第6章 一次函数复习课教学设计2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

“双车行程”中的函数智慧 -- 一次函数复习课教学设计 一、基本信息 项目 内容 课题 双车行程中的数学智慧 —— 一次函数复习课 教材版本 鲁教版七年级上册 授课年级 课时 1 课时（45 分钟） 二、教学内容分析 （一）教材地位与作用 一次函数是初中数学 “数与代数” 领域的核心内容，是学生从常量数学向变量数学过渡的关键载体。本节课是鲁教版七年级上册一次函数章节的复习课，在学生已初步掌握一次函数概念、表达式、图象与性质的基础上，以 “双车行程” 为现实情境，串联一次函数与方程、不等式的关系，强化数学建模思想。 从知识逻辑看，本节课既是对一次函数基础知识的系统梳理，也是对 “数形结合”“分类讨论” 等数学思想的深化应用，为后续学习反比例函数、二次函数，以及解决更复杂的实际问题奠定基础；从应用价值看，通过行程问题、购物方案选择等生活场景，能让学生体会数学与现实生活的紧密联系，提升用数学知识解决实际问题的能力。 （二）教学核心内容 1.知识层面：梳理一次函数的概念、表达式、图象与性质，以及一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系。 2.能力层面：能根据实际情境确定一次函数表达式，能通过图象分析函数性质，能运用一次函数解决行程相遇、方案选择等实际问题，提升数学建模能力。 3.思想层面：渗透数形结合思想、分类讨论思想、建模思想，能从均匀变化的实际问题中抽象出一次函数模型。 三、学情分析 （一）已有知识基础 1.八年级学生在七年级已学习一次函数的基本概念、表达式、图象绘制方法，能初步根据k和b的符号判断函数图象的位置，具备一定的函数思维基础。 2.学生已掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法，能初步理解“方程的解是函数图象交点横坐标”“不等式的解集是函数图象在某一区域的x范围”，但对三者的内在联系缺乏系统梳理。 3.学生在生活中接触过行程问题、购物方案选择等场景，具备一定的生活经验，能理解“路程、时间、速度”“总价、单价、数量”等基本数量关系。 （二）存在的困难与挑战 1.知识碎片化：学生对一次函数的概念、图象、性质、与方程/ 不等式的关系掌握较为分散，难以形成完整的知识网络。 2.数形结合能力薄弱：部分学生能通过代数方法（列方程 / 不等式）解决问题，但难以通过函数图象直观分析，或不能将图象信息转化为代数语言。 3.建模意识不足：学生能解决直接给出函数表达式的问题，但难以从“均匀变化”的实际问题中抽象出一次函数模型，对“k和b的实际意义”理解不深刻。 4.分层差异明显：基础薄弱的学生可能在函数表达式求解、图象绘制上存在困难；中等学生能解决常规问题，但在复杂情境（如方案选择）的分类讨论上易出错；优秀学生需要更具挑战性的任务来拓展思维。 四、教学目标 （一）知识与技能目标 1.能准确判断一次函数，能根据已知条件确定一次函数表达式。 2.能结合图象分析一次函数的性质，并解释k、b的实际意义。 3.能系统梳理一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系，能用代数法（列方程/不等式）和几何法（图象分析）解决实际问题。 （二）过程与方法目标 1.通过 “个人自学→同伴助学→互动展学→分层拓学→教师导学” 的环节，经历一次函数知识的梳理与应用过程，提升自主学习、合作交流、逻辑推理能力。 2.通过 “双车行程”的情境，掌握 “实际问题→数学模型→求解→解释预测” 的建模流程，强化数形结合、分类讨论思想。培养学生发现生活中的数学问题，并能用数学的思维去思考和解决实际问题。 （三）情感态度与价值观目标 1.体会一次函数在解决生活实际问题中的应用价值，感受数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。 2.通过小组合作、成果展示，增强学习自信心与团队协作意识；通过 “学习成绩与时间的函数关系” 的类比，树立积极的学习态度。 五、教学重难点 （一）教学重点 1.一次函数的图象与性质（k、b的作用）及k、b的实际意义。 2.一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的关系，能用不同方法解决实际问题。 3.数学建模思想的应用（从实际问题中抽象出一次函数模型）。 （二）教学难点 1.数形结合思想的灵活运用（如通过图象分析两车到达时间的差异）。 2.实际情境中自变量取值范围的确定，以及一次函数模型的现实背景。 六、教学方法与教学准备 （一）教学方法 1.情境教学法：以 “双车行程”为核心情境，将抽象的函数知识融入具体生活场景，降低学习难度。 2.分层教学法：通过 “基础问题（如判断函数类型）→中档问题（如求两车同时到达的距离）→挑战问题（建立模型）” 的设计，满足不同层次学生的需求。 3.合作探究法：设置 “同伴助学”“互动展学” 环节，鼓励学生小组讨论、上台展示，促进思维碰撞。 4.错误反馈法：利用学生绘制图象时 “忽略实际取值范围” 的典型错误，强化知识重点，突破认知误区。 （二）教学准备 1.教师准备：多媒体课件、网格纸、学案等。 2.学生准备：准备直尺、铅笔、中性笔等。 七、教学过程设计 【教学内容】 一次函数 表达式 自变量 因变量 待定系数 图象 任务一：行程分析 活动1【个人自学】基本概念 两车距离A地的路程s(千米)相对于时间 t（小时）的函数： · 甲车： s=80t · 乙车： s=60t+30 基础问题：y与x之间的函数类型是什么？为什么？ 【教师活动】 1. 创设生活情境，引导学生观察生活中的数学元素； 2. 展示双车行程示意图及函数表达式，引发学生思考。 3. 通过函数类型分析，回忆一次函数的定义和相关概念 【学生活动】 1. 自由发言，分享生活中观察到的车辆差异； 2. 观察函数表达式，初步判断函数类型，产生探究兴趣。 3. 通过关系式回忆一次函数的定义，通过填表回忆一次函数的相关概念 设计意图：1. 从学生熟悉的生活场景切入，降低陌生感，激发学习兴趣；2. 直接呈现核心函数，为后续知识梳理与应用铺垫。 【教学内容】 活动2【同伴助学】图象与性质 1.在网格纸上画出对应的图象 2.根据图像特点明确函数的性质和实际意义，并填写到表格中 研究对象 性质 实际意义 k b 评价标准 （个人自评） 能够准确判定一次函数 能够准确画出一次函数的图象，并通过结合图像分析函数性质 能结合图象及现实情境进行分析，并能给同伴提供帮助 评价等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 【教师活动】 1. 引导学生用两点作图法绘制一次函数的图象 2. 收集学生绘制的图象，投屏展示典型错误，引导学生讨论自变量取值范围；借助教学资源，带领学生复习一次函数的性质，并绘制不同情况下一次函数图象 3. 梳理汇总一次函数的图象与性质，初步掌握k和b 的意义。 4. 结合实际背景，组织学生通过小组合作，分析k和b的实际意义。 【学生活动】 1. 自主绘制函数图象，小组内对比，发现错误（如负半轴），讨论并修正； 2. 通过观察图像， 小组合作分析k、b的性质 3. 绘制不同k和b组合下，一次函数的图象 4. 通过小组合作，结合一次函数的图形和性质，具体分析k和b的实际意义。 5. 完成个人自评 设计意图：学生对一次函数的图象和性质等相关知识有所遗忘，所以基础内容不能丢。通过在作图环节巡视发现，学生绘制了完整图象这一典型错误，利用典型错误强化 “实际情境中自变量取值范围”，同时，利用完整图象引导学生通过同伴互助梳理图象与性质，从而突破 “k、b的实际意义” 这一重点。 【教学内容】 活动3【互动展学】与方程、不等式的关系 当A、B两地距离多远时，甲乙两车同时到达？何时甲车先到达？何时乙车先到达？ 请用不同的方法进行解答 评价标准 （同桌互评） 能够用方程或不等式的模型解决函数问题 能够运用数形结合思想解决问题 积极思考 主动发言 评价等级 ☆☆ ☆☆☆ ☆☆ 【教师活动】 1. 提出具体问题，供学生思考解答。 2. 引导学生从代数、实际意义、 图象分析三个角度解决问题，帮助学生建立知识关联； 3.总结方法，板书一次函数与方程 / 不等式的关系。 【学生活动】 1. 用自己的方法完成题目解答 2. 学生展示不同做法，分别运用建立方程、不等关系；实际意义求解；数形结合等方法 3. 明确不同方法的的特点，尤其是数形结合法的优势 4.完成同位互评 设计意图：这一环节，通过具体问题入手，引导学生用不同方法解决问题，通过“互动展学”，让学生充分展示自己的答案及思考过程，并经历 “代数法→几何法” 的思维过程，系统建立一次函数与方程 / 不等式的联系，渗透数形结合思想，突破难点。 【教学内容】 活动4【分层拓学】建模思想 乙车司机记录了驾驶车辆剩余油量y（升）与行驶路程x（百公里）的关系如下表所示 x（百公里） 0 1 2 3 4 y（升） 60 50 40 30 20 分析表格中的数据，你可以得到哪些结论？ 评价标准 （小组互评） 能在真实情境中发现数学问题，找到问题中的数学关系。 能对数据进行分析，用数学语言刻画具体事物之间的关系，建立函数模型 积极思考 主动发言 评价等级 ☆☆ ☆☆☆ ☆☆ 【教师活动】 1. 呈现表格数据，引导学生观察“x每增加1，y的变化量是否相同”，明确“均匀变化” 是一次函数的现实背景； 2. 分层指导：对基础层学生提示 “看变化量是否均匀”，对进阶层学生追问 “为什么k=-10”，对拓展层学生引导用实际意义求函数表达式； 3. 总结建模流程：“观察实际问题→判断是否均匀变化→抽象一次函数模型→求解并解释意义”。 【学生活动】 1.观察表格数据，发现 “x增加 1，y减少 10”，判断为一次函数；会用待定系数法确定一次函数表达式2. 能够分析函数的性质，并结合实际背景明确k和b的实际意义 3.直接根据实际意义求表达式，解释交点意义； 4.拓展层学生：类比学习，快速得出实际背景下的一次函数表达式。 5.完成组内互评 【设计意图】：1. 通过分层任务，满足不同层次学生的需求，让每个学生都能获得成功体验；2. 从 “均匀变化” 的实际问题中抽象一次函数模型，让学生经历完整的建模过程，强化建模思想，突破 “从实际问题抽象模型” 这一难点；3. 结合 “续航能力比较”，体现数学的应用价值，为后续当堂检测铺垫。 【教学内容】 活动5【个人自学】课堂小结 回顾本节课的活动，梳理你的收获 活动6【个人自学+分层拓学】当堂检测 1.已知一次函数y=kx-k过点（-1，4），则下列结论正确的是（ ） A、y随x增大而增大 B、k=2 C、直线过点（1，0） D、与y轴交在负半轴上 2.将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ） A、y=2x-1 B、y=2x+3 C、y=4x-3 D、y=4x+5 3.乙车司机需要购置一部分矿泉水以备旅途之需，通过调查得知，购买矿泉水有两种方案： 方案一：直接购买，函数关系为 y1 = 2x （ y1 为总价/元，x为购买瓶数）； 方案二：先付 5 元定金，再按单价支付购买，函数关系为 y2 = 1.5x + 5 。 （1）方案一是 函数，它的图象有怎样的特点？ （2）方案二的函数图象与 y 轴的交点坐标是______，此交点代表的实际意义是______； （3）对比两种方案，哪种方案中矿泉水的 “单价更低”？请结合函数中 k 的意义说明理由； （4）这两个函数图象的交点坐标是 ，它代表的实际意义是 ； （5）当购买 12 瓶矿泉水时，选择哪种方案更省钱？ 【教师活动】 1.出示知识网络框架，引导学生填空式小结，强化知识系统性； 2.布置当堂达标，巡视学生答题情况，记录典型错误； 3.组织反馈，对基础题快速核对答案，对提升题（题 3）邀请学生讲解，重点强调 “k表示单价”“交点的实际意义”等 4.通过对一次函数的系统复习，梳理函数研究的一般思路 【学生活动】 1. 跟随教师回顾本节课内容，自主梳理知识网络，同桌交流补充； 2. 独立完成当堂检测，认真核对答案，标记错题； 3. 倾听同伴讲解题 3，针对“为什么方案二单价更低”“购买 12 瓶时选哪种方案”等问题提问，纠正自己的错误思路。 4. 建立完善函数研究的一般思路 【设计意图】： 课堂小结部分帮助学生构建完整的知识体系，避免知识碎片化；2. 当堂检测部分通过 “基础题 + 提升题” 的设计，及时反馈学生的学习效果，巩固本节课重点（k、b的实际意义、一次函数与实际问题的结合）；3. 反馈订正环节通过同伴互助和教师点拨，及时纠正错误，强化理解。4.最后通过梳理完善，帮助学生建立一次函数乃至今后学习其他函数的一般思路和方法，为后续学习奠定基础。 【教学内容】 活动6【实践研学】课后任务 1.基础巩固：完成学案中的剩余题目 2. 能力提升： 自创一个包含一次函数的生活情境，提出3个不同层次的问题（涉及求解析式、画图、比较大小、解方程/不等式），并写出解答。 3. 挑战拓展（可选）： 研究一下共享单车的“前15分钟免费，之后每15分钟0.5元”的计费规则，它是否是一次函数？如果是，请借助今天复习的知识进行研究；如果不是，如何用我们学过的数学知识来描述它？ 活动7【教师导学】首课思政 【教师活动】 1.布置分层课后任务，强调“能力提升”题需结合生活实际，“挑战拓展”题鼓励学生查阅资料或讨论； 2.激励学生：通过将学习类比一次函数--“如果学习成绩是时间的一次函数，只要保持向上趋势，就能取得理想成绩”，树立积极学习态度。 【学生活动】 1. 记录课后任务，明确各任务的要求； 2.对“挑战拓展” 题产生兴趣，课后与同学讨论或查阅分段函数相关知识。 【设计意图】：1.基础巩固：强化本节课基础知识，避免遗忘；2.能力提升：让学生从“解题者”转变为“出题者”，深化对一次函数应用的理解，提升创新思维；3.挑战拓展：引入分段函数的雏形，为后续学习埋下伏笔，满足优秀学生的拓展需求；4.情感激励：通过“学习成绩与时间的函数关系”，激发学生的学习动力，树立积极学习态度。 八、教学反思（预设） 1.成功之处：通过“双车行程” 情境串联全课，让抽象知识具象化；分层任务设计满足不同学生需求，避免“一刀切”；利用典型错误强化重点，提升学生的认知深度；当堂检测与课后实践结合，实现知识的及时巩固与拓展。 2.可能存在的问题：部分基础薄弱学生在“一次函数与方程/不等式的关系”环节可能跟不上节奏，需要更多时间消化；“建模思想”的渗透需要长期积累，本节课可能仅能让学生初步感知，后续需通过更多实际问题强化。 3.改进方向：下次教学可增加“小组竞赛”环节，进一步激发学生积极性；对基础薄弱学生提供“解题步骤模板”，降低学习难度；课后可组织“一次函数应用小调查”，让建模思想落地生根。 学科网（北京）股份有限公司 $