专题02分式的基本性质(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题02分式的基本性质 · 类比旧知：从分数性质迁移，说出分式基本性质的内容和符号表达式。 · 会用变形：能利用性质对分式进行等价变形，如化最高次项为正、化系数为整数。 · 注意条件：记住变形时 “分母不为零” 的限制，养成严谨习惯。 · 初步应用：能尝试简单约分，为后续运算打基础。 预习必备 知识点梳理 1.分式的基本性质 2.分式的变号法则 3.分式的约分 4.分式的通分 5.常见易错点(必看) 常考题型 精讲精炼 1.判断分式变形正误 2.求分式变形成立的条件 3.用分式性质判断值的变化 4.化分子分母最高次项为正数 5.化分子分母系数为整数 6.分式的约分 7.最简分式定义 8.最简公分母确定 9.分式通分 强化通关 (解答题5题) 【知识点01.分式的基本性质】 1. 文字表述 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2. 符号表示 设 C 是不等于 0的整式， 则： , 关键：C0 【知识点02.分式的变号法则】 ​总结成一句话： 分子、分母、分式本身，三个符号中，同时改变任意两个，分式的值不变。 常用简化：​ 【知识点03.分式的约分】 1. 约分定义 把分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。依据：分式的基本性质。 2. 约分步骤 (1)把分子、分母分别因式分解 (2)找出最大公因式 (3)分子、分母同除以最大公因式 (4)得到最简分式（分子分母没有公因式） 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式。任何分式计算，最后结果必须化为最简分式。 【知识点04.分式的通分】 1. 通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。依据：分式的基本性质。 2. 最简公分母 取各分母所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。 3. 通分步骤 (1)把每个分母因式分解 (2)确定最简公分母 (3)每个分式的分子、分母同乘适当整式，使分母变成最简公分母 【知识点05.常见易错点(必看)】 1.乘或除以的整式不能为 0用性质时，必须保证 C0。 2.约分只能约 “公因式”，不能约单独项 3.分数线有括号作用分子是多项式时，变号 / 乘除要整体变号。 4.分式值为 0，必须同时满足分子 = 0 且分母≠0只让分子 = 0，很容易错。 一句话总结本课 分式的基本性质就是：分子分母同乘 / 除同一个非零整式，值不变；用它来做约分、通分、变号。 【题型1.判断分式变形正误】 【典例】在括号里填入适当的整式为 ： 【答案】 【分析】观察分母的变化，将分子分母同乘a即可． 【详解】根据分式的基本性质，则分式的分子乘a变为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，观察分子分母的变化是解题的关键． 【跟踪专练1】下列等式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变，需要逐一分析每个选项，判断变形是否符合这一性质． 【详解】解：A、反例：当，时，左边，右边，，不符合题意； B、分子分母同时除以，符合分式的基本性质，变形正确，符合题意； C、分子是，仅将除以，而未做同样运算，不符合分式的基本性质，不符合题意； D、反例：当，时，左边​，右边，，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是牢记“分子分母需同时乘（或除以）同一个不为的整式”，不能只对部分项进行运算． 【跟踪专练2】在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质及符号变化规则，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质及符号变化规则逐项判断即可． 【详解】解：A．左边（分子负负得正），右边，显然不等，故A错误． B．左边（分子整体取反），右边，分子符号不同，故B错误． C．左边，与右边完全相同，故C正确． D．左边，右边，左边为负，右边为正，故D错误． 故选C． 【题型2.求分式变形成立的条件】 【典例】当，满足 时，． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：当，满足时，． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【跟踪专练1】将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【跟踪专练2】将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 【跟踪专练3】利用分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【题型3.用分式性质判断值的变化】 【典例】利用分式的基本性质填空： （1），（）； （2）； （　　）中为（1） ，（2） ． 【答案】 【分析】（1）首先利用分式的基本性质将分母由化为，可以看出是乘以得到的；接下来根据分式的基本性质，给分式的分子也乘以即可得到答案； （2）先根据平方差公式对分母因式分解为，再约分即可得到答案． 【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘以得： ， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质和平方差公式，解答题目的关键是理解分式的基本性质； 【跟踪专练1】将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2025倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2025倍 B．缩小为原来的25 C．保持不变 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，将分式中的变量同时扩大相同倍数后，观察分子和分母的变化情况，判断分式的值是否改变． 【详解】解：当和的值同时扩大为原来的2025倍时，新的分子为，分母为． 此时分式变为：，结果与原分式相同，因此分式的值保持不变． 故选：C 【跟踪专练2】填空： （1），①，②分别填入 ， ； （2），①，②分别填入 ， ； （3），①，②分别填入 ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 对于（1），分子和分母先乘以，再乘以，可得答案； 对于（2），分子和分母都除以2，再都乘以，可得答案； 对于（3），分子和分母都乘以，再都乘以，可得答案. 【详解】解：（1），所以分别填入； （2），所以分别填入； （3），所以分别填入. 故答案为：；；. 【跟踪专练3】下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 【题型4.化分子分母最高次项为正数】 【典例】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号： ． 【答案】 【分析】根据分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式中的符号法则． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 解答题 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【跟踪专练3】（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 【题型5.化分子分母系数为整数】 【典例】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． 【跟踪专练1】将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 【跟踪专练3】有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（    ） A．①④ B．①③④ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】利用平行公理对①判断；根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可对②判断；利用平方差公式的特点对③分析；④通过0指数、底数为1，底数为-1对代数式进行分类讨论得结果． 【详解】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确； ②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为，故本选项不正确； ③当k为负值时，多项式x2-ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确； ④当2t=0即t=0时，（t-2）2t=（-2）0=1， 当t-2=1即t=3时，（t-2）2t=16=1， 当t-2=-1即t=1时，（t-2）2t=（-1）2=1， t可以取的值有3个，故本选项正确； 综上正确的说法是①④． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行公理、分式的基本性质、因式分解、零指数幂等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键． 【题型6.分式的约分】 【典例】约分： ； 【答案】 【分析】本题考查分式化简，涉及约分等知识，直接约分即可得到答案．熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的约分化简，将分子分解因式，约去相同因式即可化简，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练2】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 【跟踪专练3】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．6 B．13 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式的值，先解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，求得a的取值范围；再化简分式，结合a的取值找出满足条件的所有整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为： ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴不等式组的整数解为：2，3，4， ∴， ∴， 又， ∵分式的值是一个整数，即的值是一个整数， ∴或7， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：B． 【题型7.最简分式定义】 【典例】约分： ． 【答案】 【分析】直接利用分式的基本性质约分得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键． 【跟踪专练1】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】A. ，该分式不是最简分式，不符合题意； B. ，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，该分式是最简分式，符合题意； D. ，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 【跟踪专练3】分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵，∴不是最简分式； ∵，∴是最简分式； ∵，∴不是最简分式； ∵，∴不是最简分式． ∴最简分式有1个． 故选：Ａ． 【题型8.最简公分母确定】 【典例】．分式、的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了最简公分母．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 分式和的最简公分母是， 故答案为：． 【跟踪专练1】分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的最简公分母，因式分解，掌握分式的最简公分母的定义，因式分解方法是解题关键． 先将分式分母因式分解，然后根据最简公分母的确定方法解答即可． 【详解】解：先将分式分母因式分解， ∴分式的最简公分母是． 故选：D． 【跟踪专练2】分式，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【跟踪专练3】的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 【题型9.分式通分】 【典例】，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，，的分母分别是xy、5x3、6xyz，故最简公分母是 故答案为． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【跟踪专练1】已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简分式B，再与A比较，得出A与B的关系即可． 【详解】解：， 已知：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的通分，掌握分解因式和通分方法是解题关键． 【跟踪专练2】分式与的最简公分母是 ，通分后的结果是 、 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的通分，分式的最简公分母是通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答． 【详解】分式与的最简公分母是， ， 故答案为：；；． 【跟踪专练3】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 1．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 2．求出下列各组分式的最简公分母． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是本题的关键． 根据确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母分别找出最简公分母． （1）分母和，系数和的最小公倍数，的最高次，的最高次，所以最简公分母是； （2）分母，，，系数、3、4的最小公倍数是12，的最高次3，的最高次1，的最高次2，所以最简公分母； （3）分母、、，统一为的幂，取最高次幂，所以最简公分母是； （4）分解后的分母是，，和，因此，它们的最简公分母是． 【详解】（1）解：和的最简公分母是； （2）解：的最简公分母是； （3）解：的最简公分母是； （4）解：的最简公分母是． 3．甲、乙两位同学各给出一个算式： 甲：；乙：． (1)______同学给出的算式是正确的； (2)对于不正确的算式，请你给出正确的计算过程，并直接写出结果为的条件． 【答案】(1)甲 (2)；结果为的条件为且 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值为的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）分别利用分式的基本性质化简，即可判定； （2）由（1）可得正确过程，利用当结果为时，分子为，且分式有意义，即可求解． 【详解】（1）解：甲：，正确； 乙：，故乙错误； 故答案为：甲； （2）解：乙：， 由当结果为时，分子为，且分式有意义， 则且， 则且． 4．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】(1) (2)①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 5．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02分式的基本性质 1 预习目标 ·类比旧知：从分数性质迁移，说出分式基本性质的内容和符号表达式。 ·会用变形：能利用性质对分式进行等价变形，如化最高次项为正、化系数为 整数。 ·注意条件：记住变形时“分母不为零”的限制，养成严谨习惯。 。初步应用：能尝试简单约分，为后续运算打基础。 2 预习内容概览 1.分式的基本性质 2.分式的变号法则 预习必备 3.分式的约分 4.分式的通分 知识点梳理 5.常见易错点（必看） 1.判断分式变形正误 2.求分式变形成立的条件 3.用分式性质判断值的变化 4.化分子分母最高次项为正数 常考题型 5.化分子分母系数为整数 6.分式的约分 精讲精炼 7.最简分式定义 8.最简公分母确定 9.分式通分 强化通关 (解答题5题) 3 知识点梳理 【知识点01.分式的基本性质】 1.文字表述 2.符号表示 设C是不等于0的整式， 试卷第1页，共3页 则：鲁=能，鲁= 关键：C+0 【知识点02.分式的变号法则】 鲁==一=一总结成一句话： 分子、分母、分式本身，三个符号中，同时改变任意两个，分式的值不变。 常用简化：合=号=一会 【知识点03.分式的约分】 1.约分定义 把分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。依据：分式的基本性质。 2.约分步骤 (1)把分子、分母分别因式分解 (2)找出最大公因式 (3)分子、分母同除以最大公因式 (4)得到最简分式（分子分母没有公因式） 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式。任何分式计算，最后结果必须化为 最简分式 【知识点04.分式的通分】 1.通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。依据：分式的基本性质。 2.最简公分母 取各分母所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。 3.通分步骤 (1)把每个分母因式分解 (2)确定最简公分母 (3)每个分式的分子、分母同乘适当整式，使分母变成最简公分母 【知识点05.常见易错点（必看）】 试卷第1页，共3页 1.乘或除以的整式不能为0用性质时，必须保证C≠0。 3.分数线有括号作用分子是多项式时，变号/乘除要整体变号。 4.分式值为0，必须同时满足分子=0且分母≠0只让分子=0，很容易错。 句话总结本课 分式的基本性质就是：分子分母同乘/除同一个非零整式，值不变；，用它来做 约分、通分、变号。 常考题型精讲精练 【题型1.判断分式变形正误】 【典例】在括号里填入适当的整式为： a+b_（) ab a'b 【跟踪专练1】下列等式从左到右变形一定正确的是() B. 3x_x 3y y C.3x+y_x'+y D.x+2x 6x2 2x2 y+2 y 【跟踪专练2】在括号里填上适当的整式： 3c 15ac (1)2ab (2) 3xy（） x2-2xx-2 (3) 3ab 6a'b a+b(） 【跟踪专练3】下列各式中，正确的是() A.=x B.-x+y=-x+y y-y a a C._X-Y_y-x D. -=-r a y-x x-v 【题型2.求分式变形成立的条件】 【典例】当a,b满足 _aab-a2 时，-55a-b) 【跟踪专练1】将分式 x-y 中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值() x+y 试卷第1页，共3页 A.扩大2倍 B.缩小到原来的) C.保持不变 D.无法确定 【跟紧专练2】将，-05+001x=1的分母化为整数，得( 0.20.03 x0.5+0.01x=1 A. B.5x-50+x=100 23 3 C. x0.5+0.01x=100 D.5x 50+x=1 20 3 3 【跟踪专练3】利用分式的基本性质填空： a+2x-2 a2-4(m画 【题型3.用分式性质判断值的变化】 【典例】利用分式的基本性质填空： (1) 3a() ,(a≠0)； 5xy 10axy a+2 1 (2)a-4() ()中为(1)， (2) 【跟踪5练1】将分式2x4 中的x,y的值同时扩大为原来的2025倍，则变化后分式的 值() A.扩大为原来的2025倍 B.缩小为原来的25 C.保持不变 D.以上都不正确 【跟踪专练2】填空： (1) 2b8ab（②) ①，②分别填入 3a(①)9ab (2) (① 24x2 2x+4x+2@,①，②分别填入 1+p1-p2 @,①，②分别填入 【跟踪专练3】下列说法中，错误的是() 2 A.不论x为何值，分式x十总有意义 B.当x=2时，分式x+1的值为1 2x-1 C.若分式-2的值为零，则x=±2 x+4 试卷第1页，共3页 D.把分式少中x,y的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 x+y 【题型4.化分子分母最高次项为正数】 【典例】不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“-”号： -2y 【跟踪专练1】不改变分式2-3+上的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 -5x3+2x-3 的是() 3x2-x+2 A. 3x2+x+2 B. C. 3x2+x-2 D. 3x2-x-2 5x3+2x-3 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3 解答题 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1)7a-a2 ； 2-a 1-x2+y2 23+2x-57· 1 【跟踪专练3】(1)不改变分式的值，使分式1 一的分子与分母中各项的系数都是整 数； ②)》不成安分式的值，俊分式草二的分子与分好的最高次项的系数是正数。 3)当x满足什么条件时，分式12的值：①等于0？②小于03 【题型5.化分子分母系数为整数】 【典创1不政变分式的值，把分式”50的分子、分每各贸系数都化为整数，得 1 1 a- 【跟踪专练1】将分式？的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是（) 44+3 3a-2b A. B. 4a-3b C. 6a+3b D. 6a-4b 3a+4b 3a+4b 3a+4b 3a+4b 【跟紧专练2】不改变分式的值，把分式02的分子、分母各项系数都化为整数， 得」 【跟踪专练3】有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与己知直线 试卷第1页，共3页 平行，②泥分式0的分了和分每中的各项系数都化成整数为2a+0, 0.3a-b 3a-b；③无论k取 任何实数，多项式x2-y2总能进行因式分解；④若(t-2)2”=1,则t可以取的值有3个，其 中正确的说法是() A.①④ B.①③④ C.②③ D.①② 【题型6.分式的约分】 【典例】约分： a'bc ab 【跟踪专练1】计算mn-mn的结果正确的是() n-m A.m B.-mn C.m2-n2 D.n2-m2 【跟踪专练2】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们 称这个分式为友好分式”.例如分式2出 x2-y2 是友好分式.若a为整数，且关于x的分式 x-3 是“友好分式”，则a的值为」 x+ax+9 3x-1 <x+2 【跟踪专练3】若关于x的不等式组 2 有且仅有3个整数解，且使得分式 2(x+1)≥-x+a 4a+20 a2-25 的值是一个整数，则满足条件的所有整数a的和为() A.6 B.13 C.15 D.21 【题型7.最简分式定义】 【典例】约分： a2-4a+4 2-a 【跟踪专练1】下列分式是最简分式的是() 1-x A. B.2 D +3x2 2x-1 x2-4y2 【跟踪专练2】下列各式中，最简分式有个 22,@克：@104，⑤+10 3π 5+2a 2y+5 【跟踪专练3】分式2+女-左。=白中，最简分式有（) 4a 3(a+b)2a-bb-a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型8.最简公分母确定】 试卷第1页，共3页 【典例】.分式 品示的做简公分写关 【跟踪专练1】分式11,1的最简公分母是() m+n'm2-n2’m-n A.(m+n)(m2-n2) B.(m2-n22 C.(m+n)2(m-n)D. m2-n2 3 【跟踪专练2】分式4)，2y的最简公分母是 【跟踪专练3】1 1 +1a2-2a+11-a 的最简公分母是() A.（a+1(a-1 B.(a+1)a2-2a+1(a-l C.(a-1)a2-2a+1 D.(a+1(a-1 【题型9.分式通分】 【典1女京·6 一的最简公分母是 【跟踪专练1】已知A=6 1 x2-9 B=1 一，其中x≠±3，则A与B的关系是() x+3'3- A.A=B B.A=-B C.A>B D.A<B 【跟除专练2】分式名与尝的最简公分母是 ,通分后的结果 3a 冷 、 2 【跟踪专练3】把分式2，x-2+和+1产泗分，下列结论错误的是（）了 A.最简公分母是(x-2)(x+1) B.1=(x+12 x-2(x-2(x+12 x+1 2 2x-2 C. (x-2)(x+1）(x-2(x+1 D. （x+1)2（(x-2(x+1)2 05 强化巩固 1.(1)有两块棉田，第一块xhm2,收棉花mkg;第二块hm2,收棉花nkg,这两块棉田 平均每公顷的棉产量是多少？ (2)一件商品售价x元，利润率为a%(a>0),则这种商品每件的成本是多少元？ 2.求出下列各组分式的最简公分母。 试卷第1页，共3页 11 050'2ry 145 (2)2ry'3x2'4z y 3③-a'a-0'0-a1 a (42a+0'a2+a'a2+1 3.甲、乙两位同学各给出一个算式： 甲： 1-a1 x-x2 a2-2a+11a乙： （x-y)2x-y (1)】 同学给出的算式是正确的： (②)对于不正确的算式，请你给出正确的计算过程，并直接写出结果为0的条件。 4.定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这 个分式的巧整式.例如：4r-8_4红x2=4r,则称分式-8x是巧分式，4红为 x-2x-2 x-2 它的“巧整式” (1)若分式-4x+m （m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x-7,求m的值. x+3 ②若分式-2r+2x的巧整式为1-x A ①整式A=一： ②判断2x+4r+2x是否是巧分式. 5.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分 式为“和谐分式”.如： x+1_x-1+2_-l+2=1+2 x-1x-1x-1"x-1 x-1 a2-2a+3_(a-1)2+ 2=a-1+2 a-1 a-1 -1 则+↓和心-2+3都是“和谐分式. x-1 a-1 (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)； *1:@+1 ①中，②2生，® ②)将“和谐分式=4x+7化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： x-2 试卷第1页，共3页 x2-4x+7 x-2 (3)应用：己知方程组 x+y=11 有正整数解，求整数m的值 x+3m=2y 试卷第1页，共3页