精品解析：四川泸州市龙马潭区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025年秋期学生学业评价试题 八年级数学 全卷满分为150分；考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效． 3．每小题答案选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 4．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 3. 一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据图上标注的信息，则的大小（ ） A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（ ）cm A. 8 B. C. D. 7. 如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，交于点D，，则的长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，，，，则的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 12. 定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（ ） A. 17是和谐数 B. （，是整数）不一定是和谐数 C. 如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D. 当时，（，是整数）是“和谐数” 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 13. 已知点关于轴的对称点为点，则的值为______． 14. 分解因式：_________________． 15. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 16. 若分式的值为零，则x的值是______． 17. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________． 三、解答题（18-19题每题8分，20-22题每题10分，23-25题每题12分） 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，请从中选取合适的的值代入． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 21. 如图，三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出的各顶点坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的面积是的2倍（点为点关于轴对称点），求出点的坐标． 22. “如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 23. 如图，平分，，，垂足分别为点，，． （1）求证：； （2）如果，，求证：； （3）若，，求四边形的面积． 24. （1）若关于的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：∵， 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： i）如图，点是线段上的一点，分别以为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为40，则的面积为______； ii）若，求的值． 25. 已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图①，当点为中点时，求证：； （2）如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，判断线段与之间的数量关系，并证明； （3）当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期学生学业评价试题 八年级数学 全卷满分为150分；考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效． 3．每小题答案选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 4．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 3. 一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数． 【详解】解：， 选故：B． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘法，，即可． 【详解】∵，，， ∴． 故选：B． 5. 如图，根据图上标注的信息，则的大小（ ） A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理即可列式求解． 【详解】如图，∠ABC=180°- ∵∠ACD=∠A+∠ABC ∴-15°=45°+180°- 解得=120° 故选D． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟知三角形的外角性质． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（ ）cm A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解．先利用垂直平分线的性质得出，结合，可得，再结合，可求得的周长． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ． ， ． ， ． ， 的周长为． 故答案为：D． 7. 如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有关三角形中线的三角形面积计算，由中线得，，， ，，进行转化，即可求解． 【详解】解：三边的中线，，的公共点， ，，， ， ∴ ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得， 阴影部分面积为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，交于点D，，则的长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得BD=6，AD=DC=3，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查含30°直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含30°直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故选：B． 10. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵时，不可能取， ∴； 故选：A． 11. 如图，，，，则的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 首先作于，作交的延长线于．根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积． 【详解】解：作于，作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 的高即为， ． 故选：C． 12. 定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（ ） A. 17是和谐数 B. （，是整数）不一定是和谐数 C. 如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D. 当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.，  17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C.  ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 13. 已知点关于轴的对称点为点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 14. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 15. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央． 根据完全平方式的特点作答即可． 【详解】解：∵即可以用完全平方式来分解因式， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 17. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________． 【答案】(0，3) 【解析】 【分析】由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4， 则B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故答案为：（0，3）． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键． 三、解答题（18-19题每题8分，20-22题每题10分，23-25题每题12分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算；先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，请从中选取合适的的值代入． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如图，三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出的各顶点坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的面积是的2倍（点为点关于轴对称点），求出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求作： ，， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的面积问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）结合图形，用长为5，宽为3的长方形的面积减去多余的三角形的面积即可； （3）设，根据，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示： 所求三角形的面积等于长方形的面积减去三个三角形的面积，得； 【小问3详解】 解：令，， ， 解得，， ∴或． 22. “如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】（1）款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 【小问2详解】 设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 23. 如图，平分，，，垂足分别为点，，． （1）求证：； （2）如果，，求证：； （3）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴，； 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． （3）四边形的面积是40 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质；掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征得，由角平分线的性质定理得，即可得证； （3）结合全等三角形的性质得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知 ∴， ∴ ． 答：四边形的面积是40． 24. （1）若关于的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：∵， 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： i）如图，点是线段上的一点，分别以为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为40，则的面积为______； ii）若，求的值． 【答案】（1）6；（2）（i）6（ii）5 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景： （1）将原多项式去括号、合并同类项，令项的系数为0，求出m的值即可； （2）（i）分别设正方形和的边长分别为未知数，得到二者之和、二者平方之和，从而得到二者之积，进而可求得的面积；（ii）分别用字母表示和，从而得到二者之和、二者之积，计算二者平方之和即可． 【详解】解：（1） ， ∵不含有项， ∴， ∴， 故答案为：6． （2）（i）设正方形和的边长分别为a和b，则的面积为； 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． （ii）令，，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图①，当点为中点时，求证：； （2）如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，判断线段与之间的数量关系，并证明； （3）当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形，点为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质及等腰三角形性质可得，从而得出结论； （2）通过论证是等边三角形得到，进而得出结论； （3）通过作得出，进而得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的长为或，理由如下： 当点在线段的延长线上时， 作交于点，如图： 同（2）知，为等边三角形， ∴，， ∵点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在线段上时，作交于点，如图： 同理可证明，， ∴， 综上所述，的长为或. 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $