第二章 导数及其应用（复习课件）数学北师大版选择性必修第二册

单元复习课件 第二章 导数及其应用 北师大版选择性必修第二册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统掌握导数的定义、几何意义及基本求导公式，能准确求解简单函数的导数，清晰区分导数与函数单调性、极值、最值的内在逻辑，构建完整的导数知识体系. 3.突破导数综合应用中的难点，具体包括含参函数极值点的讨论、导数与不等式证明的结合、导数在实际问题中最优解的建模与求解，同时掌握分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法，提升复杂问题的拆解与推理能力. 2.熟练运用导数解决函数单调性判断、极值与最值求解问题，能结合导数分析函数图像的变化趋势，并灵活处理与函数性质相关的实际应用问题，提升利用导数分析和解决数学问题的核心能力. 单元学习目标 单元知识图谱 导数及其应用 变化快慢与变化率 平均变化率 瞬时变化率 导数的概念及其几何意义 函数f(x)在某点处的瞬时变化率 函数f(x)在某点处的切线的斜率 导数的计算 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则 简单复合函数的求导法则 导数应用 导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值(最值) 导数在解决实际问题中的应用 认识实际问题中导数的意义 利用导数解决最值问题 一、平均变化率和瞬时变化率 1.对一般的函数说，当自变量变为时，函数值从变为它在区间的 平均变化率 通常我们把自变量的变化称作自变量的改变量,记作,函数值的变化称作函数值的改变量，记作.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 1.1 平均变化率 2.既可以大于0，也可以小于0. 考点串讲 一、平均变化率和瞬时变化率 1.对于一般的函数，在自变量从变到的过程中，若设,,则该函数的平均变化率为 . 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 1.2 瞬时变化率 2.平均变化率反映某一区间上变化的快慢， 瞬时变化率反映某一点处的变化快慢. 考点串讲 二、导数的概念及其几何意义 1.在数学中，称瞬时变化率为函数在点处的导数，通常用符号 表示，记作 2.1 导数的概念 2.(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关. (3)导数的实质是一个极限值． 考点串讲 二、导数的概念及其几何意义 1.函数在处的导数，是曲线在点处的切线的斜率.函数在处切线的斜率反映了导数的几何意义． 2.2 导数的几何意义 2.求曲线过点的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标； 第二步，写出过的切线方程为； 第三步，将点的坐标代入切线方程，求出； 第四步，将的值代入方程可得过点的切线方程． 考点串讲 三、导数的计算 1.计算函数 在 处的导数的步骤如下： (1) 通过自变量在 处的改变量 ，确定函数值在 处的改变量. (2) 确定函数 从 到 处的平均变化率 (3) 当 趋于 0 时，得到函数. 2.一般地，如果一个函数 在区间的每一点处都有导那么 是关于的函数，称 为 的导函数，也简称为导数，有时也将导数记为. 考点串讲 三、导数的计算 3.导数公式表 函数 导数 函数 导数 (为常数) ＝0 ＝ 是实数) ＝ ＝ ＝, 特别地= ＝ ＝, 特别地 考点串讲 四、导数的四则运算法则 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即 一般地，若两个函数的导数分别是,则 4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则 考点串讲 五、简单复合函数的求导法则 1.一般地，对于两个函数 和 如果给定 x 一个值，就得到了 的值，进而确定了 的值，那么 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作其中 u 为中间变量. 2.复合函数对 x 的导数为 3.分清楚复合函数的复合关系，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量.分布计算中的每一步，都要明确是对哪个变量求导，而其中特别注意变量的系数. 考点串讲 六、用导数研究函数的性质 1.导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在每个区间上，函数的导数，则在这个区间上，函数单调递增； (2)若在每个区间上，函数的导数，则在这个区间上，函数单调递减. 2.若在某个区间，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数单调递增；若在某个区间，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数单调递减. 6.1 函数的单调性 考点串讲 六、用导数研究函数的性质 1.在包含的一个区间上，函数在任何不为的一点处的函数值都小于处的函数值，称点为函数的极大值点，其函数值为函数的极大值. 6.2 函数的极值 2.在包含的一个区间上，函数在任何不为的一点处的函数值都大于处的函数值，称点为函数的极小值点，其函数值为函数的极小值. 3.极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. 考点串讲 六、用导数研究函数的性质 4.极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值,但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值. 5.函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数在某一点处的导数值为是函数在这点取极值的必要条件．可导函数在处取极大(小)值的充分条件是：①；②在附近的左侧，右侧． 6.利用导数求极值的方法：解方程，当时，如果在附近的左侧，右侧, 那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 考点串讲 六、用导数研究函数的性质 1.函数在区间内的最大值点指的是:函数在这个区间内所有点处的函数值都不超过 6.3 函数的最值 2.最大值或者在极大值点（也是导数的零点）取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较，其中最大的值即为函数的最大值. 3.一般地，如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 考点串讲 七、导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 自变量 原函数 导函数 时间 路程 速度 长度 质量 线密度 时间 功 功率 时间 降雨量 降雨强度 产量 生产成本 边际成本 考点串讲 七、导数的应用 7.2 实际问题中的最值问题 最优化问题的求解步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系. (2)求导函数，解方程. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (4)依据实际问题的意义给出答案. 考点串讲 【题型一】导数的概念 【例1】设函数在处可导，且满足，则(　　). 解 题型剖析 【题型一】导数的概念 【例2】设函数在附近有定义，且，为常数，则（ ） A．0 B． C． D． 解在中，用代替知. 故： 故选. 题型剖析 【题型一】导数的概念 导数定义的探究 (1)判断一个函数在某点是否可导就是判断当时该函数的平均变化率的极限是否存在. (2)在导数定义中，在处的变化量是相对的，可以是，也可以是，等，做题时要将分子分母中变化量统一为一种． (3)利用导数定义求函数的导数时，先算函数值的变化量，再算比值，再求极限 . 题型剖析 【题型二】导数的运算 【例3】下列求导运算正确的是（ ） 解:选项， 选项， 选项， 选项， 题型剖析 【题型二】导数的运算 【例4】已知函数的导函数为，且满足关系式，则 解: . 令，得，则. 题型剖析 【题型二】导数的运算 导数的计算方法 (1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 题型剖析 【题型三】导数的几何意义 【例5】已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为 解:由题，，切点坐标为，切线的斜率为，故切线方程为，即.由点到直线的距离公式得点到直线的距离 故选. 题型剖析 【题型三】导数的几何意义 【例6】(2016·课标全国Ⅲ)已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________________． 解:若，则，因此.由为偶函数可得，因此当时，，，可得，则曲线在点处的切线方程为，即. 题型剖析 【题型三】导数的几何意义 求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点处的切线方程和求曲线过点的切线方程，在点处的切线，一定是以点为切点；过点的切线，不确定点在不在曲线上，点不一定是切点． (2)求曲线过点的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标； 第二步，写出过的切线方程为； 第三步，将点的坐标代入切线方程，求出； 第四步，将的值代入方程可得过点的切线方程． 题型剖析 【题型四】导数与函数的单调性 【例7】(2025·陕西榆林一模)已知函数在上单调递增，则的取值范围是(　　) 解:当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以.由题可知但不恒为在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，所以在上单调递增．由在上恒成立，可得，即，所以，所以.当时，，不符合题意，故的取值范围是．故选. 题型剖析 【题型四】导数与函数的单调性 【例8】(2025·河北邢台市期末)已知函数．若，，，则的大小关系是(　　) 解:由题意，得．因为，所以恒成立，所以函数是增函数．因为，所以.又，即，所以，所以，即. 题型剖析 【题型四】导数与函数的单调性 1.根据函数单调性求参数取值范围的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理，函数在上单调，则区间是相应单调区间的子集． (2)函数在上单调递增的充要条件是对任意的都有且在的任一子区间上，不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 2.利用导数比较大小或解不等式 其关键是构造函数，把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性，再根据单调性比较大小和解不等式问题．比较大小时，还要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较. 题型剖析 【题型五】导数与函数极值、最值 【例9】如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是 在上单调递增 ．当时，取得最小值 当时，取得极大值 ．在上单调递增，在上单调递减 题型剖析 【题型五】导数与函数极值、最值 解:根据题图知，当，时，，函数单调递减； 当，时，，函数单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故不正确，正确； 故当时，取得极小值，不正确； 当时，不是最小值，不正确． 题型剖析 【题型五】导数与函数极值、最值 【例10】已知函数． (1)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (2)若函数在处取到极值，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 解：(1)由题意知的定义域为，，当时，在上恒成立，函数在上单调递减，在上没有极值点；当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增，即在处有极小值．综上所述，当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点． 题型剖析 【题型五】导数与函数极值、最值 (2)由(1)知，，，， 令，则， 令，得，则在上单调递减，在上单调递增， ，即， 即实数的取值范围为. 题型剖析 【题型五】导数与函数极值、最值 1.函数的最值是“整体”概念，而函数的极值是“局部”概念． 2.对于可导函数，是在处取得极值的必要不充分条件，因为求函数的极值，还需判断两侧的的符号是否相反． 3.求的最值应注意是在闭区间上研究，还是在开区间上研究，闭区间上的最值问题只需比较端点函数值与极值即可，开区间上的最值 问题，要注意的有界性. 题型剖析 【题型六】导数的实际应用 【例11】(2025·江苏苏州模拟预测)生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．现已知定义在R上的函数 ，记的导数为，且． (1)求； (2)若是曲线的渐近线，则称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为.通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量即瞬时变化率最大． 题型剖析 【题型六】导数的实际应用 解：(1)因为，所以， 而，因为， 所以， 即，由，，得，解得. (2)由(1)知，要使函数瞬时变化率最大，即求的最大值，令 令，则，解得(舍)或，即. 题型剖析 【题型六】导数的实际应用 当变化时，，的变化情况如表： 因此可得是的极大值点，因此当时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，且而， 因此可知当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量． x (－∞，0) (0，＋∞) g′(x) ＋ － g(x) 单调递增 单调递减 题型剖析 【练1】已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是 解：当时，，因为，，所以当时，但不恒为恒成立，所以在上单调递增，又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，，所以由可得，解得 针对训练 【练2】设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意，恒成立，则下列选项正确的是 解：因为对任意，，恒成立，所以在上单调递增，且在R上单调递减，即增长得越来越慢，即函数的图象是上升且上凸的.画出的大致图象如图，所以，设 ，连接，则，由图可知，即． 针对训练 【练3】(2022·全国乙卷，文)函数在区间的最小值、最大值分别为(　 ) 解：，，则，． 令，解得(舍去)，或.因为，，又，，所以故选. 针对训练 【练4】已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列四个函数中有“巧值点”的是 解：，，，解得或，故有“巧值点”，故正确； ，，无解，故无“巧值点”，故错误； ，，，令，则，，由函数零点存在定理可知在上必有零点，故有“巧值点”，故C正确； ，，，，即，无解，所以无“巧值点”，故错误．故选. 针对训练 【练5】若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在D上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是 解：对于，， 当时，，故为凸函数； 针对训练 对于，，，，当时， ，故为凸函数； 对于，，，当时，，故为凸函数； 对于，，，， 当时，，故不是凸函数． 针对训练 【练6】我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形的面积无限逼近圆面积求出了圆周率精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统数学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线．设，则曲线在点处的切线方程为________，用此结论计算 ． 解：函数，则，，，切线方程为，根据“以直代曲”，非常接近，可以将代入在处的切线方程近似代替 ，即. 针对训练 【练7】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：. 解：(1)． 当时，，在上单调递增． 当时，若，则，函数在上单调递增； 若，则，函数在上单调递减． 针对训练 (2)证明：由(1)知，当时，. 要证，只需证，即证. 令函数，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 所以恒成立，所以. 针对训练 一、平均变化率和瞬时变化率 1、函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 2、如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在的瞬时变化率. 3、平均变化率反映某一区间上变化的快慢， 瞬时变化率反映某一点处的变化快慢. 课堂总结 二、导数的概念及其几何意义 1、在数学中，称瞬时变化率为函数在点处的导数，通常用符号 表示，记作 2、函数在处的导数，是曲线在点处的切线的斜率.函数在处切线的斜率反映了导数的几何意义． 3.在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上；过点的切线即切线过点，不一定是切点．因此在求过点的切线方程时，应首先检验点是否在已知曲线上． 课堂总结 三、导数的计算 1.计算函数 在 处的导数的步骤如下： (1) 通过自变量在 处的改变量 ，确定函数值在 处的改变量. (2) 确定函数 从 到 处的平均变化率 (3) 当 趋于 0 时，得到函数. 2.一般地，如果一个函数 在区间的每一点处都有导那么 是关于的函数，称 为 的导函数，也简称为导数，有时也将导数记为. 课堂总结 四、导数的四则运算 导数的计算方法 (1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 课堂总结 五、用导数研究函数的性质 1．在某个区间上，若，则在这个区间上单调递增；若，则在这个区间上单调递减；若恒成立，则在这个区间上为常数函数；若的符号不确定，则不是单调函数． 2．函数的最值是“整体”概念，而函数的极值是“局部”概念． 3．对于可导函数，是在处取得极值的必要不充分条件，因为求函数的极值，还需判断两侧的的符号是否相反． 4．求的最值应注意是在闭区间上研究，还是在开区间上研究，闭区间上的最值问题只需比较端点函数值与极值即可，开区间上的最值问题，要注意的有界性. 课堂总结 感谢聆听! $