专题03分式的运算寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题03分式的运算寒假预习讲义 1 预习目标 ·掌握分式乘除、乘方、加减及混合运算法则，能规范计算并化简至最简结果： ·会用因式分解、通分约分等技巧，提升运算速度与准确率； ·规避运算顺序、符号、分母为0等高频易错点； ·能运用分式运算解决实际问题，完成列式与求解： ·夯实基础，为后续分式方程等知识学习做好铺垫。 预习内容概览 1.分式的乘除运算 2.分式的乘方运算 预习必备 3.分式的加减运算 4.分式的混合运算 知识点梳 5.分式的化简与求值 6.分式运算的核心依据与常用公式 理 7.高频易错点 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5,含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 常考题型 7异分母分式加减法 8整式与分式相加减 精讲精炼 9.已知分式恒等式确定分子分母 10.分式加减混合运算 11.分式加减的实际应用 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.分式最值 强化题型 (解答题8题) 3 知识点梳理 【知识点01.分式的乘除运算】 1.分式的乘法法则 文字表述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积 的分母。 试卷第1页，共3页 符号表示：：帚·音=器(b、d均不为0) 关键步骤：先因式分解（分子、分母能分解的先分解），再先约分后相乘（减少 计算量，核心技巧)。 2。分式的除法法则 文字表述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除 以一个分式等于乘这个分式的倒数)。 符号表示：：骨÷号=是·是=腿 (b、c、d均不为0) 核心转化：除→乘，倒除式，除法最终都转化为乘法计算。 3.乘除混合运算规则 从左到右依次计算，有括号先算括号内的；可统一转化为乘法后，一次性因式分 解、约分，最后化为最简分式或整式。 【知识点02.分式的乘方运算】 上。分式的乘方法则 文字表述：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 符号表示：()-影((b≠0，n为正整数) 延伸：乘方与乘除混合时，先算乘方，再算乘除。 2.符号规则 与有理数乘方一致：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负； 【知识点03.分式的加减运算】 分式加减的核心：通分（异分母)→化为同分母分式→分子相加减，分母不 变，最终化为最简分式。 1.同分母分式的加减法则 文字表述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 符号表示：是士名= 2(C≠0) 关键：分子是多项式时，相加减要加括号，避免符号错误； 2.异分母分式的加减法则 试卷第1页，共3页 文字表述：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式 的加减法法则进行计算。 符号表示：居±号=器±箭=密、d均不为0) 核心步骤： (1)找最简公分母（通分的关键）： 分母为单项式：取各分母系数的最小公倍数+所有字母的最高次幂的积； 分母为多项式：先对各分母因式分解，再取各因式的最高次幂的积。 (2)通分：各分式的分子、分母同乘适当的整式，使所有分式的分母都为最简公 分母： 3)分子相加减，分母不变： ()约分：将结果化为最简分式或整式。 3.加减混合运算规则 有括号先算括号内的，无括号则从左到右计算；可先统一通分，也可分步通分（适 用于多个分式相加减)。 【知识点04.分式的混合运算】 1.运算顺序（与有理数混合运算一致，核心：先乘方，再乘除，最后加减） 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内（小括号→中括号），括号内仍按乘方→乘除→加减的顺序： 同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次计算。 2.核心技巧 能因式分解的先因式分解（分子、分母)，便于约分和通分： 乘除运算优先先约分后计算，加减运算优先找最简公分母通分： 计算过程中，分子是多项式的要注意符号和括号，避免漏项、错号。 3.最终要求 所有分式混合运算的结果，必须化为最简分式或整式（约分到底，无公因式）。 【知识点05.分式的化简与求值】 1.基本题型：先化简，再求值 解题步骤： 试卷第1页，共3页 (1)化简：按照分式混合运算规则，将原式化为最简分式或整式： (2)求值：将已知字母的取值代入化简后的式子计算（切勿直接代入原式，避免 复杂计算)。 2.特殊求值题型：整体代入法 已知条件为整式等式（如x-2y=0、意一声=3），无法直接求出字母的具体值， 需将化简后的式子转化为含已知等式的整体形式，再代入求值。 3.求值易错点 代入取值前，需检验原式的分母及化简过程中所有分母均不为0（避免无意义）； 整体代入时，注意等式的变形（如移项、两边同除、倒数等），保证变形恒等。 【知识点06.分式运算的核心依据与常用公式】 1.核心依据 分式的基本性质：鲁=畿，鲁= ,(B、M≠0)； 分式的变号法则：言=常=一鲁，分子、分母、分式本身同时变两个符号，值 不变。 2.常用因式分解公式（分式运算的基础，需熟练掌握） 平方差公式：a2-b2-(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab+b2-(a士b)2; 提取公因式：ma+mb=m(a+b) 【知识点07.高频易错点汇总】 1.符号错误：分子相加减、分式变号、乘方符号时，忽略多项式的括号： 2.运算顺序错误：先算加减再算乘除，或跳步计算乘方； 3.约分错误：约去非公因式、因式分解不彻底导致约分不充分： 4通分错误：最简公分母找错（漏乘系数、漏取因式最高次幂）； 5.结果未化简：运算后未将结果化为最简分式或整式： 6.分母为0：求值时代入的数值使原式分母为0，导致无意义。 句话核心总结 分式运算类比分数运算、遵循整式规则，乘除化乘法、加减化同分母、乘方分分 子分母，混合运算守顺序，因式分解贯始终，结果必为最简式（分式/整式）。 试卷第1页，共3页 常考题型精讲精练 【题型1.分式乘法】 【爽例】计算（云）治的结果是〔) a 2b B.、1 C.、1 D.62 _2a 4a a b a 【跟踪专练1】计算： a b2 【跟踪专练2】己知有一组代数式满足a2=a±(n为正整数)的数量关系，如： a 4,=4,a,=，我把满足这种数量关系的代数式称为衍生式”，现有一组“衍生式”，其中 a a, a1=m+2,a2=4-m2，则a,a2a…a24a25+a27的值为（） A.2 B.3 C.4 D.5 【题型2.分式除法】 【典例】计算： 5x 15x2 2y 【跟踪专练1】计算上÷上的结果为() 4x 2x A. 4 B. C.2 4 2 D 【跟踪专练2】给定一列分式：士，- 8y,（其中x≠0，y≠0)，那么 y’2y2’4y’ 第n个分式是 ,这列分式中第n个分式除以第(n-)个分式的商是一 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】计算x÷x上的结果是() y x A.x B.y c. D.y x 【跟踪专练1】化简：(a-)÷1-a(-a)= a 【跟踪专练2】一艘船往返于相距50千米的两个码头.己知水的流速为2千米时，船在静 水中的速度为x千米/时(x>2),那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比 值是() 试卷第1页，共3页 A.2 B.x+2 D. x+2 x-2 【题型4.分式乘方】 【典例】(4b》的结果是」 【跟踪专练1】计算 的结果是() -2d A. P B. C. a D. a 4a2 -4a3 3 【跟踪专练2】计算 2 4x2 2x 3y4 的结果是」 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算 2a2 b 的结果为( 5b 125b 5 125b 5 A. 4a B. C. D.- 4ab 【跟踪专练1】计算： 【跟踪专练2】化简 的结果是() A.-x B. C. D. y x 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】化简2，七的结果是 x-2x-2 【跟踪专练1】下列式子计算正确的是() A.b=b B.a+1-a-1 -aa a-33-aa-3 C. 1+11 a+la a b ab D. b+1 b 【跟踪专练2】如界记y中=(，并且0表示当x=1时y的值，即 =么 0+2+/⑤13创+f得+202+f(0s 试卷第1页，共3页 【题型7.异分母分式加减法】 【奥例】计算1-a+1的值为(). a A.0 B.1 C.1 D. a 【跟踪专练1】计算一3 -9-3的结果是 4 【跟踪专练2】设M=),N=上，当>y>0时，M与V的大小关系是() x+1 A.M>N B.M=N C.M<N D.M≤N 【题型8.整式与分式相加减】 【典例】计算：己+1= a-1 【跟踪专练1】下列运算正确的是() +1-2x+1B.1-2=X-2 A.x+二= C..1、1 xx Xx y不2. D.=x 2 x 【跟踪专练2】八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次 数时，我们把这个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫 做假分式.任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式.如： x+1_x-1+2_x-12」 1=+三1+二·阅读完这段文字后，小丽认为，当术>1时，随着 不断增大，+！的值会无限接近一个数.类比上述过程，当x>-1时，随着x的不断增大， x-1 x+的值会无限接近的一个数是一 2x+7 【题型9.已知分式恒等式确定分子分母】 【典例】已知x-1,则，？一的值是() x++2x2+1 B.4 c D.& 【跟踪专练1】已知6r+10x-Ax+B+Cx+D ,其中A,B,C,D为常数，则 x4+x2+1x2+x+1'x2-x+1 A+B+C D= 【限专练21如果06+e-0,g6+-0,那么1o+2+ 的值为() A.36 B.16 C.14 D.3 试卷第1页，共3页 【题型10.分式加减混合运算】 【典例】化简： 8a.16 a-22-a 【跟踪专纸照相机成像应用了一个重要原惠，用公式了，+少≠八表示，其中∫表示一 照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知∫，V, 则u=() A名 B.I-v C. D.Y-/ f形 v-f f 【跟踪专练2】人们把5-l这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的 1 1 0618就应用了黄金分知数，设ay5中，b=5,记+ 2 2 2 2 10.10 鸟1+云+1+石…0+Q+1+60,则+5++5o的值为一 【题型11.分式加减混合运算】 【典例】甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程， 两队共同工作一天的工作量是 【跟踪专练1】一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为4，像距为v,凸透镜的焦距为∫，且 111 满足二+= 则用4、∫表示的结果为() 1 A.v=f-u B.v=- f-u C.v=uf u-f D.v=4-I uf 【跟踪专练2】图1中阴影部分的面积为S,(边长为α的大正方形中有一个边长为b的小正 方形).图2中阴影部分的面积为S2(边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长 方形)，4>b>0,设k=ミ，则k的取值范围为 0 图1 图2 【题型12.分式加减的实际应用】 试卷第1页，共3页 【典例】化简： x2 x=() x-1x-1 A.1 B.x C.0 D.x+1 2a 1 【跟踪专练1】化简： 1 、a2-4a-2a2+2a 11 【跟踪专练2】化简分式： m-二÷n-二的值为() n m n B. m+2 m m-2 A. C. D. n n+2 n n-2 【题型13.分式化简求值】 【典例】若上+上=7，则4m”的值为 m n m+n 【跟踪专练1】下列各式从左到右的变形，是分式化简的是() A. ab a b+2b a2 a b2b B. C. a+2 a 京=6 D.-a+ba+b 【跟踪专练2】已知实数a,,c满足9a+2b-)-a+2b≠0，则ac+2的值为 c八c 1-bc 【题型14.分式最值】 【典例】若a为正整数，下列关于分式 2a-2 的值的结论正确的是() a2-1 A.有最大值是2 日.有敏大位是号 C.有最小值是1 D.有最小值，没有最大值 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示-3。L的值的点落在《) x2-6x+9x+1 ① ② ④ -0.2 0.4 1.6 2.2 A.段① B.段② C.段③ D.段④ 【跟踪专练2】下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：a2+b2≥2ab. 证明：：(a-b)2≥0， .a2-2ab+b2≥0， .a2+b2≥2ab. 认真学习例题后，解答下面问题： 试卷第1页，共3页 (1)求证：x2+y2≥2xy: (2)①若y=4,则x2+y2的最小值为 ②若x2+y2=6,则y的最大值为 (⑧0r+宁的敏小馆为一 巴r是的最小值为 (④)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为10，第三个正方形的边长等于 第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值， 05 强化巩固 1.计算： 1)0-1.a2-4 a+2a2-2a+1a2-1 2)-2x+1 2.计算： 3.化简： 2x1 (0-4x-2 (2) *1x+1 4.先化简1-5-2x）÷2-6x+9 2-x 再从-1,1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入 3x-6 求值， 5.(1)计算： x+3.x+3+X+3x x2-4x+2x-2 (2)若 a+2025 =2025,求1 0+2026的值. 6.如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为m米(m>1)的正方形去掉一个边长为1米的正 方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(m-)米的正方形，两块试验田 的小麦都收获了水g. 试卷第1页，共3页 专题03分式的运算寒假预习讲义 · 掌握分式乘除、乘方、加减及混合运算法则，能规范计算并化简至最简结果； · 会用因式分解、通分约分等技巧，提升运算速度与准确率； · 规避运算顺序、符号、分母为 0 等高频易错点； · 能运用分式运算解决实际问题，完成列式与求解； · 夯实基础，为后续分式方程等知识学习做好铺垫。 预习必备 知识点梳理 1.分式的乘除运算 2.分式的乘方运算 3.分式的加减运算 4.分式的混合运算 5.分式的化简与求值 6.分式运算的核心依据与常用公式 7.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5,含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 9.已知分式恒等式确定分子分母 10.分式加减混合运算 11.分式加减的实际应用 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.分式最值 强化题型 (解答题8题) 【知识点01.分式的乘除运算】 1. 分式的乘法法则 文字表述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 符号表示：：（b、d 均不为 0） 关键步骤：先因式分解（分子、分母能分解的先分解），再先约分后相乘（减少计算量，核心技巧）。 2. 分式的除法法则 文字表述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）。 符号表示：：​（b、c、d 均不为 0） 核心转化：除→乘，倒除式，除法最终都转化为乘法计算。 3. 乘除混合运算规则 从左到右依次计算，有括号先算括号内的；可统一转化为乘法后，一次性因式分解、约分，最后化为最简分式或整式。 【知识点02.分式的乘方运算】 1. 分式的乘方法则 文字表述：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 符号表示：()n=(（b0，n 为正整数） 延伸：乘方与乘除混合时，先算乘方，再算乘除。 2. 符号规则 与有理数乘方一致：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负； 【知识点03.分式的加减运算】 分式加减的核心：通分（异分母）→ 化为同分母分式 → 分子相加减，分母不变，最终化为最简分式。 1. 同分母分式的加减法则 文字表述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 符号表示：±（C0） 关键：分子是多项式时，相加减要加括号，避免符号错误； 2. 异分母分式的加减法则 文字表述：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。 符号表示：（b、d 均不为 0） 核心步骤： (1)找最简公分母（通分的关键）： 分母为单项式：取各分母系数的最小公倍数+所有字母的最高次幂的积； 分母为多项式：先对各分母因式分解，再取各因式的最高次幂的积。 (2)通分：各分式的分子、分母同乘适当的整式，使所有分式的分母都为最简公分母； (3)分子相加减，分母不变； (4)约分：将结果化为最简分式或整式。 3. 加减混合运算规则 有括号先算括号内的，无括号则从左到右计算；可先统一通分，也可分步通分（适用于多个分式相加减）。 【知识点04.分式的混合运算】 1. 运算顺序（与有理数混合运算一致，核心：先乘方，再乘除，最后加减） 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内（小括号→中括号），括号内仍按乘方→乘除→加减的顺序； 同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次计算。 2. 核心技巧 能因式分解的先因式分解（分子、分母），便于约分和通分； 乘除运算优先先约分后计算，加减运算优先找最简公分母通分； 计算过程中，分子是多项式的要注意符号和括号，避免漏项、错号。 3. 最终要求 所有分式混合运算的结果，必须化为最简分式或整式（约分到底，无公因式）。 【知识点05.分式的化简与求值】 1. 基本题型：先化简，再求值 解题步骤： (1)化简：按照分式混合运算规则，将原式化为最简分式或整式； (2)求值：将已知字母的取值代入化简后的式子计算（切勿直接代入原式，避免复杂计算）。 2. 特殊求值题型：整体代入法 已知条件为整式等式（如x−2y=0、​=3），无法直接求出字母的具体值，需将化简后的式子转化为含已知等式的整体形式，再代入求值。 3. 求值易错点 代入取值前，需检验原式的分母及化简过程中所有分母均不为 0（避免无意义）； 整体代入时，注意等式的变形（如移项、两边同除、倒数等），保证变形恒等。 【知识点06.分式运算的核心依据与常用公式】 1. 核心依据 分式的基本性质：，（B、M）； 分式的变号法则：，分子、分母、分式本身同时变两个符号，值不变。 2. 常用因式分解公式（分式运算的基础，需熟练掌握） 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)； 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2； 提取公因式：ma+mb=m(a+b)。 【知识点07.高频易错点汇总】 1.符号错误：分子相加减、分式变号、乘方符号时，忽略多项式的括号； 2.运算顺序错误：先算加减再算乘除，或跳步计算乘方； 3.约分错误：约去非公因式、因式分解不彻底导致约分不充分； 4.通分错误：最简公分母找错（漏乘系数、漏取因式最高次幂）； 5.结果未化简：运算后未将结果化为最简分式或整式； 6.分母为 0：求值时代入的数值使原式分母为 0，导致无意义。 一句话核心总结 分式运算类比分数运算、遵循整式规则，乘除化乘法、加减化同分母、乘方分分子分母，混合运算守顺序，因式分解贯始终，结果必为最简式（分式 / 整式）。 【题型1.分式乘法】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键．根据分式乘法的运算法则即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【跟踪专练2】已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】题目主要考查代数式的规律问题，乘法运算及加减运算，理解题意，找出规律是解题关键 通过计算前几项发现周期性，利用周期性简化计算即可 【详解】解：∵ ∴ 由此发现周期为6， ， ∴每6项乘积为1， ∴前24项为4个完整周期，乘积为， 第25项为， 故总乘积为， ∵余3， ∴， ∴， 故选：C 【题型2.分式除法】 【典例】计算： ． 【答案】/ 【分析】通过原式约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题关键，根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪专练2】给定一列分式：，，，，…（其中，），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第个分式的商是 ． 【答案】 ； 【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为乘以y的n次幂， ∴第n个分式为； ， ， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第个分式的商是． 故答案为：；． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将除法转化为乘法，再根据分式乘法法则计算即可． 【详解】 ， 故选：C 【点睛】本题考查了分式的乘除法混合运算，熟练掌握分式混合运算的顺序是解题的关键． 【跟踪专练1】化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．先把除法转化为乘法，再计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练2】一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶的时间即可解答． 【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是千米/时，船在逆水中的速度是千米/时， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间． 【题型4.分式乘方】 【典例】的结果是 【答案】 【分析】将分式的乘方变成分子中整式的乘方和分母中整式的乘方，再根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方的计算，计算过程中注意不要漏掉分母的符号． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式乘除和乘方运算法则对原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：原式＝ ＝， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的乘除法和乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：原式． 故答案为． 【跟踪专练2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减法则． 根据同分母分式的加减法则直接求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式正确，故本选项符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如果记，并且表示当时的值，即，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． ∴ 故答案为：． 【题型7.异分母分式加减法】 【典例】计算 的值为（    ）． A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的减法，先通分，化为同分母分式，再计算即可． 【详解】解：， 故选：D 【跟踪专练1】计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据异分母分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【跟踪专练2】设，，当时，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，比较大小，掌握作差法比较大小是解题的关键. 通过作差法比较和的大小，利用已知条件判断差值的符号即可. 【详解】解：∵ ， 又∵， ， ， ， ∴ ∴ ，即 . 故选：A. 【题型8.整式与分式相加减】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减法和乘法，掌握分式的加减法的法则和乘除法的法则是解题的关键．根据分式的加减法的法则和乘法的法则计算后判定即可． 【详解】A． ，错误，该选项不符合题意； B． ，正确，该选项符合题意； C． ，错误，该选项不符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0， ∴的值无限接近2， 故答案为2． 【题型9.已知分式恒等式确定分子分母】 【典例】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键． 【跟踪专练1】已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【跟踪专练2】如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 【题型10.分式加减混合运算】 【典例】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数式的变化规律，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键． 根据题意可得：，利用分式的加减法求出各的值后，相加即可． 【详解】解：∵ ∴，， ， ∴； 故答案为：． 【题型11.分式加减混合运算】 【典例】甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天的工作量是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式中的分式，分式的加法运算，根据两队的工作时间可得每天的工作效率，再列式计算即可. 【详解】解：∵甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程， ∴乙工程队完成一项工程需天， ∴两队共同工作一天的工作量是：， 故答案为： 【跟踪专练1】一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，首先移项，然后进行分式的减法运算，最后求倒数即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、因式分解的应用等知识点，根据题意得到是解答本题的关键．根据题意可得，，从而得到，再根据，可得，从而得到的取值范围即取值范围． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【题型12.分式加减的实际应用】 【典例】化简：（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算，注意：最终结果要化为最简分式． 【详解】解：， 故选B． 【跟踪专练1】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解和分式的性质化简原式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 【题型13.分式化简求值】 【典例】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的计算，根据题意可得，则，再代入代数式即可求解，掌握分式的加减运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； D、，不是分式化简，故本选项不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】依据题意可得，进而得到，则或，再计算即可得解． 本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能根据题意利用完全平方式进行转化是关键 【详解】解：由题意，∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 或 则，即或，即 或 故答案为：或 【题型14.分式最值】 【典例】若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 【跟踪专练2】下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【分析】先根据分式的加法计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ． ，，， 且， ∴当时，原式（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式化简求值；解决本题的关键是熟练掌握运算法则． 5．（1）计算：． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的方法是解题的关键； （1）先计算原式的倒数，求得最后结果再取倒数即可； （2）对已知式子取倒数后计算得出的值，对的值再取倒数即可求解． 【详解】解：（1）原式的倒数为 ， ． （2）， ， ， ． 6．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)丰收2号 (2) 【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 “丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 ， ，，， ∴ ∴， ∵， 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2） 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍． 7．定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 8．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $