7.3.3 余弦函数的性质与图像-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．3.3　余弦函数的性质与图像 课程标准 素养解读 1.能正确使用“五点法”、图像变换法等画出余弦函数的简图 2．能类比正弦函数的图像与性质得出余弦函数的图像与性质 能通过用不同的方法得到余弦函数的图像与性质，提升逻辑推理和直观想象素养 对应学生用书P40 [情境引入] 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个过山车的基本构造包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径． [问题1]　函数y＝cos x的图像也象过山车一样“爬升”、“滑落”，这是它的什么性质？ 提示　单调性． [问题2]　过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ 提示　最值，波峰，波谷． [知识梳理] [知识点一]　余弦函数　 对于任意一个角x，都有　唯一　确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为　余弦函数　. [知识点二]　余弦函数的图像与性质　 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 函数 y＝sin x y＝cos x 图像 定义域 　R　 　R　 值域 　[－1,1]　 　[－1,1]　 奇偶性 　奇函数　 　偶函数　 周期性 最小正周期：　2π　 最小正周期：　2π　 最值 当　x＝＋2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1；当　x＝－＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 当　x＝2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； 当　x＝π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 单调性 在　，(k∈Z)　上单调递增； 在　，(k∈Z)　上单调递减 在　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　上单调递增；在　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 上单调递减　 零点 kπ，k∈Z ＋kπ，k∈Z 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称 中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0)(k∈Z) 1.y＝cos x(x∈R)的图像可由y＝sin x(x∈R)的图像平移得到的原因是什么？ 提示：因为cos x＝sin(x＋)，所以y＝sin x(x∈R)的图像向左平移个单位长度可得y＝cos x(x∈R)的图像． 2．余弦函数在[－π，π]上，函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：观察图像可知： 当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1. 3．利用平移法作余弦函数图像的依据是什么？为什么不能利用sin＝cos x来确定平移的方向和单位长度？ 提示：平移法作余弦函数图像主要依据诱导公式6：sin(x＋)＝cos x．显然在诱导公式5：sin(－x)＝cos x中，两个函数的解析式中自变量的系数符号相反，所以不能利用该公式确定平移方向和单位长度． [预习自测] 1．函数f(x)＝cos 4x，x∈R是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 答案：C 2．y＝sin 是　________　函数(填“奇”或“偶”)． 答案：偶 3．函数y＝－cos x的单调递减区间是　________　；单调递增区间是　________　. 答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 对应学生用书P41 余弦函数图像的作法 [例1]　作出函数y＝3＋2cos x在闭区间[0,2π]上的图像，并求函数y＝3＋2cos x在R上的值域． [思路点拨]　利用五点法或平移法作图． [解]　法一　列表、描点、连线得函数y＝3＋2cos x在闭区间[0,2π]上的图像，如图中实线所示． 根据图像可知，函数y＝3＋2cos x在[0,2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1,5]. x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 法二　先利用五点法作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，如图中虚线所示，然后将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得图像向上平移3个单位长度就得到函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的图像，如图中实线所示． 根据图像可知，函数y＝3＋2cos x在[0,2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1,5]． 1．作余弦(型)函数图像的方法 (1)五点作图法；(2)图像变换法；(3)平移坐标轴． 2．用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图像时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 3．作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图像的三个步骤 [变式训练] 1．画出函数y＝cos，x∈[0，π]的图像． 解：①列表： x 0 π 2x－ － 0 π cos 1 0 －1 0 ②描点画图，如图． 余弦曲线的对称性 [例2]　已知函数y＝2cos. (1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； (2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值． [思路点拨]　把2x＋看作一个整体，代入基本余弦函数的性质求解． [解]　(1)令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z. 令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝. ∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝. (2)设该函数的图像向右平移φ个单位后对应的解析式为y＝f(x)， 则f(x)＝2cos ＝2cos. ∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称， ∴f(0)＝2cos＝0. ∴－2φ＝kπ＋，k∈Z. 解得φ＝－. 令k＝0，得φ＝.∴φ的最小正值是. 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 (1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A. (2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0. [变式训练] 2．已知函数f(x)＝2cos，φ∈(0，π)且f(x)的图像关于x＝对称． (1)求φ. (2)试说明f(x)的图像是由y＝cos x的图像经过怎样的变换而得到的． 解：(1)令3x－＋φ＝kπ，k∈Z， 将x＝代入得－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z. 又φ∈(0，π)，∴φ＝，∴f(x)＝2cos. (2)将y＝cos x的图像向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩短倍，最后再横坐标不变，纵坐标伸长2倍，即得f(x)＝2cos的图像． 余弦函数的单调性 [例3]　求函数y＝3cos的单调递增区间． [思路点拨]　令u＝－，代入y＝cos u的单调区间． [解]　y＝3cos＝3cos.由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)， 解得4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)， ∴函数y＝3cos的单调递增区间为 (k∈Z)． 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域． [变式训练] 3．求函数y＝sin(x＋)，x∈R的单调区间． 解析：设z＝x＋，则y＝sin z. 当z∈(2kπ－，2kπ＋)，(k∈Z)时，y＝sin z为增函数． ∴2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－π≤x≤4kπ＋，k∈Z. 当z∈(2kπ＋，2kπ＋π)时，y＝sin z为减函数． ∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋π 得4kπ＋≤x≤4kπ＋π，k∈Z. 故y＝sin(x＋)的增区间为 (4kπ－π，4kπ＋)，k∈Z， 减区间为(4kπ＋，4kπ＋π)，k∈Z. 　　 余弦函数的值域(最值) [例4]　求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域． [思路点拨]　y＝f(x)可看作关于cos x的二次函数． [解]　y＝3cos2x－4cos x＋1＝ 32－. ∵x∈，∴cos x∈. 从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝； 当cos x＝，即x＝，ymin＝－. ∴函数值域为. 求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图像求最值． (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值． [变式训练] 4．已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值． 解：∵x∈，∴2x＋∈， ∴－1≤cos≤. 当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3， ∴a＋3＝4，∴a＝2. 当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3， ∴－a＋3＝4，∴a＝－1， 综上可知，实数a的值为2或－1. 对应学生用书P43 1．函数f(x)＝sin图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝－　　　　　　 B．x＝ C．x＝ D．x＝π 解析：B　[对于函数f(x)＝sin，令x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kx＋，k∈Z，令k＝0，则x＝，可得函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴方程为x＝.] 2．下列函数中，在上为减函数的是(　　) A．y＝cos　　　 B．y＝cos C．y＝cos D．y＝cos 解析：D　[当x∈时，x＋∈， ∵y＝cos x在[0，π]上递减． 所以y＝cos在上递减．] 3．设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 解析：A　[b＝sin＝sin＝sin＝sin＝cos，c＝cos＝cos，因为>>，且y＝cos x在上是单调递减函数，所以a>c>b.] 4．函数y＝2cos的值域为　______　. 解析：∵x∈， ∴2x＋∈， ∴cos∈， ∴该函数的值域为[－1,2]． 答案：[－1,2] 5．已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)，φ∈，且f(x)的图像关于x＝对称． (1)求f(x)； (2)若x∈[0，π]，求f(x)的减区间； (3)画出f(x)在一个周期上的简图． 解：(1)令2x＋φ＝kπ，k∈Z， 将x＝代入得2×＋φ＝kπ，φ＝－＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈， ∴φ＝， ∴f(x)＝2cos. (2)令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又0≤x≤π， ∴0≤x≤或≤x≤π， ∴当x∈[0，π]时，f(x)的减区间为 ，. (3)列表， 2x＋ 0 π 2π x － f(x) 2 0 －2 0 2 作图，如图所示． 对应学生课时P25 1．函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　) A.　　　　　　　 B．π C．2π D．4π 解析：B　[最小正周期为T＝＝＝π.故选B.] 2．要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：A　[∵y＝cos＝ sin＝sin＝sin 2， ∴将y＝sin 2x的图像向左平移个单位，得到y＝cos的图像．] 3．函数y＝cos的单调递减区间为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：A　[y＝cos＝cos，要求函数的减区间，则2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， ∴2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z， ∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数y＝cos的单调递减区间是，k∈Z.] 4．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：A　[由题设知直线x＝，点分别为函数f(x)图像的对称轴与对称中心，故＋φ＝k1π(k1∈Z)，＋φ＝k2π＋(k2∈Z)，于是＝(k2－k1)π＋，ω＝4(k2－k1)＋2，故ω的最小值可以是2.] 5．函数y＝sin的图像与函数y＝cos的图像(　　) A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 解析：A　[由2x－＝k1π＋，k1∈Z，可得函数y＝sin的图像的对称轴为直线x＝＋，k1∈Z. 由x－＝k2π，k2∈Z，可得函数y＝cos的图像的对称轴为直线x＝k2π＋，k2∈Z. 当k1＝k2＝0时，二者有相同的对称轴． 由2x－＝k3π，k3∈Z，可得函数y＝sin的图像的对称中心为点，k3∈Z. 由x－＝k4π＋，k4∈Z，可得函数y＝cos的图像的对称中心为点，k4∈Z. 设＋＝k4π＋，k3，k4∈Z，解得k3＝2k4＋，与k3，k4∈Z矛盾． 故两个函数的图像没有相同的对称中心，故选A.] 6．(多选题)已知函数f(x)＝sin，x∈R，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)在上是增函数 D．函数f(x)的图像关于点对称 解析：ABD　[f(x)＝sin＝－sin＝cos 2x，函数f(x)的最小正周期是π，选项A正确；利用偶函数的定义或函数f(x)图像的对称性，可知f(x)是偶函数，选项B正确；当2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤＋kπ时，f(x)单调递减，令k＝0，得f(x)在上是减函数，故C错误；由2x＝kπ＋，k∈Z，可得x＝＋，k∈Z，令k＝0，可得x＝，故f(x)的图像关于点对称，选项D正确．] 7．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g＝　________　. 解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝对称，f(x)＝3sin(ωx＋φ)图像的对称轴过函数g(x)＝3cos(ωx＋φ)图像的对称中心，∴g＝1. 答案：1 8．方程x2＝cos x的实数解有　________　个． 解析：作函数y＝cos x与y＝x2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解． 答案：2 9．(多空题)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，则φ＝　________　，ω＝　________　. 解析：由于f(x)为偶函数，故φ＝，所以f(x)＝sin＝cos ωx，且f＝cosω＝0，故ω＝kπ＋(k∈Z)，ω＝k＋(k∈Z)．由于f(x)在上是单调函数，故≥，T≥π，即≥π，ω≤2，即0＜ω＝k＋≤2，解得－＜k≤1，由于k为整数，故k＝0或k＝1，即ω＝或2. 答案：　2或 10．求函数y＝3cos的单调递增区间． 解：y＝3cos＝3cos. 由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)， 解得4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k∈Z)， ∴函数y＝3cos的单调递增区间为(k∈Z)． 11．已知函数y＝2cos. (1)在该函数的对称轴中，求与y轴距离最近的对称轴的方程； (2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值． 解：(1)令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z. 令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝. ∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一对称轴的方程是x＝. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，则f(x)＝2cos＝2cos. ∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，∴f(0)＝2cos＝0. ∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.解得φ＝－. 令k＝0，得φ＝.∴φ的最小正值是. 12．比较下列各组数的大小： (1)cos与cos；(2)cos与cos； 解：(1)cos＝cos，cos＝cos， 因为0＜＜＜π，而y＝cos x在(0，π)上单调递减， 所以cos＞cos，即cos＞cos. (2)cos＝cos＝cos＝－cos， 而cos＝－cos， ∵0＜＜＜，y＝cos x在上是减函数， ∴cos＞cos. 即－cos＜－cos，∴cos＜cos. 13．已知函数f(x)＝lg cos 2x. (1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性； (3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性． 解：(1)要使函数f(x)＝lg cos 2x有意义， 则cos 2x＞0，即－＋2kπ＜2x＜＋2kπ，k∈Z， －＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， ∴函数的定义域为 . 由于在定义域内0＜cos 2x≤1， ∴lg cos 2x≤0，∴函数的值域为(－∞，0]． (2)∵f(－x)＝lg cos[2·(－x)]＝lg cos 2x＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)∵cos 2x的周期为π，即cos 2(x＋π)＝cos 2x. ∴f(x＋π)＝lg cos 2(x＋π)＝lg cos 2x＝f(x)． ∴该函数的周期为π. (4)y＝lg u是增函数． 当x∈(k∈Z)时，u＝cos 2x是增函数； 当x∈(k∈Z)时，u＝cos 2x是减函数． 因此，函数y＝lg cos 2x在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数． 学科网（北京）股份有限公司 $