精品解析：重庆文理学院附属中学校等校2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学试题卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分，试题卷总页数：6页. 2.所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔. 4.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上. 5.考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 若函数是偶函数，且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质判断即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误. 故选：D 3. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质推理判断即可. 【详解】对于A，由，，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，得，而，则，C正确； 对于D，由，得，而，则，D错误. 故选：C. 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知条件求出，再结合求出，最后代入 化简求值. 【详解】由，可得. 利用三角恒等式，将代入： 得，，. 则. 所以，的值是. 故选：D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 有些菱形不是平行四边形 B. 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C. 所有素数都是奇数 D. 每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解析】 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 6. ：为空集，：、至少一个是空集，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再利用恒成立建立不等式求出范围. 【详解】由，且，得，即， 解得，当且仅当时取等号，由不等式恒成立， 得，则，整理得，解得或， 所以的取值范围为 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】对于A：为奇函数，且在区间上单调递增，故A正确； 对于B：定义域为，但是， 所以不是奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为，则为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，且， 即为奇函数，且在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的最小正周期，即可判断A，由的范围求出的范围，结合余弦函数的性质判断B，代入求出函数值，即可判断C、D. 【详解】对于A：的最小正周期，故A正确； 对于B：当，则， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故B正确； 对于C：， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D：， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上的解析式为 C. 若函数与函数（且）的图象在区间上交点有3个，则实数的取值范围为 D. 函数所有零点的和为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由奇函数+已知等式推出周期为4，再写出各段解析式，结合图象与对称性逐个判断.A选项利用周期4和奇函数，把转化到，直接得0，判断正确.B选项当时，把转化到已知区间，代入算出解析式，与选项对比，发现错误.C选项画出周期函数图象，分递增、递减两种情况，用对数函数过关键点的不等式确定的范围，验证与选项一致.D选项利用两个函数都关于对称，零点成对出现，直接算总和. 【详解】因为是上奇函数，所以，.因为， 令，所以，即.又为奇函数， 所以，所以周期. 选项A：因为周期为4，且为奇函数，所以. 因为，所以.故A正确. 选项B：当 时，， 因为，所以 ，与选项B中不符，故B错误. 选项C：(1)当时，单调递减，要使两函数在上恰有3个交点， 所以需满足，因为对数单调递减，所以. (2)当时，单调递增，要使两函数在上恰有3个交点， 所以需满足，因为对数单调递增，所以. 综上，，故C正确. 选项D： 是周期为4的奇函数，且满足，其图像关于点中心对称，值域为. 的图象关于直线对称，在处无定义， 当 ，即时，，共有3个零点. 由对称性，在范围内，也有3个零点.因此，共有6个零点. 这6个零点关于直线对称，可分为3对，每对零点之和为. 所有零点之和为，所以D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则扇形的周长为______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形弧长公式求解即可. 【详解】由扇形的半径为2，圆心角为2弧度，得该扇形弧长为， 所以该扇形的周长为. 故答案为：8 13. 幂函数在区间上单调递增，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在区间上单调递增， 得，所以. 故答案为：2 14. “杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 ①. ##0.4 ②. 【解析】 【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值. 【详解】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 函数的单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由图象知函数的单调递增区间为. 16. 设函数，图象的一个对称中心是. （1）求的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再根据正弦函数的对称性计算可得； （2）由（1）可得，根据的范围求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为， 又图象的一个对称中心是，所以， 解得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，所以，所以， 即，即函数的值域为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上是单调递减函数； （3）若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，，， ，由，得，即， 因此，即，所以在上是单调递减函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出. （2）利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）由给定不等式分离参数，再利用指数函数性质求出最小值即可求出范围. 【小问1详解】 由定义域为的函数是奇函数，得， 即，整理得，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式， 当时，，则，， 由存在，使得成立，得， 所以的取值范围是. 18. 航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. （1）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； （2）借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 【答案】（1） 选择模型③，理由如下： 表格中对应的数据从小到大按1递增，是匀速递增的，对应的数据从小到大， 相邻两个大数减去小数依次为，不是匀速递增的，模型①不满足题意； 表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意； 对于模型③，将，代入模型③，有，解得， 此时，显然都满足，因此模型③满足题意， 所以选择模型③. （2）第29天. 【解析】 【分析】（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算，满足条件，得到答案. （2）确定，，利用均值不等式计算最值得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第29天最低. 19. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若，求函数的最大值； （3）若函数在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数型复合函数有意义列式求出定义域. （2）利用指数函数、对数函数单调性确定函数单调性，进而求出最大值. （3）确定函数的单调性，由已知可得方程有两个不等的正根，进而转化为直线与函数图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数有意义，，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 函数，函数在上单调递增， 函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，当时，，， 所以函数的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，得，则是方程， 即的两个不等的正根， 因此方程，即有两个不等的正根， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，因此， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟，满分：150分，试题卷总页数：6页. 2.所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔. 4.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上. 5.考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 若函数是偶函数，且，则必有（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 有些菱形不是平行四边形 B. 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C. 所有素数都是奇数 D. 每个四边形的内角和都是 6. ：为空集，：、至少一个是空集，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上的解析式为 C. 若函数与函数（且）的图象在区间上交点有3个，则实数的取值范围为 D. 函数所有零点的和为6 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则扇形的周长为______. 13. 幂函数在区间上单调递增，则______. 14. “杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 16. 设函数，图象的一个对称中心是. （1）求的值； （2）当时，求函数的值域. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上是单调递减函数； （3）若存在，使得成立，求的取值范围. 18. 航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. （1）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； （2）借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 19. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若，求函数的最大值； （3）若函数在上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $