精品解析：安徽安庆市太湖县2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试题卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级 数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2.选择题答题时，请用2B铅笔把答题卡上对应的选项涂黑，修改时用橡皮擦擦干净;非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.必须在题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4.保持答卷整洁、完整． 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若一个三角形的三边长分别为3，6，，则的值可以是（ ） A. 11 B. 8 C. 3 D. 2 3. 下列各图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的平分线，点P到的距离为3，点N是上的任意一点，则线段的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 三角形的三条高所在直线一定相交于三角形内 C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形 D. 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 6. 如图，在△ABC中，AB＝BC，顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(2，0)，若一次函 数y＝kx＋2的图象经过点A，则k的值为(　　) A. B. － C. 1 D. －1 7. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 20 D. 48 9. 如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 某中学组织八年级学生前往A城参加研学活动，学生分为甲、乙两队相继从学校乘车出发，沿同一路线匀速前往A城．甲、乙两队离开学校的距离y（千米）与甲队行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①学校与A城相距300千米；②乙队比甲队晚出发1小时，却早到1小时；③乙队出发后小时追上甲队；④甲乙两队相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣1时y＝5，则y与x的函数关系式是 _____． 13. 新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第______象限． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为_______； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，试判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由． 16. 在△ABC中，∠A=∠B+20°，∠C=∠A+50°，求△ABC各内角的度数. 17. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）． （1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围； （2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标． 18. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， （1）直接写出的面积_______； （2）作出关于直线对称的； 19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形． 21. 如图，直线y＝kx＋1（k≠0）与两坐标轴分别交于点A、B．直线y＝－2x＋4与y轴交于点C，与直线y＝kx＋1交于点D．△ACD的面积为． （1）求k的值； （2）直接写出不等式x＋1＜－2x＋4的解集； （3）点P在x轴上，如果△DBP的面积为4，点P的坐标． 22. （1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED与D，过B作BE⊥ED于E，求证：△BEC≌△CDA； （2）【模型应用】：已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式； 23. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级 数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2.选择题答题时，请用2B铅笔把答题卡上对应的选项涂黑，修改时用橡皮擦擦干净;非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.必须在题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4.保持答卷整洁、完整． 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 2. 若一个三角形的三边长分别为3，6，，则的值可以是（ ） A. 11 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 根据三角形的三边关系列出不等式组，求出的取值范围，进而即可得解． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 解得， 的值可以是8， 故选：B． 3. 下列各图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 4. 如图，是的平分线，点P到的距离为3，点N是上的任意一点，则线段的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等，过点P作于D，于C，则，根据角平分线的性质得到，由此得到，熟记角平分线的性质是解题的关键 【详解】解：过点P作于D，于C，则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵点N是上的任意一点， ∴， 故选C 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 三角形的三条高所在直线一定相交于三角形内 C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形 D. 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的分类、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A选项，钝角三角形的钝角的外角小于这个钝角，故命题错误； B选项，钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外，故命题错误； C选项，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故命题错误； D选项，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，故命题正确.故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是命题与定理，解题的关键是熟练掌握命题与定理. 6. 如图，在△ABC中，AB＝BC，顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(2，0)，若一次函 数y＝kx＋2的图象经过点A，则k的值为(　　) A. B. － C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出点A的坐标，再把顶点A的坐标代入一次函数y=kx+2，求出k的值即可． 【详解】解：∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵等腰三角形ABC的顶点B在y轴上，C的坐标为（2，0）， ∴A（-2，0）， ∵一次函数y=kx+2的图象经过点A， ∴0=-2k+2， 解得k=1， 故选C． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 7. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 8. 如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 20 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可． 【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6， 当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×4=24． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 9. 如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点在的垂直平分线上，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 平分， ， 又， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， 平分，， 又∵， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ， ， ， 故选：A． 10. 某中学组织八年级学生前往A城参加研学活动，学生分为甲、乙两队相继从学校乘车出发，沿同一路线匀速前往A城．甲、乙两队离开学校的距离y（千米）与甲队行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①学校与A城相距300千米；②乙队比甲队晚出发1小时，却早到1小时；③乙队出发后小时追上甲队；④甲乙两队相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图像的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．观察图像可判断①②，由图像所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图像的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案． 【详解】解：由图像可知A、B两城市之间的距离为300千米，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把代入得：， 解得， ∴， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得： ， 解得， ∴， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误； 令，可得， 即， 当时，解得， 当时，解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达B城，； 综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，故④错误； 综上可知正确的有①②共2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件：被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解： ∵有意义， ∴ x−2≥0 且x+1≠0， ∴自变量x的取值范围是 x≥2 ， 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣1时y＝5，则y与x的函数关系式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，将x＝﹣1，y＝5，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：∵y﹣2与x成正比例， ∴设，当x＝﹣1时y＝5， 则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的意义，根据题意设解析式，待定系数法求解析式是解题的关键． 13. 新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，判断点所在的象限．根据新定义，关联数对应一次函数的系数，正比例函数要求常数项为零，从而求出m的值，再代入点的坐标进行判断该点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”为的一次函数是正比例函数， ∴是正比例函数， ∴， 解得， ∴ 则点坐标为， ∴点在第二象限． 故答案为：二 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为_______； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为_______． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而求出点的坐标，根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （2）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：（1）∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； 将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； （2）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 或或． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，试判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由． 【答案】 解：A，B，C三点在同一直线上，理由如下： ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，； 故点在直线上，即：A，B，C三点在同一直线上． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，求出直线的解析式，把点代入解析式，进行判断即可． 【详解】略 16. 在△ABC中，∠A=∠B+20°，∠C=∠A+50°，求△ABC各内角的度数. 【答案】∠A=50°∠B=30°∠C=100° 【解析】 【分析】设∠A=x,则∠B、∠C都用含x的式子表示，再根据三角形内角和是1800即可求得x，进而得到其他内角的度数. 【详解】设∠A=x,则∠B=x-20°， ∠C=x+50° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴x+(x-20)+(x+50)=180 解得：x=50 ∴∠A=50°∠B=30°∠C=100° 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，用x表示出∠B、∠C，然后列出关于x的方程是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）． （1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围； （2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标． 【答案】(1) ﹣4≤y＜6；（2）点P的坐标为（2，﹣2） . 【解析】 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （1）利用一次函数增减性得出即可． （2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得． 【详解】设解析式为：y=kx+b， 将（1，0），（0，2）代入得：， 解得：， ∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2； （1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6， 把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4， ∴y的取值范围是﹣4≤y＜6． （2）∵点P（m，n）在该函数的图象上， ∴n=﹣2m+2， ∵m﹣n=4， ∴m﹣（﹣2m+2）=4， 解得m=2，n=﹣2， ∴点P的坐标为（2，﹣2）． 【点睛】考点：1、待定系数法求一次函数的解析式，2、一次函数图象上点的坐标特征，3、一次函数的性质 18. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， （1）直接写出的面积_______； （2）作出关于直线对称的； 【答案】（1） （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查轴对称的作图和利用网格求三角形面积． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：的面积 故答案为： 【小问2详解】 略 19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】 证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【解析】 【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形． 【答案】 证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ABC ＝72°． 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝36°． ∴∠BAD＝∠ABD． ∴AD＝BD． 又∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，即EF⊥AB． （2）∵EF⊥AB，AE＝BE， ∴EF垂直平分AB． ∴AF＝BF． ∴∠BAF＝∠ABF． 又∵∠ABD＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠FBD＝36°． 又∵∠ACB＝72°， ∴∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°． ∴∠CAF＝∠AFC＝36°． ∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB； （2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握并能综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 21. 如图，直线y＝kx＋1（k≠0）与两坐标轴分别交于点A、B．直线y＝－2x＋4与y轴交于点C，与直线y＝kx＋1交于点D．△ACD的面积为． （1）求k的值； （2）直接写出不等式x＋1＜－2x＋4的解集； （3）点P在x轴上，如果△DBP的面积为4，点P的坐标． 【答案】（1）k＝1 （2）x＜1 （3）P点坐标为（－5，0）或（3，0） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得的坐标，设D点的坐标为（t，－2t＋4），根据△ACD的面积为，求得点的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象以及D点的横坐标即可求解； （3）先求得B的坐标，设P（m，0），根据三角形的面积为4，建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：当x＝0时，y＝kx＋1＝1，则A（0，1）， 当x＝0时，y＝－2x＋4＝4，则C（0，4）， 设D点的坐标为（t，－2t＋4）， ∵△ACD的面积为， ∴×（4－1）×t＝，解得t＝1， ∴D（1，2）， 把D（1，2）代入y＝kx＋1得k＋1＝2， ∴k＝1； 【小问2详解】 由D（1，2）， 根据图象可知：不等式x＋1＜－2x＋4的解集为x＜1； 【小问3详解】 当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，则B（－1，0）， 设P（m，0）， ∵△DBP的面积为4， ∴×|m＋1|×2＝4，解得m＝3或－5． ∴P点坐标为（－5，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，直线围成的三角形的面积，根据交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 22. （1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED与D，过B作BE⊥ED于E，求证：△BEC≌△CDA； （2）【模型应用】：已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式； 【答案】 （1）证明：∵AD⊥ED， BE⊥ED ∴∠E=∠D=90° 又∵∠ACB=90°， ∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠ACD， 在△BEC和△CDA中， ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）y=x+3 【解析】 【分析】（1）由条件可求得∠EBC=∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；（2）过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CD=BO，BD=AO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式 【详解】略 （2）如图，过C作CD⊥x轴于点D， 直线与y轴交于A点，与x轴交于B点， 令y=0可求得x=-4，令x=0可求得y=3， ∴OA=3，OB=4， 同（1）可证得△CDB≌△BAO， ∴CD=BO=4，BD=AO=3， ∴OD=4+3=7， ∴C（-7，4），且A（0，3）， 设直线AC解析式为y=kx+3，把C点坐标代入可得4=-7k+3，解得k= ∴直线AC解析式为y=x+3 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及待定系数法求一次函数解析式，掌握全等三角形的判定方法是本题的解题关键. 23. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3） 解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $