15.3可化为一元一次方程的分式方程（1）精讲精练--2025-2026学年华东师大版八年级 数学下册寒假预习必备

15.3可化为一元一次方程的分式方程（1） 一、精讲 1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。 （2）解整式方程，求得整式方程的根。 （3）验根：把求得的整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。 （4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。 3、增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。注：增根不是解题错误造成的。 如何确定含字母系数的的分式方程产生增根的条件及增根？ 确定含字母系数的的分式方程产生增根的条件，也即确定字母系数的值。分式方程有增根，求未知字母的值的一般步骤：（1）先把分式方程化为整式方程；（2）找出使分母值为零的未知数的值；（3）把找出的未知数的值代入整式方程，求出未知字母的值。同时可确定增根。 分式方程无解，可能是去分母后的整式方程无解，也可能是去分母后的整式方程的解为增根（使原分式方程的分母为零）。 【例1】解分式方程：(1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验即可； （2）将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验即可； 【详解】（1）解： 经检验，是该方程的解． （2）解： 当时，分式和的分母为0，故是方程的增根，即方程无解． 【例2】已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 二、精练 1．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 2．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 8．关于的方程无解，则的值为（    ） A．5或 B．1或5 C．或 D．或1 9．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 10．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 11．已知分式方程（为常数）有增根，则的值为 ． 12．已知关于x的方程的解为，则m的值为 ． 13．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 14．分式方程的解是 ． 15．关于的分式方程有增根，则 ． 16．请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 17．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 18．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 19．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 20．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 21．解下列分式方程： (1) (2)． 22．已知关于的分式方程的解与分式方程的解相同，求的值． 23．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 24．（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 25．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3可化为一元一次方程的分式方程（1） 一、精讲 1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。 （2）解整式方程，求得整式方程的根。 （3）验根：把求得的整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。 （4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。 3、增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。注：增根不是解题错误造成的。 如何确定含字母系数的的分式方程产生增根的条件及增根？ 确定含字母系数的的分式方程产生增根的条件，也即确定字母系数的值。分式方程有增根，求未知字母的值的一般步骤：（1）先把分式方程化为整式方程；（2）找出使分母值为零的未知数的值；（3）把找出的未知数的值代入整式方程，求出未知字母的值。同时可确定增根。 分式方程无解，可能是去分母后的整式方程无解，也可能是去分母后的整式方程的解为增根（使原分式方程的分母为零）。 【例1】解分式方程：(1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验即可； （2）将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验即可； 【详解】（1）解： 经检验，是该方程的解． （2）解： 当时，分式和的分母为0，故是方程的增根，即方程无解． 【例2】已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 二、精练 1．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 2．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 3．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． 4．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 方程两边乘以最简公分母得： ． 故选：B． 5．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 检验：当 时，分母 ，故解有效 故选：C． 6．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】∵ 方程 ，且 ， ∴ 原方程化为 ． 移项，得 ，即 ． 两边乘 （），得 ， 展开，得 ， 整理，得 ， ∴ ． ∵方程 的解为正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∴ 的取值范围为 且 ． ∵ 为自然数（包括 0）， ∴ 可能取值为 0， 1， 3． ∴ 的所有值的个数为 3 个． 故选：A． 7．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 两边同乘（），得， ∴， ∵解为非负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：D． 8．关于的方程无解，则的值为（    ） A．5或 B．1或5 C．或 D．或1 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘 ，得， 整理得： ． ∵分式方程无解， ∴其增根为或． 当 时， ； 当 时， ． 故当 或 时，方程无解． 故选：A． 9．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 10．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 11．已知分式方程（为常数）有增根，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：原方程化为 ， 两边同乘 得 ，， 整理得 ，即 ， 增根 是整式方程的解，代入得 ， 解得 ， 故答案为：． 12．已知关于x的方程的解为，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入方程， 得，解得， 故答案为：． 13．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 14．分式方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 解得， 检验，当时，， 故解为， 故答案为：． 15．关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】1 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 16．请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 17．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】4 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 18．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】6 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 19．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：解方程， 解得：， ∵， ∴，即， ∵方程的解为非负数，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 20．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程两边都乘，得：， 原方程有增根， 最简公分母，解得， 当时，即， ． 故答案为：． 21．解下列分式方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 分母因式分解，得， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 22．已知关于的分式方程的解与分式方程的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：解分式方程，得． 解分式方程，得． 检验：当时，，， 是原方程的有效解． 它们的解相同， ， 解得． 当时，第一个方程为 检验：当时，， 是该方程的解，该解与第二个方程的解相同， 故符合题意． 23．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【详解】（1）解：当时，关于的方程为， 化为整式方程，得，     去括号，得， 移项，合并同类项，得． 经检验：当时，， 因此该方程的解为； （2）解：等号两边同时乘以，得：， ∴， 若该方程无解，有两种情况： ①该整式方程无解，则，解得； ②分式方程增根导致无解，则，即，解得； 综上可知，的值为或． 24．（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 25．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $