精品解析：河北冀州中学2025-2026学年上学期高一期末质量检测数学试题

2025~2026学年度上学期高一期末质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某扇形弧长与面积的数值都是4，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 幂函数在上单调递增，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若为第二象限角，且，则＝（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各项不能表示同一个函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 图象的对称中心为 11. 设且，则有（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定为___________． 13. 在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 14. 已知的值域为，，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 若角满足 （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数． （1）当时，求出函数在上值域； （2）求关于的不等式的解集． 17. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若存在实数使得，证明：． 18. 某产品的市场调研如图所示，产品市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，产品的成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线表示． （1）写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的成本与上市时间的函数关系式； （2）若设定市场售价减去成本为纯收益，则何时上市产品纯收益最大？ （注：产品市场售价和成本的单位：元／件，时间单位：月） 19. 已知函数. （1）求的最小正周期 （2）已知，函数是偶函数，求的值. （3）函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 20. 已知函数奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． （3）令，对于定义域内的，若且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高一期末质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】因为集合， 所以． 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据充分必要条件的定义判断可得结果. 【详解】由“”可得出“”或“”，所以由“”推不出“”， 而由“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项进行判断. 【详解】因，所以，，，， 所以ABD错误，C正确， 故选：C 4. 已知某扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，扇形面积为， 则，解得， 故选：B. 5. 幂函数在上单调递增，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在上单调递增， 得且， 所以. 故选：C 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断的关系及的符号，再结合基本（均值）不等式求范围即可. 【详解】因为的解集为， 所以，为方程的解， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 故选：A 7. 若为第二象限角，且，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知可求得，利用三角函数诱导公式可求得. 【详解】因为为第二象限角，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 所以. 故选：C. 8. 若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对时，由得，再结合函数的单调性可判断对任意a函数有唯一零点；再对时，将函数的零点转化为方程的根，进而转化为与有2个交点问题，用数形结合可得. 【详解】①当时，，令，得， 因为是上单调递增函数，所以，即， 设，显然在上单调递减，且. 所以对任意的a，方程在上有且仅有一个解. ②当时，，令，得， 即，， 令，函数是一个开口向上的二次函数的一部分，要使有三个零点， 则方程就有2个非正根，即函数与有两个交点，如图： 由图可知. 综合①②可知，要使有三个零点，a的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各项不能表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】同一函数要求定义域和解析式完全一致，根据每个选项中的解析式分别求解定义域，化简解析式，再判断即可. 【详解】对于，因为，不是同一函数； 对于，因为的定义域为，的定义域为，不是同一函数； 对于，因为的定义域为，的定义域为，不是同一函数； 对于，，所以与定义域与解析式完全一致，是同一函数. 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 图象的对称中心为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为， 所以，所以， 因为，可得， 所以，则，因为，所以， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为， 所以直线不是图象的一条对称轴，C错； 对于D选项，由可得， 所以图象的对称中心为，D对. 故选：ABD. 11. 设且，则有（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 当时，上单调递减 D. 当时，在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】利用对数的性质求函数的定义域判断A，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性判断B，由对数复合函数的单调性，结合参数范围判断的单调性判断CD. 【详解】由题设， 则，定义域，A错， 由， 所以为偶函数，B对， 由题设，定义域为， 由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，C对，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是：. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为：. 14. 已知的值域为，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类，分，和，利用指数函数和分段函数的性质，直接求出函数的值域，再结合条件，即可求解. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时； 当时，，当且仅当时，等号成立， 且函数的值域满足，则，解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时，等号成立， 且函数的值域满足，不合题意； ③当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，符合题意； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 若角满足 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助两弦之积，先求，再开方即可； （2）先求两弦值，代入目标式即可. 【小问1详解】 因为角满足， 则， 所以，又因为，则且， 所以， 由且，有，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，则， 则. 16. 已知函数． （1）当时，求出函数在上的值域； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，得到，根据二次函数的性质，结合给定的区间，求出函数的最值，进而得出函数的值域； （2）先对分解因式，然后根据与4的大小关系进行讨论分别求解的解集. 【小问1详解】 当时，，其对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 ，由， 即， 当时，得， 当时，得，不等式无解， 当时，得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上单调性，并用单调性的定义证明； （3）若存在实数使得，证明：． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式求出即可. （2）利用函数单调性定义判断并证明. （3）根据得到的关系，再根据函数单调性进行证明. 【小问1详解】 点在图象上，得，解得， 所以函数的解析式为 【小问2详解】 在上单调递增， 证明如下： ，令，任取，且， 则， 由，得，，即， 则，即有，又函数在上单调递增， 因此，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由，得，而单调递增， 则，即，又，因此， 而且，则，由（2）知在上单调递增， 所以. 18. 某产品的市场调研如图所示，产品市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，产品的成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线表示． （1）写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的成本与上市时间的函数关系式； （2）若设定市场售价减去成本为纯收益，则何时上市的产品纯收益最大？ （注：产品市场售价和成本的单位：元／件，时间单位：月） 【答案】（1）；. （2）当月时上市有最大收益元／件. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式；根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （2）结合（1）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值. 【小问1详解】 由题意可设函数解析式， 当时，，， 当时，，， 所以； 设函数解析式， 由图可得，解得， 所以. 综上可得：；. 【小问2详解】 设收益， 当时，， 当时，有最大值； 当时，， 当时，有最大值； 综上：当月时上市有最大收益元／件. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期 （2）已知，函数是偶函数，求的值. （3）函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再求出其周期. （2）利用正弦函数性质列式求解. （3）利用正弦函数性质及零点个数列式求解. 【小问1详解】 函数 ， 所以函数最小正周期. 【小问2详解】 由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. 【小问3详解】 当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 20. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． （3）令，对于定义域内的，若且，求的最大值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域为，由，求得实数的值，并检验； （2）当时，，所以可分离参数，得.通过求的取值范围，求出实数的取值范围； （3），根据，利用基本不等式，求得的取值范围，由，得，从而求得的取值范围，并求得最大值． 【小问1详解】 函数的定义域为R. 因为函数为奇函数，所以，所以，解得. 当时，. ，所以函数为奇函数. 故实数的值为1. 【小问2详解】 由（1）知. 因为所以. 所以当时，，，. 若不等式对任意都成立，则. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以，所以，所以. 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 因为，所以. 因为，所以的定义域为R. 对于定义域内的，若且， 则且. 所以， 所以. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以， 所以，即. 所以. 因为，所以，所以，所以. 所以，所以 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $