专题7.3.2 正弦型函数的性质与图像（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题7.3.2 正弦型函数的性质与图像 教学目标 1．掌握正弦型函数的定义，理解的实际意义。 2．熟知正弦型函数的定义域、值域、周期等性质，能求其单调区间。 3．会用五点法画正弦型函数一个周期内的简图。 4．掌握对函数图像的影响及变换途径。 教学重难点 重点：正弦型函数的定义、各参数意义及核心性质；五点法绘图步骤与函数图像的平移、伸缩变换规律。 难点：理解对图像形状、位置的综合影响；以整体思想求正弦型函数的单调区间。 知识点一．正弦型函数 1．定义：形如（其中都是常数，且）的函数，通常称为正弦型函数． 2．的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1s内能完成的运动次数，称为频率． 【即学即练】 1．函数的周期，振幅，初相分别是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】 解：函数 振幅是2，初相是 又的系数是，故函数的最小正周期是 对照四个选项知应选 故选：． 【点睛】 本题考查中参数的物理意义，解题的关键是理解，，的意义，根据解析式及相关公式求出此三个参数的值．属于基础题． 知识点二．的性质 名称 性质 定义域 值域 周期 单调性 把看作一个整体， 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 【即学即练】 2．函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴． 故选：A 3．若，则函数的值域为 【答案】 【详解】由，得，则的值域为. 故答案为：. 知识点三．用五点法画 画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示． x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 【即学即练】 4．已知，用“五点法”作出在上简图． 【答案】图象见解析 【详解】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 知识点四．对函数图像的影响 1．型函数的性质 ①函数的定义域为R，值域为，周期是． ②的图像可由的图像上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍得到． 2．型函数的性质 ①函数的定义域为R，值域为，周期是 ②的图像可由的图像向左（或右）平移得到． 3．型函数的性质 ①函数的定义域为R，值域为，周期是 ②的图像可由图像上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的得到． 4．型函数的性质 ①正弦型函数的定义域为R，值域为，周期是 ②的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到 5．函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【即学即练】 5．要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 6．已知函数的部分图象如图所示，则正实数的值为 ．              【答案】4 【详解】由题意可得，可得，则，所以， 故答案为：4. 题型01 五点法画正弦型函数图象 【例1】已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 【例2】当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 【变式1-1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 【变式1-2】时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B 【变式1-3】已知函数 (1)求出函数的单调减区间； (2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)2. 【分析】 【详解】（1）函数，由， 得， 所以函数的单调减区间是. （2）列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图象如图： （3）在同一坐标系内作出函数与在的图象，如图： 观察图象，曲线与的交点个数为2. 题型02 正弦型函数的周期性 【例3】已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（    ） A．2π， B．， C．2π， D．， 【答案】B 【详解】由解析式可知， 由周期公式可得最小正周期为，初相为. 故选：B 【例4】已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期为，则， 所以， 故选：B 【变式2-1】若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期， 故对于函数，其最小正周期为． 故选：A. 【变式2-3】已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 . 【答案】 【详解】由正弦函数的性质可知， 故的最大值为，最小值为， 则解得， 故， 则其最小正周期. 故答案为：. 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 题型03 求正弦型函数的对称轴和对称中心 【例5】下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 【例6】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在时取得最大值 C．函数的一条对称轴为 D．函数的一个对称中心为 【答案】AD 【详解】A选项，的最小正周期为，故A正确； B选项，，取不到最值，故B错误； C选项，，取不到最值， 所以不是函数的对称轴，故C错误； D选项，因为，则是的一个对称中心，故D正确. 故选：AD 【变式3-1】函数的对称轴方程是 【答案】， 【详解】， 令，得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故答案为：，. 【变式3-2】函数的图象： ①关于点对称； ②关于直线对称； ③关于点对称； ④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【答案】①④ 【详解】关于函数的图象， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故①正确； 令，求得，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故②不正确； 令，求得，可得它的图象不关于点对称，故③不正确； 令，求得，可得它的图象关于直线对称，故④正确， 故答案为：①④． 【变式3-3】函数的图象的对称中心的坐标是 . 【答案】， 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 对于函数的图象： （1）对称中心：由，得对称中心为，即函数值为0的点； （2）对称轴：由，得对称轴，即函数取得最大值对应的与轴垂直的直线。 题型04 已知正弦型函数的奇偶性或对称性求参数 【例7】函数的图象关于点中心对称，则的值不可能为（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为函数图象关于点对称，所以，所以，又，故，解得，所以为正整数（），所以，因此可得：的值可能为， 故选：C. 【例8】已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知得，得． 令得；令得；令得；令得；令得， ，即的取值范围为． 故答案为：. 【变式4-1】已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意，，得， 当时，， 故选：B. 【变式4-2】已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以在处取到最值， 所以（）， 故选：C． 【变式4-3】已知函数（，）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，且对，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得图象的相邻两条对称轴间的距离为3， 可得，所以，所以， 又由，可得为的一条对称轴， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：D 题型05 根据函数图象求正弦型函数的解析式 【例9】函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数的最小正周期为，且，则， 由图象可知：，且， 即，解得，可得， 又因为函数的图象过点，则， 即，且，则， 可得，解得， 所以. 故选：D. 【例10】（多选）已知函数的图象如图所示，，为曲线与轴的交点，的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由图象及的面积为1，得，则， 则函数的周期，解得， 由，得，即， 又，则，此时，则，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，则，故D正确. 故选：AD. 【变式5-1】已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的表达式为 . 【答案】 【详解】由图象可知，则，所以，得， 所以， 将代入，得，即， 所以，解得，又，则， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．为偶函数 【答案】AB 【详解】由图可得，所以，故A正确； 由图可得，所以， 由图可得， 且为在增区间零点，则，即， 又，故，故，故B正确、C不正确； 则，则 ，所以为奇函数，故D不正确. 故选：AB. 【变式5-3】函数的部分图象如图所示，是正三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】是图象的最高点，所以的纵坐标为，又是正三角形，可得，. 又，，， ，则， ，又，， . ， 又的周期为4， . 故选：B 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移规律确定相关的参数。 题型06 求正弦型函数的单调性 【例11】下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 【例12】求函数在的单调递增区间 . 【答案】和 【详解】因为，令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 所以函数在的单调递增区间为和. 故答案为：和 【变式6-1】已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以函数， 所以有， 解得单调递增区间为. 故答案为： 【变式6-2】函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 【变式6-3】函数与函数的交点为，则函数的一个减区间是（其中）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上，所以； 把代入可得或，； 因为，所以，即， 令，，解得，； 当时，一个减区间为. 故选：C 用“基本函数法”求函数的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式 题型07 求正弦型函数的值域与最值 【例13】已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 【例14】函数的最大值为 ． 【答案】3 【详解】函数， 当且仅当，即时，， 所以所求最大值为3. 故答案为：3 【变式7-1】已知函数的最小正周期为. (1)求函数的对称轴； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【分析】 【详解】（1）因为周期，则， 令； 解得：. 所以函数的对称轴为； （2）因为，则， 所以， 即. 所以函数的最大值为2，最小值为. 【变式7-2】已知函数. (1)求的对称中心及的单调减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的的值. 【答案】(1)； (2)时，；或时， 【分析】 【详解】（1）对于函数， 令，解得， 所以的对称中心为， 由，解得， 所以的单调减区间为； （2）当时，， 所以，所以 所以当，即时，取得最小值，即； 所以当或，即或时，取得最大值， 即. 【变式7-3】已知函数 (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】 【详解】（1）由函数的单调递减区间为， 则对于函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 在区间上的单调递减区间为： 当时，可得；当时，可得；当时，可得. 所以函数在区间上的单调递减区间为、、. （2）由，则，所以，， 令，则， 所以值域为. 题型08 已知单调性或值域求参数 【例15】已知函数，满足，且在区间上单调递增，则的可能取值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调递增，可得， 解得，所以，可排除选项A； 由函数，因为，可得， 所以，解得， 若，可得，因为，可得，此时， 当时，可得，此时在先减后增，不符合题意，所以B错误； 若，可得，不存在的的值，不符合题意，所以C错误； 若，可得，因为，可得，此时， 当时，可得，此时在单调递增，符合题意，所以D正确. 故选：D. 【例16】若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，由，得， 由函数恰好有5个最大值，4个最小值， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式8-1】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 设的最小正周期为，则，即，即，解得， 当，则， 又，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式8-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：， 解得：. 故选：C 【变式8-3】已知函数在区间上不单调，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 题型09 三角函数的图象变换 【例17】为了得到的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 B．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 C．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 D．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 【答案】A 【详解】对于A：将图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，A正确； 对于B：将图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，B错误； 对于C：将图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，C错误； 对于D：将图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 再将纵坐标变为原来的倍，得到，D错误； 故选：A. 【例18】为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【详解】因为函数，又函数， 所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象. 故选：D 【变式9-1】要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】因为， 所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：B 【变式9-2】将函数的图象经过平移得到的图象，直线为的图象在轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】当时，，且， 又为的图象在轴右侧的首条对称轴， ，解得， ，， 故可以向左平移个单位得到， 也可以向右平移个单位得到． 故选：C． 【变式9-3】若函数的图象为曲线，则（   ） A．曲线关于点对称 B．将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C．将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D．将曲线（多选）上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 【答案】ABC 【详解】根据正弦型函数的对称中心可判断A；根据三角函数的图象变换，可判断B、C、D. 对于A：因为，所以曲线关于点对称，故A正确； 对于B：将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线，故B正确； 对于C：将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线，故C正确； 对于D：将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线，与选项D中曲线的方程不符，故D错误． 故选：ABC. 题型10 求图象变换前后的解析式 【例19】将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象，再将向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再将向右平移个单位，得到的图象. 故选：D 【例20】函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且满足，都有，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】易知函数, 由，可知函数为奇函数，可得, 可得, 所以. 故选：A 【变式10-1】将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，则， 横坐标缩短到原来的，则， 纵坐标伸长到原来的倍，则. 故选：A 【变式10-2】把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，. 故选：D 【变式10-3】将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 题型11 正弦型函数的图象性质综合 【例21】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．图象关于点成中心对称 C．的一个单调递增区间为 D．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 【答案】D 【详解】由题意， 对于A，，所以图象不关于直线对称，故A错误； 对于B，，所以图象不关于点成中心对称，故B错误； 对于C，当时，，由复合函数单调性可知此时单调递减，故C错误； 对于D，若，则或， 所以曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为. 故选：D. 【例22】已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【答案】/ 【详解】由，得， 则在上有两个不同的解. 当时，， 令，则，有两个不同的解. 易得关于对称， 所以，即， 所以，即，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式11-1】已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知求在区间内的零点， 所以令，得， 又因为， 所以只能是，得， 在区间内，当时，有， 所以共有个零点，故D正确. 故选：D. 【变式11-2】（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称 C．在上有两个零点 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误； 对于B，由上知，的图象关于对称， 所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确； 对于C，由得函数的零点为， 令，解得， 所以，即在上有两个零点，C正确； 对于D，因为， ，， 所以 因为的最小值周期， 所以，D正确. 故选：BCD 【变式11-3】设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为 . 【答案】/0.5 【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，， 解得，， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度） 即，关于直线，对称，， 由于，故， 而，关于直线，对称， 故点横坐标为， 将点横坐标代入，得． 故答案为：. 一、单选题 1．已知函数，为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，则函数在区间上的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴， 所以该函数的最小正周期为， 因为，所以，即， 由， 因为，所以令，，即， 当时，， 所以当时，函数有最小值， 即当时，函数有最小值. 故选：B. 2．已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的值域为， 所以存在互不相同的，使得， 即同时使得，即 因为 由于区间内存在正弦函数取最小值时的的取值依次是， 所以， 故选：D. 3．已知函数为偶函数，其图象与直线的某两个交点的横坐标为，若的最小值为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象与直线的两个交点横坐标为 的最小值为， 所以周期是， 由求得， 只有选项A适合， 故选：A． 4．关于函数，有以下三种说法： ①图象的对称中心是点； ②图象的对称轴是直线； ③函数的最小正周期是． 其中正确的说法是（    ）． A．①②③ B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【详解】， 令，，解得，，即函数图象对称中心是， 令，，解得，，图象的对称轴是直线， 函数的最小正周期是．易知①②均错，③对， 故选：D． 5．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，因为它是偶函数， 所以，，即． 当时，；当时，；当时，． 故选：C． 6．已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】且， 故函数关于对称，且函数在取得最值， 又函数在区间上单调，， 令，则 ，当时， 函数在上有且仅有4个零点，且 ，即 把代入得， 综上，的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 7．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 【答案】ABD 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 8．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 【答案】BC 【详解】对于A，由题意得的最小正周期为，则，解得， 则，将的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为，所以，故A错误， 对于B，由题意得，故B正确， 对于C，令， 解得，当时，， 则函数在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，故C正确， 对于D，结合正弦函数性质可得，函数在一个完整周期内， 则曲线与直线，，所围成封闭图形的面积转化如下， 变为一个长为，宽为2的矩形的面积，由矩形面积公式得，故D错误. 故选：BC 三、填空题 9．若，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， ， ， ， 令则，， ，即， ，解得：， 实数的取值范围为． 故答案为： 10．已知函数在区间上有三个零点，（），则的值为 . 【答案】 【详解】由得，， 所以函数在的对称轴为和， 函数时周期为的正弦函数， 由正弦函数单调性可知，在单调递增，单调递减，递增， 要想函数存在三个零点，则在三个区间内各有一个零点， 即关于对称轴对称，关于对称轴对称， 所以. 故答案为：. 11．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 12．设函数，图象的一个对称中心是. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 又图象的一个对称中心是，所以， 解得，又，所以. （2）由（1）可得， 因为，所以，所以， 即，即函数的值域为. 13．已知函数． (1)求； (2)证明：函数的图象关于点对称； (3)当时，求函数的所有零点的和． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 【详解】（1）已知函数，则． （2）由， 所以函数的图象关于点对称． （3）令，即， 所以或，，解得或， 因为，则，，，，． 14．已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. （2）将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 15．将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 则曲线的对称中心的坐标是； （2）因为，所以， 则， 故在上的值域为； （3）由（1）知，设，则， 所以关于的不等式， 对恒成立等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3.2 正弦型函数的性质与图像 教学目标 1．掌握正弦型函数的定义，理解的实际意义。 2．熟知正弦型函数的定义域、值域、周期等性质，能求其单调区间。 3．会用五点法画正弦型函数一个周期内的简图。 4．掌握对函数图像的影响及变换途径。 教学重难点 重点：正弦型函数的定义、各参数意义及核心性质；五点法绘图步骤与函数图像的平移、伸缩变换规律。 难点：理解对图像形状、位置的综合影响；以整体思想求正弦型函数的单调区间。 知识点一．正弦型函数 1．定义：形如（其中都是常数，且）的函数，通常称为正弦型函数． 2．的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为________； （2）在决定时小球的________中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成________运动所需要的时间， 表示1s内能完成的________，称为频率． 【即学即练】 1．函数的周期，振幅，初相分别是　　 A． B． C． D． 知识点二．的性质 名称 性质 定义域 值域 ________ 周期 ________ 单调性 把看作一个整体， 由解出的范围，可得单调________区间； 由解出的范围，可得单调________区间； 【即学即练】 2．函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 3．若，则函数的值域为 知识点三．用五点法画 画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示． x － －＋ － ωx＋φ ________ ________ ________ ________ ________ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 【即学即练】 4．已知，用“五点法”作出在上简图． 知识点四．对函数图像的影响 1．型函数的性质 ①函数的定义域为R，值域为，周期是． ②的图像可由的图像上的点，横坐标保持不变，________变为原来的________倍得到． 2．型函数的性质 ①函数的定义域为R，值域为，周期是 ②的图像可由的图像向________（或________）平移得到． 3．型函数的性质 ①函数的定义域为R，值域为，周期是 ②的图像可由图像上的点，纵坐标不变，________变为原来的________得到． 4．型函数的性质 ①正弦型函数的定义域为R，值域为，周期是 ②的图像可通过对正弦曲线进行________、________得到 5．函数的图象经变换得到的图象的两种途径 【即学即练】 5．要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6．已知函数的部分图象如图所示，则正实数的值为 ．              题型01 五点法画正弦型函数图象 【例1】已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【例2】当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【变式1-2】时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】已知函数 (1)求出函数的单调减区间； (2)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像； (3)当时，求曲线与的交点个数．（请直接写出答案） 题型02 正弦型函数的周期性 【例3】已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（    ） A．2π， B．， C．2π， D．， 【例4】已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式2-1】若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 . 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 题型03 求正弦型函数的对称轴和对称中心 【例5】下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【例6】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在时取得最大值 C．函数的一条对称轴为 D．函数的一个对称中心为 【变式3-1】函数的对称轴方程是 【变式3-2】函数的图象： ①关于点对称； ②关于直线对称； ③关于点对称； ④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【变式3-3】函数的图象的对称中心的坐标是 . 对于函数的图象： （1）对称中心：由，得对称中心为，即函数值为0的点； （2）对称轴：由，得对称轴，即函数取得最大值对应的与轴垂直的直线。 题型04 已知正弦型函数的奇偶性或对称性求参数 【例7】函数的图象关于点中心对称，则的值不可能为（    ） A．-1 B． C． D．1 【例8】已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ． 【变式4-1】已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 【变式4-3】已知函数（，）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，且对，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 题型05 根据函数图象求正弦型函数的解析式 【例9】函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【例10】（多选）已知函数的图象如图所示，，为曲线与轴的交点，的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的表达式为 . 【变式5-2】（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．为偶函数 【变式5-3】函数的部分图象如图所示，是正三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（   ） A． B．0 C． D． 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移规律确定相关的参数。 题型06 求正弦型函数的单调性 【例11】下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【例12】求函数在的单调递增区间 . 【变式6-1】已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为 . 【变式6-2】函数，的单调减区间为 . 【变式6-3】函数与函数的交点为，则函数的一个减区间是（其中）（ ） A． B． C． D． 用“基本函数法”求函数的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式 题型07 求正弦型函数的值域与最值 【例13】已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例14】函数的最大值为 ． 【变式7-1】已知函数的最小正周期为. (1)求函数的对称轴； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式7-2】已知函数. (1)求的对称中心及的单调减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的的值. 【变式7-3】已知函数 (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)求函数在区间上的值域． 题型08 已知单调性或值域求参数 【例15】已知函数，满足，且在区间上单调递增，则的可能取值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【例16】若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【变式8-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数在区间上不单调，则的取值范围为 . 已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 题型09 三角函数的图象变换 【例17】为了得到的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 B．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 C．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的2倍 D．向右平行移动个单位长度，纵坐标变为原来的倍 【例18】为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式9-1】要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式9-2】将函数的图象经过平移得到的图象，直线为的图象在轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式9-3】若函数的图象为曲线，则（   ） A．曲线关于点对称 B．将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C．将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D．将曲线（多选）上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 题型10 求图象变换前后的解析式 【例19】将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象，再将向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【例20】函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且满足，都有，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式10-1】将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 题型11 正弦型函数的图象性质综合 【例21】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．图象关于点成中心对称 C．的一个单调递增区间为 D．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 【例22】已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【变式11-1】已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称 C．在上有两个零点 D． 【变式11-3】设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为 . 一、单选题 1．已知函数，为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，则函数在区间上的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 2．已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 3．已知函数为偶函数，其图象与直线的某两个交点的横坐标为，若的最小值为，则（    ）． A． B． C． D． 4．关于函数，有以下三种说法： ①图象的对称中心是点； ②图象的对称轴是直线； ③函数的最小正周期是． 其中正确的说法是（    ）． A．①②③ B．②③ C．①③ D．③ 5．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（    ）． A． B． C．0 D． 6．已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 8．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 三、填空题 9．若，使得，则实数的取值范围为 ． 10．已知函数在区间上有三个零点，（），则的值为 . 11．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 四、解答题 12．设函数，图象的一个对称中心是. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 13．已知函数． (1)求； (2)证明：函数的图象关于点对称； (3)当时，求函数的所有零点的和． 14．已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 15．将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)求曲线的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $