出已知量、未知量，明确等量关系（关键：找到含 “分率、比值、路程 / 速度 / 时间、工作总量 / 效率 / 时间” 的等量关系）。 步骤 2：设 设出未知数（直接设或间接设），带单位，注意设的量要使后续列式简便。 步骤 3：列 根据等量关系，列出分式方程（确保分母中含所设未知数）。 步骤 4：解 按照分式方程的解法，求出未知数的值（去分母→解整式→验公分母）。 步骤 5：验 双重检验（分式方程应用独有的要求）： 数学检验：检验所求值是否为原分式方程的解（公分母≠0）； 实际检验：检验所求值是否符合实际问题的意义（如人数为正整数、速度为正数、时间不为 0 等）。 步骤 6：答 写出答案，带单位，语言完整。 常见应用题型 行程问题：路程 = 速度 × 时间（常考：顺水 / 逆水行船、相遇 / 追及，速度含分式）； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常考：合作完成工作，效率为分式）； 销售 / 利润问题：单价、数量、总价的比值关系，平均增长率 / 降低率； 配套问题：不同量之间的比例关系，列分式方程。 【知识点05.高频易错点汇总】 1.漏验根：解分式方程时，跳过验根步骤，直接将整式方程的解当作原方程的解； 2.去分母时漏乘：方程两边同乘最简公分母时，漏乘不含分母的项（如常数项）； 3.去分母时符号错误：分子是多项式时，去分母后未加括号，导致去括号时符号出错； 4.实际应用漏双重检验：仅检验数学解，未检验解是否符合实际意义（如人数为负数、速度为 0）； 5.求增根相关参数时：未先求最简公分母为 0 的解，直接代入整式方程求解。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【详解】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④ 【跟踪专练2】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 【题型2.解分式方程】 【典例】分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键．根据解分式方程的方法解分式方程，可得，再根据分式方程有增根，可得，即，即，进而得出答案． 【详解】解∶ ， 方程两边同时乘，得． 解得． 分式方程有增根， ，即． ，解得． 故选∶ B． 【跟踪专练2】使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则： （1）使等式成立的的值为 ． （2）使等式成立的的值为 ． 【答案】 或； 或． 【分析】本题考查解分式方程，发现题目所提供的等式所呈现的规律是正确解答的关键． （1）根据题目提供的等式的规律即可得到答案； （2）将原方程变为，再根据规律得出答案． 【详解】（1）解：根据题目所列举等式的规律可得， 使等式成立的的值为或， 故答案为：或； （2）解：根据题目所列举等式的规律可得， ， 即， 使等式成立的的值为或， 故答案为：或． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】如果方程有增根，那么增根的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．解题的关键是掌握分式方程的增根是使整式方程成立，使最简公分母为0的未知数的值． 【详解】解：∵方程有增根， ∴， 则增根的值为， 故选：C． 【跟踪专练1】关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解法、分式有意义的条件、求不等式的解集．掌握分式方程的解法，利用分式方程最简公分母不为、分式方程的解为正数列出关于的不等式是解题关键．通过简化分式方程，利用分母的关系化为整式方程，解出 关于 的表达式，再根据解为正数且分母不为零得到的取值范围，最后结合自然数定义（包括 ）确定 的取值个数． 【详解】∵ 方程 ，且 ， ∴ 原方程化为 ． 移项，得 ，即 ． 两边乘 （），得 ， 展开，得 ， 整理，得 ， ∴ ． ∵方程 的解为正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∴ 的取值范围为 且 ． ∵ 为自然数（包括 0）， ∴ 可能取值为 0， 1， 3． ∴ 的所有值的个数为 3 个． 故选：A． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】当 时，关于x的分式方程无解． 【答案】2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得：1+2（x－2）＝m－1， 由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：1+2（2－2）＝m－1， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程有增根，则a的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据解分式方程的方法用含的式子表示分式方程的解，再根据增根，代入计算即可． 【详解】解：， 移项得，， ∴， ∴， 移项、合并同类得，， ∴， ∵分式方程有增根，即， ∴， ∴， 解得，， 故选：D ． 【跟踪专练2】若关于的方程无解，则的取值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过去分母将分式方程化为整式方程，根据方程无解的条件（整式方程无解或解为增根）求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 可得：， 整理可得：， 移项、合并同类项得：， 当即时，方程无解； 当时， 解得， 若解为增根则：， 可得：， 解得：； ， ； 当或时方程无解． 故答案为或． 【题型5.列分式方程】 【典例】我校秋季运动会，八年级120人要参加举旗表演，按原计划分组后，又来了20人，比原计划多分一组，但每组人数比原计划少了2人，设原计划分组，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原计划分组，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设原计划分组， 由题意得，． 故选：D． 【跟踪专练1】小欣和小军周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，已知路线总长为，小欣骑行速度比小军快，小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟．设小军这次骑行速度为，依题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系：小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟是解题的关键．根据“小军完成全部行程所用的时间比小欣多5分钟”列出方程即可． 【详解】解：5分钟小时． 设小军这次骑行速度为，则小欣骑行速度为， 依题意，可列方程得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的倍，用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，设种绿植单价是元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据用元购买的种绿植比用元购买的种绿植少株，列出方程即可． 【详解】解：设种绿植单价是元，则种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为 ． 【答案】 【分析】设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意列方程求解即可；本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴慢车的速度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的1.5倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程． 先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式． 【详解】解：根据题意可得方程：， 故选：D． 【跟踪专练2】某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 【答案】乙先到达 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是准确找到数量关系，建立方程．根据题意设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，列出方程解得乙从体验区到的速度和到的速度，进而比较两人行走时间，比较即可得到结果． 【详解】解：设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，米，米， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同， 甲从体验区前往出口的速度是米/分钟， 甲从体验区前往出口的时间为分，乙从体验区前往出口的时间为分， ， 乙先到达出口． 故答案为：乙先到达． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务，由此列分式方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务， ∴， 故选：A ． 【跟踪专练1】一项工程，若甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲工程队单独做24天可以完成，则乙工程队单独做需要 天可以完成． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用分式方程解实际工程问题，解题的关键是找准等量关系． 设乙工程队单独做需要天完成，按照两队合作关系列出方程，求解即可． 【详解】解：设乙工程队单独做需要天完成，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 故答案为：12． 【跟踪专练2】随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解． 【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 因此，人工每小时分拣400件包裹． 故选：C． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格 元/千克． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，根据题意，设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，列出方程：，解出，即可． 【详解】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克， ∵花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴类糖果的价格为元/千克． 故答案为：． 【跟踪专练1】某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（    ） A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价 C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价 【答案】A 【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，根据甲、乙单价之比为，可验证符合小齐所列方程，故代表甲类奖品的件数． 【详解】解：设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为， ∴甲类单价为元，乙类单价为元， 根据单价比，得方程：， ∴表示奖品甲的件数， 故选：A． 【跟踪专练2】某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题目中给出的价格关系，分别表示出在市场和菜苗基地购买菜苗的数量，再根据“用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆” 这一条件列出等式． 【详解】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则市场上每捆价格为元． 基地购买数量：捆； 市场购买数量：​捆； 根据数量差为，列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是理清价格与数量的对应关系，根据题目中的数量差这一等量关系，准确列出分式方程． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树， 根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程， 故选：A． 【跟踪专练1】甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树 棵． 【答案】22 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题关键． 设乙班每小时种x棵树，根据甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等列出方程即可． 【详解】解：设乙班每小时种x棵树，甲班每小时种棵树， 则可列方程为， 解得， 经检验符合题意， 故答案为：22． 【跟踪专练2】某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】暑假期间，几名同学共同租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每名同学少分摊3元，则原来参加旅游的同学为 人． 【答案】8 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设原来参加旅游的同学为人，根据题意可得，解方程即可得出答案．注意，分式方程的解一定要检验． 【详解】解：设原来参加旅游的同学为人， 根据题意可得： ， 解得：或， 经检验，或是原分式方程的解， 因不符合题意，故舍去， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考要了分式方程的应用，根据压强公式，结合题目中压强之比为的条件，建立分式方程求解． 【详解】解：铁块A的重量为50N，底面积为，对桌面的压强为， 铁块B的重量为100N，底面积为，对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出． 【答案】25 【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设n号木板最多可伸出， ∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的， ∴n号木板最多伸出自身长度的， 由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意且是原方程的解， 所以第25号木板最多可伸出． 故答案为：25． 1．柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 【答案】600亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变列方程，即可求解． 【详解】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变，得 ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩． 2．某商店用1400元购进一批红枣，销售发现供不应求，于是用6300元再购进一批红枣，第二批红枣的数量是第一批红枣数量的4倍，但第二批红枣的进货价比第一批红枣每箱贵10元．第一批红枣的进货价为每箱多少元？ 【答案】第一批红枣的进货价为每箱80元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是通过数量=总价÷单价的关系建立方程，并且必须检验分式方程的解是否满足分母不为且符合实际意义． 设第一批红枣的进货价为每箱元，用总价÷单价表示两批红枣的数量，根据第二批数量是第一批的倍这一关系列分式方程，求解后检验解的合理性． 【详解】解：设第一批红枣的进货价为每箱元，则第二批红枣的进货价为每箱元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一批红枣的进货价为每箱元． 3．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵元，玩具店用元购进种哪吒玩偶的数量是用元购进种哪吒玩偶数量的倍．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】种玩偶单价为元，则种玩偶单价为元 【分析】此题考查了分式方程的应用，弄清题意，弄清各量间的关系是解题的关键； 设种玩偶单价为元，则种玩偶单价为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设种玩偶单价为元，则种玩偶单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：种玩偶单价为元，则种玩偶单价为元； 4．近年来，人工智能发展迅速，宇树公司研发的智能分拣机器人“小宇”在快递分拣中心大显身手．它能够自动识别快递信息，并根据目的地进行快速分拣，大大提高了工作效率．某快递分拣中心引入“小宇”机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 【答案】“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成件快递分拣任务，利用工作时间工作总量工作效率，结合“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成件快递分拣任务， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 件 答：“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务． 5．若关于的分式方程有解，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解的条件，掌握分式方程有解的条件是整式方程有解且分母不为零是解题的关键． 先去分母解整式方程，得到的表达式，再根据分式方程有解的条件列出不等式，确定的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 整理得，即， 当，即时，， 当且时，分式方程有解， 解得： 则的取值范围是且． 6．已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 7．2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截至2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园行驶的高速公路路程为120千米，普通公路的路程为30千米，已知高速公路路段行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地．求汽车在普通公路路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 【答案】(1)汽车在高速路段行驶的平均速度为100千米/时； (2)小明最多能买个哪吒手办． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键． （1）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在高速路段行驶的平均速度为2x千米/时，根据题意得，然后解方程并检验即可； （2）设小明购买了m个哪吒手办，则购买了（）个敖丙手办，根据题意得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在高速路段行驶的平均速度为2x千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米/时）． 答：汽车在高速路段行驶的平均速度为100千米/时； （2）解：设小明购买了m个哪吒手办，则购买了（）个敖丙手办， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为， 答：小明最多能买个哪吒手办． 8．贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】(1)x， (2)天 (3)选择方案三，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）根据方案一可知甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期即x天， 根据方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天可知乙队单独完成这项工程需要天； （2）根据方案三可知甲队6天完成的工作量+乙队工期时间完成的工作量，列方程求解即可； （3）根据（2）求出甲乙单独完成这项工程需要的时间，分别求出方案一、三求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工， ∴甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期， ∵设这项工程的规定工期为x天， ∴甲队单独完成这项工程需要x天， ∵乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天，这项工程的规定工期为x天， ∴乙队单独完成这项工程需要天； 故答案为：x，； （2）解：由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定工期为天； （3）解：∵这项工程的规定工期为天， ∴甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， ∵这项工程能如期完工， ∴只能选由甲单独完成或甲乙合作完成，即方案一或方案三， （方案一）甲队单独完成这项工程的费用：（万元）， （方案三） 若由甲乙两队合作做6天 ，剩下的工程由乙队单独做费用为：（万元）， ∵， ∴选方案三， 答：为了节省工程款，同时又能如期完成，应选择方案三． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $