山西省部分校2026-2027学年高三上学期开学联考数学试题

★★★202609 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 命题透析本题考查极差的概念 解析样本数据中最小的数为30，最大的数为68，故极差为68-30=38. 2.答案A 命题透析本题考查等差数列的运算 解析设等差数列{an}的公差为d.由题意得a2+a4+a6=3a4=33,∴.a4=11,.d=a4-a3=3. 3.答案B 命题透析本题考查指对运算、三角函数求值和集合的交运算 {2e,克，}4nB={2} 4.答案D 命题透析本题考查导数的几何性质 解析设fx)=e-+x+a,则f'(x)=e-1+1,设切点坐标为(xof代x),f'(xo)=eo-+1=2,解得x=1, .f(1)=e1-1+1+a=2×1+2,解得a=2 5.答案A 命题透析本题考查函数图象的识别， 解析由题意知，代x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)e1-=-xe1=-fx),f(x)是奇函数，故排除C 选项；当x>0时f'(x)=3x2·e-xe=xe(3-x),.0<x<3时，f'(x)>0,x>3时，f'(x)<0,f(x)在 (0,3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减，故排除B,D选项，故选A 6.答案D 命题透析本题考查投影向量和向量的数量积运算 解析由m⊥(4n+m),可得m·(4n+m)=4m·n+1m2=0,即m·m=-1m户.又m在n上的投影向量 4 为-2m,"n=-2m,即m·n=-2nP,则ml=22 co0=m=2万=-20 一1 7.答案B 命题透析本题考查直线与抛物线的位置关系， 解析如图，作出C的准线，与y轴交于点Q,过点A作C的准线的垂线，分别与x轴、准线交于点M,V,过点A 作y轴的垂线，垂足为P由题意知，∠BAM=∠AFP=号IAW=AB1=1,即：=1，由抛物线的定义知， IMF1=lNM=号+x=号+1，IP=0F1-10PI=号-1，再由1FP1=1AF1,得号-1=2（号+1，解 得p=6,∴.C的准线方程为y=-3. B 0 8.答案C 命题透析本题考查二项式定理、数列裂项相消求和和不等式恒成立求参 解析(x+y+z+1)"+2表示(n+2)个(x+y+z+1)相乘，含xz的项可以看成(n+2)个因式中1个因式取x, 剩余(n+1)个因式中1个因式取y,剩余n个因式中1个因式取z,剩余因式都取1，故含xz项的系数b,=C,+2· C1Ch=(n+2)(n+1)n. 1 1 =(女)+（女动*++而+动 =[3m+n+2动 易知了.<子，且当n一+时，了，→子，放实数1的最小值为好 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案AD 命题透析本题考查复数的概念与运算。 解析由题包知是侣侣骨房宁 2 对于A=号+与放A正确 对于B,:的虚部为-方，故B错误： 对于C:+号号-与不是纯虚数故C错误： 对于D,1z =√()+(-=放D正确 10.答案ACD 命题透析本题考查直线与圆的位置关系， 解析对于A,直线l的方程可化为y-1=k(x-1),∴.直线1过定点A(1,1),故A正确； 对于B,设F为线段0M的中点，则F(2.0),FN1=之10M1=2,曲线E是以F(2.0)为圆心，2为半径的圆， IAFI=√2<2，.点A在曲线E内，即直线I与曲线E始终有公共点，故B错误； 对于C,当F41l时，直线1被曲线E截得的弦长最小，最小值为2√P-1FA下=2√22-(2)2=22，故C 正确； 对于D,当直线I过圆心F(2,0)时，直线l被曲线E截得的弦长为圆的直径，此时弦长最大，将F(2,0)代人直 线l的方程，得2k-0-k+1=0,解得k=-1,故D正确 1L.答案ABD 命题透析本题考查两直线垂直的判断、点面距离、线面角和点的轨迹. 解析对于A,在直三棱柱ABC-AB,C1中，C1C⊥平面ABC,∴.C,C⊥AC,·AC⊥BC,且BC,CC1C平面 BCCB,BC∩CC1=C,∴.AC⊥平面BCCB,∴.AC⊥BC1,:侧面BCCB,是正方形，∴.B,C⊥BC1,AC,B,CC 平面ACB,AC∩B1C=C,∴.BC1⊥平面ACB,.AB1⊥BC1,故A正确： 对于B,同理可证BC1平面4 CGAAC1CB,BC=2万，Sa=74C×B,C=7×2x2万-2万，设 点P到平面ACB的距离为d,由gP=-a,可得c×B,C=子5a0m,×d,即写×了×1×2×2= 青×2×d,解得4=号.放B正确： 于CPB,=3设直线PB,与平面ACB,所成的角为0，则sm0=p-名，放C错 对于D,如图，设O为棱CC1的中点，则PO∥AC,PO=AC=2,∴.P0⊥平面BCC,B,由题意得，点Q在以P为 球心，√为半径的球面上，∴.Q点的轨迹是该球面与侧面BCC,B,相交的圆弧，又球心P到侧面BCCB,的距 离为P0=2,.截面圆0的半径为0M=ON=2,.M,N分别为B,C,BC的中点，∠COM=∠C0N=平， 一3 ∠M0N=受Q点的轨迹长度为 2T,故D正确 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12答案 命题透析本题考查椭圆的几何性质。 解析yC的焦点在x轴上，且c=1,B=3,d=+=3+1=4其离心率e=台=分 13.答案 (3] 命题透析本题考查三角函数的图象与性质： 解析由题意得)=2 2sin(ox+9+君）f代)是奇函数p+石=km,ke乙p=6m-石keZ,0< p<T,∴.p= ：g(x)=s血(ur+p)的图象在区间(0，m)上恰有2条对称轴，又x∈(0，m)时，or+9∈ 6 5 6,wT+ 6 5 受<r+爱解得 61 <ws8 ∴o的取值范围为( 581 33 14答案1-⑩ 10 命题透析本题考查独立重复试验（二项分布）的概率计算、利用导数求最值 解析设事件B:甲队以3：1取胜，事件C:甲队以3：2取胜，事件D:甲队以3：1或3：2取胜，易知B,C互斥， 甲队以3：1或3：2取胜的概率f(P)=P(D)=P(B+C)=P(B)+P(C)=Cp2(1-p)p+Cp2(1-p)p= 3p(2p2-5p+3),求导得f'(p)=9p2(2p2-5p+3)+3p3(4p-5)=3p2(10p2-20p+9),令f'(p)=0,解得p= 0(合).或=1-或n=1+(合)当0<<1-时0>0，当1-<n<1时()< 0p)在01-上菲调递增，在1-巴，上单调莲减当p=1-时p)取最大值 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查独立性检验. 解析(1)2×2列联表为 一4 白内障患者 非白内障患者 合计 老年人 44 56 100 非老年人 16 64 80 合计 60 120 180 …(2分） 估计老年人患白内障的概率为0 44 =0.44,……………… (4分) 非老年人患白内障的概率为6 0=0.2.… (6分) (2)零假设为。：患白内障与年龄无关. (7分) 2=180×（44×64-16x56）=1l.52>7.879=05,… 100×80×60×120 根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H。不成立，即认为患白内障与年龄有关.…(13分) 16.命题透析本题考查利用正、余弦定理和三角恒等变换解三角形. 解析（I):S么m=分AB×A0snA-之×5×3sinA= 9 2· 'sin A=5 …(2分) :∠ABC= 平A为战角。 ……(4分） 在△ABD中，由余孩定理得B0=AB+A0-2MB×ADeosA=2+3-2×5×3×号=10， .BD=10. …(7分） (2)油医可得如G=叫（得-=m子s4~m牙A-号x专-×号名 2 52510' …(9分) 在△ABC中，由正弦定理得AB AC sin C sin∠ABC' ÷4C=sinLAl、5 2 sin C =25。…(12分）》 ② 10 Sc=宁0xA0CnA=宁x5×25×号-2空. SARCD =SAARC -SAARD= 759 2-2 =33.…(15分） -5 17.命题透析本题考查线面平行的证明、面面角余弦值的求解 解析(1)如图，取PA的中点为Q,连接BQ,MQ. M为PD的中点， .MQ/AD.MQ-AD. …(2分) 3BN=NC.:BN=1BC. AD∥BC,BC=2AD=2, .∴.MQ∥BW,MQ=BN,… (4分) .四边形BNMQ为平行四边形， .MW∥BQ,…(5分)） MW丈平面PAB,BQC平面PAB, .MW∥平面PAB.…(6分） (2)连接AC yPB=PA=AB=BC=2,∠ABC=号， ∴.△PAB,△ABC均为等边三角形， 取线段AB的中点O,连接OP,OC, 则OP⊥AB,OC⊥AB,且OP=OC=√5 ·:平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 且OPC平面PAB,OCC平面ABCD, ∴.AB,OP,OC两两互相垂直. (8分) 以OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oz, 期0,0.4(-1.00.c05.0).0-9.o 6 成=(3=(-i=(-子 …(9分) 2+21=0, 设平面PAD的法向量为m=(x,y1,a),则 m亦=2-+5=0， 取y1=1,则x1=5,a1=-1,∴.平面PAD的一个法向量为m=(5,1,-1).…(11分) a Γ2为=0， 设平面PCD的法向量为n=(x22,a),则 n…D币=3-5 25-22+5a2=0, 取y2=-5,则2=1,22=5，.平面PCD的一个法向量为n=(1,-5,-3).…(13分) 1es(m,m1=m:m√5+F+(-×下+(-5+(-T m·n 15×1+1×(-5)-1×(-5)1 .105 35 …(14分) ∴平面PD与平面PCD夹角的余弦值为酒 …(15分) 18.命题透析本题考查三角函数的性质、利用导数研究函数的单调性与极值点。 解析(1)由x)>2f2x),得3+cs>2×5+c0s2 2x 化简得cosx>c0s2x,即cosx>2c0s2x-1,整理得(2c0sx+1)(cosx-1)<0, 所以-7<cosx<l, (2分) 因为0<2x<2π，即0<x<T,由余弦函数的图象可得0<x< 3 即原不等式的解集为(0，号) (4分) (2)由题知，f'(x)=二sinx-5-cosx (5分) g(x)=-xsin x-cosx-5(0<x<2m), 则g'(x)=-xc0sx,… …(6分) 当受<x<时g(x)>0,当0<<受或7<x<2m时，g()<0. g在(0，罗）上单调递减，在（受，）上单调递增，在(，2m上单调递减，…(8分） 0)=-6,6）=7-5<0, .当0<x<2π时，g(x)<0,即f'(x)<0, ∴.f(x)在(0,2π)上单调递减.…… (9分) (3)由题意知，h(x)=cosx-xsin x-tx(0<x<T), h'(x)=-2sin x-xcos x-t. 当0<x<受时，inx>0,c0sx>0,此时'(x)<0.(11分) ∴.l'(x）=-cosx+xsin x>0, (x)在（受，m上单调递增，… (13分) 又y=-2血x-1在（受，上单调递增， '(x)=-2smx-x0sx-1在（受，m上单调递增， 又(）=-2-1<0，h(m)=m->0, 由零点存在定理可知，存在唯一的o∈（受，m使得(o)=0, …（15分)） 当号<g<时，h(x)<0,当<<m时，h()>0.… (16分) 综上，当0<x<xo时，h'(x)<0,当xo<x<π时，h'(x)>0, 故h(x)在(0，x。)上单调递减，在(xo,π)上单调递增， ∴.h(x)在(0，π)上有且只有一个极小值点x=xo·… …(17分） 19.命题透析本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积范围的求解. 解析。(1)设双曲线E的半焦距为c. 由题意得，C=2,么=5， (1分) 又c2=a2+b2, .a=1,b=W3,…(3分) E的方程为爱=l.(4 3 (2)易知直线l的斜率不为0，设直线1的方程为x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),且y2<0, x=my +2, 由 21得(3m-1y产+12m+9=0. 3 =1 —8 为+= 12m 3m2-1y5= 9 3m2-1' …………………………………………… (6分) 由直线1与E的右支交于两点，得m<了 (7分) (i )IMFI =5INFI,..FM=5N, (x1-2,y1)=5(2-x2,-2), .y1=-5y2,… (8分) 将其代人+=32解得32且0停 45m2 9 12=-(3m-1)23m-1 解得-，故m=经（负值含去）、…（10分)】 ·.直线1的方程为4x-√2y-8=0. (11分) (iⅱ)由双曲线的对称性知，IMO川=IRO1, (12分) .S△wR=2S△wom=2×2×10F1×ly-y1=I0FIly-hI=2ly-h1 =2√+)产-4=2λ√/ 12m m2+1 3m2-1 …(14分) 设t=m2+1,则1≤t<3, 4 t t 5awm=12√3a4=12√9r-24+16=12 9+16-24 …（15分） t 设)=9+-241≤1<)， wr09-9--0 0在[1，专)上单调滋减放0e.山高1， ∴.SAMNR=12 =12 1 ≥12， 16-24 t .△MWR面积的取值范围为[12，+0).… …(17分） 一9★★★202609 6.已知非零向量m,n满足m⊥(4n+m),且m在n上的投影向量为-2n,则向量m,n的夹 角8为 高三数学 A牙 B号 G.2 7在平面直角坐标系0中，抛物线C:2=2yp>0)的焦点为R,过点下且领斜角为爱的 直线与C在第一象限的交点为A,与x轴的交点为B,若1AB1=2,则C的准线方程为 注意事项： 1.答题蔚，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 A.y=-4 B.y=-3 C.y=-2 D.y=-1 位置。 8在(x+y+:+1)2(neN)的展开式中，含项的系数为b.,记数列} 1b. 的前n项和为 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再迭涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 T,若不等式T。<t恒成立，则实数t的最小值为 卡上。 6 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 1.样本数据68,56,50,42,39,62,35,30的极差为 9.已知复数z满足(2-i)=1-i,则 A.32 B.36 C.38 D.40 A B:的虚部为} 2.在等差数列{a,}中，若a2+a4+a6=33,4=8,则{a,}的公差为 A.3 B.-3 C.5 D.-5 C:+是纯嘘数 n:0 10.已知直线1的方程为kx-y-k+1=0(keR),点M(4,0),曲线E上任意一点N均满足 3已知集合4=e,m号血B={-号，2则4n8 O示.M不=0（其中0为坐标原点），则 A.直线I过定点 A.12e B{-2 c{2 n{-2 B.存在实数k,使直线1与曲线E无公共点 4.若直线y=2x+2与曲线y=e-'+x+a相切，则实数a= C.直线1被曲线E截得的弦长的最小值为22 D.当k=-1时，直线！被曲线E截得的弦长最大 A.-2 B.-1 C.1 D.2 I1.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC⊥BC,AM=AC=BC=2,P为棱AA,的中点，Q是侧面 5.函数(x)=xe甲的图象大致为 BCC,B,内一点（含边界），PQ=6,则 A.AB1⊥BC B点P到平面ACB,的距离为 C.直线PB,与平面ACB,所成角的正弦值为 D点0的销迹长度为号。 数学第1页（共4页） 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 17.(15分)》 2已知圆C号苦-1a>0的右货点10).则C的客心率为 如图，在四棱锥P-ABCD中，平而PAB⊥平面ABCD,∠ABC=,BC∥AD,AD=1,PB= 13.已知函数f(x)=cos(x+p）+3sin(r+p)(w>0,0<e<T)是奇函数，函数g(x)= PA=AB=BC=2,M为PD的中点，点N在棱BC上，且3BW=NC in(aox+p)的图象在区间(0，π)上恰有2条对称轴，则w的取值范围为 (1)求证：MW∥平面PAB: 14.甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束， (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值. 已知每局甲胜乙的概率为(0<p<1),无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概 率为f代p),则当f代p)取最大值时，p= 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分】 18.(17分) 某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群 定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下2×2列 已知函数fx)-5+es(0<x<2知. 联表： (1)求不等式f(x)>2f2x)的解集； 白内障患者 非白内障患者 合计 (2)讨论f(x)的单调性： 老年人 名 100 (3)已知函数h(x)=x[f(x)-sinx-t]-5(0<t<1),证明：(x)在(0，r)上有且只有一 非老年人 64 个极小值点 合计 60 180 (1)请完善上述2×2列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率： (2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关 n(ad-bc)2 a 0.10.050.010.005 0.001 附X=(a+b)(c+)(a+c)(b+d西 19.(17分) 2.706 3.841 6.635 7.87910.828 已知双曲线E号-泰1(a>0,b>0)的右焦点为(2,0)，一条渐近线方程为y=5 (1)求E的方程 (2)设O为坐标原点，过点F的直线1与E的右支交于M,N两点，其中点N在第四象限， 16.(15分) 直线M0与E的另一个交点为R 在△MBC中，∠ABC=,点D在边AC上，△MBD的面积为号AB=5,AD=3. (i)若IMF1=5INFI,求l的方程； (i)求AMNR面积的取值范围. (1)求BD: (2)求△BCD的面积 数学第3页（共4页） 数学第4页（共4页）