第04讲 零指数幂与负整数指数幂（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第04讲 零指数幂与负整数指数幂 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：零指数幂 1.定义：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即（）；零的零次幂没有意义（即无意义）。 2.核心注意事项： 公式中可以是具体的数、单项式或多项式，但必须满足（如成立的条件是，即）； 3.常见特殊形式：（因），，但、均无意义。 4.基础应用：直接利用定义计算，如（）的结果为。 知识点2：负整数指数幂 1.定义：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（，是正整数）。 示例：，（）。 2.整数指数幂的运算性质（指数扩展到全体整数，原正整数指数幂性质仍适用）： 同底数幂的乘法：（，、为整数）； 同底数幂的除法：（，、为整数）； 幂的乘方：（，、为整数）； 积的乘方：（为整数，、不为0时适用）； 分式的乘方：（为整数，，不为0时适用）。 3.常用结论： 与互为倒数（）； （，）； （，）。 4.符号规律：底数为负数的整数指数幂，结果符号由指数的奇偶性决定（与指数正负无关）： 指数为奇数时，结果为负数（如）； 指数为偶数时，结果为正数（如）。 知识点3：科学记数法（表示绝对值小于1的数） 1.定义：利用10的负整数指数幂，将绝对值小于1的数表示为的形式，其中，为正整数。 2.表示步骤： 确定：将原数的小数点向右移动，直到得到一个满足的数（可正可负）； 确定：两种方法任选其一： 等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前的0）； 小数点向右移动了几位，就等于几； 写出形式：将原数表示为。 3.与绝对值较大数的科学记数法对比： 绝对值较大的数：形式为（，为正整数），； 绝对值较小的数：形式为（，为正整数），。 4.还原方法： 若表示为（为正整数），将的小数点向左移动位，不足的数位用0补齐； 若表示为（为正整数），将的小数点向右移动位。 5.实际应用： 表示微小长度、质量等（如微生物长度米=米）； 进行相关计算（如两个用科学记数法表示的数相乘、相除，需先算系数和10的幂，结果仍用科学记数法表示）； 注意：计算时需统一单位（如克换算为千克、毫米换算为米）。 知识点4：易错辨析与重点记忆 1.常见易错点： 忽略零指数幂中的条件（如错误认为、）； 负整数指数幂计算时，混淆底数和指数的负号（如错误计算，正确结果为）； 科学记数法中的确定错误（如将误写为，正确为）； 还原科学记数法表示的数时，多写或漏写0（如将误还原为，正确为）； 负整数指数幂运算中，符号判断错误（如认为，正确为）； 实际应用中忽略单位统一（如计算水分子个数时，未将换算为）。 2.重点记忆内容： 核心公式：（）、（，为正整数）； 运算性质：整数指数幂的5条运算性质（需牢记等限制条件）； 科学记数法关键：，的确定方法； 常用结论：、（，）。 【题型1零指数幂的计算】 方法技巧：①先判断底数≠0（底数为0则无意义）；②符合条件时，结果直接为1，即。 例1. （2025八年级上·吉林·专题练习）计算： ． 变式1. （25-26八年级上·河南驻马店·月考）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 变式2. （25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为 ． 变式3. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【题型2负整数指数幂的基本计算】 方法技巧：①牢记公式（，n为正整数）；②核心是转化为正指数幂的倒数，再计算结果。 例2. （25-26八年级上·北京·月考）计算：（1） ；（2） ． 变式1. （2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·湖南长沙·月考）计算：． 变式3. （2025八年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【题型3科学记数法表示绝对值小于1的数】 方法技巧：①确定：满足； ②确定：等于左起第一个非0数字前0的个数（含小数点前的0）； ③写成形式。 例3. （24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 变式1. （25-26八年级上·云南昭通·月考）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·广西贵港·期中）一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式3. （24-25七年级下·陕西西安·期末）一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 【题型4还原科学记数法表示的数】 方法技巧：①看指数（n为正整数）；②将的小数点向左移动n位，不足补0；③保留原数的正负性。 例4. （25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 变式1. （2020九年级·山东·竞赛）将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 变式2. （2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 变式3. （24-25七年级下·全国·课后作业）一粒大米的质量约为，用小数表示为 ． 【题型5零指数幂与负整数指数幂的混合运算】 方法技巧：①遵循“先乘方，再乘除，最后加减”；②零指数幂先验底数，负指数幂先转化；③结果化为正整数指数幂形式。 例5. （25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： 变式1. （25-26七年级上·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 变式2. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1)； (2)． 变式3. （25-26七年级上·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 【题型6科学记数法的简单计算】 方法技巧：①系数与系数运算，10的幂按同底数幂法则运算；②结果调整为的科学记数法；③优先统一单位。 例6. （25-26八年级上·西藏日喀则·期末）宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示1粒粟的重量约为（    ） A． B． C． D． 变式1. （25-26八年级上·上海·期中）已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的 倍． 变式2. （25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 变式3. （2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【题型7科学记数法的实际应用】 方法技巧：①统一题目中所有物理单位；②按题意列乘除算式；③运算后保留合适有效数字，结果用科学记数法表示。 例7. （2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 变式1. （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若规定当时，（为正整数），如．请你仿照计算，，，，并将结果化为小数，观察这些结果，比较小数点前后连续的0的个数与10的指数，它们有什么关系？ （2）利用（1）的规律，得，这样0.0054就用科学记数法表示出来了．请你照此方法用科学记数法表示下列各数： ①0.0605；②0.0000000863． 变式2. （24-25七年级下·江苏泰州·月考）一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示） (1)这个正方体的体积是多少？ (2)若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？ 变式3. （2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 一、单选题 1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 2．下列数是正数的是（    ） A． B． C． D． 3．“荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 4．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 二、填空题 5．计算： ． 6．用科学记数法表示 ． 7．计算： ． 8．若等式成立，则x的值为 ． 三、解答题 9．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 10．计算： (1)； (2)． 11．先化简，再求值：，其中． 12．计算下面各题． (1)． (2)． (3)． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 零指数幂与负整数指数幂 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：零指数幂 1.定义：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即（）；零的零次幂没有意义（即无意义）。 2.核心注意事项： 公式中可以是具体的数、单项式或多项式，但必须满足（如成立的条件是，即）； 3.常见特殊形式：（因），，但、均无意义。 4.基础应用：直接利用定义计算，如（）的结果为。 知识点2：负整数指数幂 1.定义：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（，是正整数）。 示例：，（）。 2.整数指数幂的运算性质（指数扩展到全体整数，原正整数指数幂性质仍适用）： 同底数幂的乘法：（，、为整数）； 同底数幂的除法：（，、为整数）； 幂的乘方：（，、为整数）； 积的乘方：（为整数，、不为0时适用）； 分式的乘方：（为整数，，不为0时适用）。 3.常用结论： 与互为倒数（）； （，）； （，）。 4.符号规律：底数为负数的整数指数幂，结果符号由指数的奇偶性决定（与指数正负无关）： 指数为奇数时，结果为负数（如）； 指数为偶数时，结果为正数（如）。 知识点3：科学记数法（表示绝对值小于1的数） 1.定义：利用10的负整数指数幂，将绝对值小于1的数表示为的形式，其中，为正整数。 2.表示步骤： 确定：将原数的小数点向右移动，直到得到一个满足的数（可正可负）； 确定：两种方法任选其一： 等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前的0）； 小数点向右移动了几位，就等于几； 写出形式：将原数表示为。 3.与绝对值较大数的科学记数法对比： 绝对值较大的数：形式为（，为正整数），； 绝对值较小的数：形式为（，为正整数），。 4.还原方法： 若表示为（为正整数），将的小数点向左移动位，不足的数位用0补齐； 若表示为（为正整数），将的小数点向右移动位。 5.实际应用： 表示微小长度、质量等（如微生物长度米=米）； 进行相关计算（如两个用科学记数法表示的数相乘、相除，需先算系数和10的幂，结果仍用科学记数法表示）； 注意：计算时需统一单位（如克换算为千克、毫米换算为米）。 知识点4：易错辨析与重点记忆 1.常见易错点： 忽略零指数幂中的条件（如错误认为、）； 负整数指数幂计算时，混淆底数和指数的负号（如错误计算，正确结果为）； 科学记数法中的确定错误（如将误写为，正确为）； 还原科学记数法表示的数时，多写或漏写0（如将误还原为，正确为）； 负整数指数幂运算中，符号判断错误（如认为，正确为）； 实际应用中忽略单位统一（如计算水分子个数时，未将换算为）。 2.重点记忆内容： 核心公式：（）、（，为正整数）； 运算性质：整数指数幂的5条运算性质（需牢记等限制条件）； 科学记数法关键：，的确定方法； 常用结论：、（，）。 【题型1零指数幂的计算】 方法技巧：①先判断底数≠0（底数为0则无意义）；②符合条件时，结果直接为1，即。 例1. （2025八年级上·吉林·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，先根据运算法则计算各项，再求和． 【详解】解：， 故答案为． 变式1. （25-26八年级上·河南驻马店·月考）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，解题关键是明确零指数幂中底数不能为． 根据零指数幂有意义的条件，底数不能为． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为 ． 变式2. （25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为 ． 【答案】2025 【分析】该题考查了零指数幂，根据指数方程的性质，当底数不为0且不等于时，幂为1当且仅当指数为0． 【详解】解：因为底数是无理数与有理数的和，且， 所以，且，， 因此，当方程成立时，当且仅当指数， 解得：． 故答案为：2025． 变式3. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查实数的运算． （1）先计算零次幂，立方根，然后相减即可． （2）先计算乘方，算术平方根，绝对值化简，然后计算加减法即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【题型2负整数指数幂的基本计算】 方法技巧：①牢记公式（，n为正整数）；②核心是转化为正指数幂的倒数，再计算结果。 例2. （25-26八年级上·北京·月考）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 /0.5 1 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，利用负整数指数幂的意义，（），计算；利用零指数幂的意义，（），计算，即可． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）∵， ∴． 故答案为：1 变式1. （2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 变式2. （25-26八年级上·湖南长沙·月考）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 变式3. （2025八年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、乘方，开立方、绝对值等知识．解题的关键在于熟练掌握各类运算法则． （1）先进行负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、乘方，然后算加减即可； （2）先进行算术平方根、立方根、绝对值，然后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型3科学记数法表示绝对值小于1的数】 方法技巧：①确定：满足； ②确定：等于左起第一个非0数字前0的个数（含小数点前的0）； ③写成形式。 例3. （24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·云南昭通·月考）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：． 故选B． 变式2. （25-26八年级上·广西贵港·期中）一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数． 【详解】解：， 选故：B． 变式3. （24-25七年级下·陕西西安·期末）一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 【答案】克 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：克克， 故答案为：克． 【题型4还原科学记数法表示的数】 方法技巧：①看指数（n为正整数）；②将的小数点向左移动n位，不足补0；③保留原数的正负性。 【题型5零指数幂与负整数指数幂的混合运算】 方法技巧：①遵循“先乘方，再乘除，最后加减”；②零指数幂先验底数，负指数幂先转化；③结果化为正整数指数幂形式。 例4. （25-26八年级上·上海·月考）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 变式1. （2020九年级·山东·竞赛）将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个非零的数字前面的0的个数所决定； 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】因为， 所以小数点第四位数字是0； 故选：A． 变式2. （2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解： ， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 变式3. （24-25七年级下·全国·课后作业）一粒大米的质量约为，用小数表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型5零指数幂与负整数指数幂的混合运算】 方法技巧：①遵循“先乘方，再乘除，最后加减”；②零指数幂先验底数，负指数幂先转化；③结果化为正整数指数幂形式。 例5. （25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义． 先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方、立方根的意义化简各数，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 变式1. （25-26七年级上·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，立方根、平方根的运算，负整数指数幂、零指数幂的运算，熟练掌握幂运算、根式运算的法则是解题关键． （1）先算乘方开方，再算乘除，最后加减，逐步计算得结果； （2）依次处理负指数幂、绝对值、平方根、零指数幂，再合并运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式2. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3. （25-26七年级上·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7+ 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方，再算加减； （2）先根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 【题型6科学记数法的简单计算】 方法技巧：①系数与系数运算，10的幂按同底数幂法则运算；②结果调整为的科学记数法；③优先统一单位。 例6. （25-26八年级上·西藏日喀则·期末）宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示1粒粟的重量约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法以及实际问题中的数值计算，掌握“用科学记数法表示较小数时，的指数由原数左边起第一个非零数字前的0的个数决定”是解题的关键． 先求一粒粟的重量，再转化为科学记数法形式即可求解． 【详解】解：200粒粟的重量约为1克， 1粒粟的重量约为克， ． 故选：D． 变式1. （25-26八年级上·上海·期中）已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的 倍． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法；用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 变式2. （25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 变式3. （2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【题型7科学记数法的实际应用】 方法技巧：①统一题目中所有物理单位；②按题意列乘除算式；③运算后保留合适有效数字，结果用科学记数法表示。 例7. （2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； （1）根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：数据用科学记数法表示为； （2）解：由（1）可知：． 变式1. （25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若规定当时，（为正整数），如．请你仿照计算，，，，并将结果化为小数，观察这些结果，比较小数点前后连续的0的个数与10的指数，它们有什么关系？ （2）利用（1）的规律，得，这样0.0054就用科学记数法表示出来了．请你照此方法用科学记数法表示下列各数： ①0.0605；②0.0000000863． 【答案】（1）小数点前后连续的0的个数与10的指数的绝对值相同． （2）①． ②． 【分析】（1）根据题意，计算出的值；通过观察可得到规律：小数点后连续零的个数（包括小数点前的那个零）与10的指数的绝对值相等； （2）结合上述规律，即可得到（2）的答案． 【详解】解：（1），， ， 由上观察可得（n为正整数）可写成的形式，所以小数点前后连续的0的个数与10的指数的绝对值相同． （2）①． ②． 【点睛】本题考查了有理数的负整数指数幂和科学记数法，掌握当时， （为正整数）是解题的关键． 变式2. （24-25七年级下·江苏泰州·月考）一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示） (1)这个正方体的体积是多少？ (2)若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？ 【答案】(1) (2)个 【分析】本题考查正方体的体积、单项式的乘除法应用、科学记数法，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解答的关键． （1）根据正方体的体积公式和单项式乘以单项式的运算法则求解，再利用科学记数法表示计算结果即可； （2）用正方体的体积除以一个立方块的体积即可求解． 【详解】（1）解：， 答：这个正方体的体积是； （2）解：小立方块的体积为， （个）， 答：需要个这样的小立方块才能将正方体盒子装满． 变式3. （2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 一、单选题 1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的性质，即任何非零数的零次幂等于1． 由结合零指数幂的性质即可求解． 【详解】解：∵ 时，， ∴ ． 故选：． 2．下列数是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数的概念，熟知大于的数叫做正数是解题的关键．先将已知各数进行化简，然后根据正数的概念逐项判断即可． 【详解】解： A、既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B、，属于负数，故本选项不符合题意； C、，属于正数，故本选项符合题意； D、 ，由于指数为奇数，故结果为负数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．“荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，对于绝对值小于1的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，n为第一个非0数前面所有0的个数，据此即可求解﹒ 【详解】解：． 故选：C 4．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数，求一个数的绝对值有理数的乘方和零指数幂，先化简各数，再判断各选项的值是否大于零，即可． 【详解】解：A、，是负数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、，是正数，符合题意； 故选D． 二、填空题 5．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂的性质：任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：1． 6．用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n的绝对值等于原数中第一个非零数字前的所有0的个数（包括小数点前的0），进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】应用负整数指数幂和零指数幂的运算法则分别计算各部分后相加即可；本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 8．若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 9．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，根据题意可列式，据此计算求解即可． 【详解】解： 答：个这样的细胞排成的细胞链的长为． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识点，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，先计算负整数指数幂，再把小括号内的式子通分化简，接着把对应分式的分子和分母分解因式后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．计算下面各题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂的意义，积的乘方的逆运算计算即可； （2）根据积的乘方法则，幂的乘方法则，单项式除以单项式法则等计算即可； （3）原式变形为，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $