第六章一次函数寒假专项巩固练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第六章一次函数章末巩固练习题 一、单选题 1．若点在直线上，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 4．代数式的值随变化如下表： 0 1 2 6 3 0 ①；②；③的解为；④值随增大而减小 正确结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 6．某天，某同学早上9点坐车上高速出发去外地研学，汽车进入高速行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（   ） A．汽车在途中加油用了15分钟 B．该同学到达目的地 C．若，则加满油以后的速度为96千米/小时 D．若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 7．若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 8．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．② D．①②③ 9．点在直线上，它到轴的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D．或 10．如图，表示一次函数与正比例函数（m，n是常数，）图象的是（    ） A．B． C． D． 11．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 12．向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如果函数是正比例函数，那么 ． 14．如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为 ． 15．已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 16．对于一次函数，下列说法正确的有 （填写序号） ①图像不经过第三象限； ②点在直线上； ③图像与直线平行； ④图像与直线的交点在x轴上； ⑤若点，在该函数图像上，则； ⑥图像可以由直线向右平移3个单位长度得到； ⑦图像与两坐标轴形成的三角形面积为18． 17．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是 ．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 三、解答题 18．已知与x成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式． (2)该函数经过点，求a的值． 19．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 20．已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的取值范围． 21．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数是（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)销售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为 ． (2)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款多少元？ 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C． (1) ___________， ___________； (2)若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标． 23．人工智能广泛应用于生活，为人们带来更多便捷．某酒店的机器人小智和小优准备从酒店前台出发，沿相同路线，将物品送至同楼层的库房，它们到达库房后即停止运动．已知小智比小优先出发，且速度保持不变；小优出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小智行走的时间为（单位：分），小智和小优离开前台的路程分别为（单位：米），（单位：米），，与之间的函数图像，分别为如图的线段和折线． (1)前台到库房的路程为___________米；小优提速前的速度为___________米分； (2)分别求线段和线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； (3)从小智出发至到达库房，小优和小智最远相距___________米． 24．【概念引入】 对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“分函数”（其中为常数）． 【理解运用】 （1）对于一次函数，写出它的2分函数的表达式； （2）若点在一次函数的2分函数的图象上，求n的值； 【推展延伸】 （3）在平面直角坐标系中直接画出一次函数的3分函数的图象，结合图象回答问题：当时，，则的值为_____； 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，已知点在直线上，将点的坐标代入解析式是解决此题的关键． 点A在直线上，故其坐标满足直线方程，直接代入计算即可． 【详解】解：∵点在直线 ∴将代入，得， ∴， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，在应用一次函数的性质的时候，常常与函数的图象相结合，借助函数的图象叙述函数的性质可以更直接、更具体．根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足①，不满足②，满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，当时，，则该函数图象经过点，不符合①，不符合题意； C、在中，一次项系数大于0，常数项大于0，则该函数图象经过第一、二、三象限，不符合②，不符合题意； D、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，且随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质．利用表格中x与的对应值，求出k和t，再验证其他结论． 【详解】解：∵当时，，∴，①正确； 当时，，∴，②正确； 方程即，解得，③正确； ∵，∴值随x增大而减小，④正确； ∴ 所有结论正确， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了正比例函数，先求出正比例函数的比例系数，然后验证各点是否满足函数解析式即可，正确求出正比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数为， ∵图象经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为， 当时，，不经过，故A不符合题意； 当时，，不经过，故B不符合题意； 当时，，不经过，故C不符合题意； 当时，，经过，故D符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查函数图象，能够读懂图象并从中获取有效信息是解题的关键． 根据速度、时间、路程之间的关系，结合函数图象逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：由图知，汽车在途中加油用了（分钟）， 故A选项正确，不符合题意； 该同学早上9点出发，路上用时分钟， 该同学到达目的地，故B选项正确，不符合题意； ， ， 解得， 加满油以后的速度为（千米/小时）， 故C选项正确，不符合题意； 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则， 解得， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1且系数不为零． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得， 或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 的值为． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． ①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， .∴，即，故②正确； ∵，， ∴ 当的值每增加，，故③错误； 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查了一次函数，先根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值确定点的纵坐标可能值，再代入直线方程求出横坐标，最后依据点到轴的距离等于横坐标的绝对值得到结果． 【详解】解：点到轴的距离为， 点的纵坐标为或， ①当时，代入， 可得：， 解得“， 点到轴的距离为； ②当时，代入， 可得：， 解得：， 点到y轴的距离为； 点到轴的距离为或． 10．C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： 当函数的图象经过第一、二、三象限； 当函数的图象经过第一、三、四象限； 当函数的图象经过第一、二、四象限； 当函数的图象经过第二、三、四象限． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据、同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：A、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误； B、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误； C、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确； D、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误． 故选：C． 11．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 12．A 【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器各部分的大小与高度不同，每部分的粗细不同得到用时的不同．可得水面高度随注水量变化而分三个阶段，再进一步分析即可. 【详解】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 13． 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，函数形式需为（其中），即指数为1且系数非零，据此列方程求解． 【详解】解：由正比例函数的定义，得且， 解得或且， 即． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，将，代入，得出方程组，解方程组即可得一次函数解析式，再求出时对应的x值即可得点C的坐标． 【详解】解：将，代入， 可得， 解得， ∴， 当时，，即． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 根据可知y随x的增大而减小，进而判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 16．①②③⑥ 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：①．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①正确； ②．∵时，， ∴函数图像必经过点，故②正确； ③．∵与的一次项系数k均为， ∴的图像与直线平行，故③正确； ④联立 解得： ∴图像与直线的交点为，在轴上，不在x轴上，故④不正确 ⑤．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故⑤不正确． ⑥由直线向右平移3个单位长度得到，故⑥正确； ⑦一次函数，当时，；当时， 图像与坐标轴的交点坐标为和 ∴图像与两坐标轴形成的三角形面积为，故⑦不正确 故答案为：①②③⑥． 17．①④ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效地获取信息，求出甲，乙两队的挖掘速度，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲的挖掘速度为，乙队在的挖掘速度为：，之后的挖掘速度为， 故当甲队开挖到时，用了；故①正确； 由图象可知开挖时甲队比乙队多挖了；故②错误； 由图象可知，乙队在的时段，为分段函数，当时，，不是，故③错误； 当时，甲挖掘的长度为，乙挖掘的长度为，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，故④正确； 故答案为：①④． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求一次函数自变量或函数值等知识点，解题关键是正确求出函数关系式． （1）设，根据当时，，转化为关于k的方程求解即可； （2）将点代入（1）中求得的函数关系式，得到关于a的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为． （2）∵该函数经过点， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，自变量取值范围的计算是关键． （1）根据一次函数的定义，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，函数值的取值方法计算自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：已知是的一次函数， ∴设， ∵当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大， ∵， ∴当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴当时，的取值范围为． 21．(1) (2)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款315元 【分析】本题考查正比例函数关系式： （1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解； （2）将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，， 售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：； （2）解：当时，， 即当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款315元． 22．(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象的应用，两直线的交点坐标，用一次函数求三角形的面积，分类讨论是解题的关键． （1）根据两个一次函数图象交于点，可求出，再把点坐标代入即可求； （2）设点的坐标为，根点在点B下方和点在点B上方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与一次函数相交于点 点既在上也在上， 由可得：， ； 点的坐标为， 把点B代入可得，即； 故答案为：；； （2）解：， 设点的坐标为， 当点在点B下方时，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 当点在点B上方时，， ， 解得：， 此时点的坐标为， 综上分析可知：点的坐标为或． 23．(1)，； (2)线段对应的函数表达式为；线段对应的函数表达式； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． （）根据图像即可求解； （）先求出小优提速后的速度为米分，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出线段解析式为，然后分当时，当时，当时，当时，进行求解，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据图像可知：前台到库房的路程为米，小优提速前的速度为（米分）； 故答案为：，； （2）解：∵小优提速前的速度为米分， ∴小优提速后的速度为米分， ∴设线段的解析式为， 根据图像可得：， ∴，解得：， ∴线段的解析式为， 当时，，解得， ∴点， 设线段对应的函数表达式为， ∴，解得：， ∴线段对应的函数表达式为； （3）解：设线段解析式为， ∴，解得：， ∴线段解析式为， ∵线段对应的函数表达式为； ∴当时，，解得：，即， 当，解得，即小优和小智分钟相遇， 当时，小优和小智相距， ∴当时，小优和小智相距（米）； 当时，小优和小智相距， ∴当时，小优和小智相距（米）； 当时，小优和小智相距， ∴当时，小优和小智相距（米）； 当时，小优到达库房，则小优和小智相距， 当时，小优和小智相距（米）； 综上可得：小优和小智最远相距米， 故答案为：． 24．（1）；（2）n的值为或；（3）见解析， 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是理解题意，理解分函数的定义及分类讨论，数形结合思想的应用． （1）直接根据分函数的定义求解即可； （2）分类讨论求解即可； （3）根据分函数的定义画图象即可，再结合图象即可得解； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）当时，，解得：， 当时，， 解得：． ∴n的值为或． （3）由题意得，， 画图如下，      当时，的最大值为2， 当时，或， 解得：或． ∴； ∴，； ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $