第二章轴对称寒假专项巩固练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第二章轴对称章末巩固练习题 一、单选题 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 3．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 5．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为（　 　） A． B． C． D． 6．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置．若，则（         ） A． B． C． D． 7．如图，的顶点与的中点均在数轴上，，且C，D两点在数轴上对应的数分别为，3，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 8．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知的周长是21，，分别平分和，于，且，的面积是（　　） A．25 B．84 C．42 D．21 10．社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 11．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 12．按如图的方法折纸，下列说法中不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 二、填空题 13．如图，在中，，是的中垂线，的周长为15，，则的长为 ． 14．如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为 ． 15．如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则 ． 16．如图，将一张长方形纸片折叠．若，则 ． 17．如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 18．如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 三、解答题 19．如图，在中，，将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处．若，若的面积为30，求线段的长． 20．如图，和是等腰直角三角形，，，，点 O是内的一点，． (1)求证：； (2)设，当是等腰三角形时，直接写出α的度数． 21．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 22．如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 23．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 24．综合与探究 【问题情境】 已知长方形纸片，点E在边上，点N在边上，将沿翻折到，射线与交于点F．点M在边上，将沿翻折到，射线与交于点G． 【初步探究】 （1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点F与点G重合．任意写出一个与相等的角：______；的度数为______； 【深入探究】 （2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点F在点G的左侧，且，，求的度数． 【类比拓展】 （3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点F在点G的右侧，且，直接写出的度数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B 2．A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 5．A 【分析】本题考查轴对称性质，根据轴对称的性质得到，，进而根据线段和差求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，把握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠得到，再由即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了数轴、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】解：∵两点在数轴上对应的数分别为，3， ∴， ∵在中，，点为的中点， ∴， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，由题意可得，再由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ∵，分别平分和，， ∴，， ∵的周长是21， ∴， ∴， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 11．C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 12．C 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， 与互余，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ， 不平分，故C错误，符合题意； ， 与互补，故D正确，不符合题意； 故选：C． 13． 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长． 根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为15，得到，从而求得，进而即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 14． 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称图形的性质得到四边形与四边形的面积相等． 由题意可得，四边形与四边形的面积相等，从而得到阴影部分的面积就是的面积，即可求解． 【详解】解：由四边形与四边形关于所在直线对称可得四边形与四边形的面积相等， 从而得到阴影部分的面积就是的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 15．6 【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线，E为的中点， ∴， ∴； 故答案为：6． 16． 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应角相等可得，再根据即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠得， ，， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 19． 【分析】该题考查了折叠的性质，根据的面积为30，得出，根据折叠得出，结合的面积为30，运用等面积法即可解答． 【详解】解：在中，，，的面积为30， ∴， ∴， ∵将沿着折叠以后，点正好落在边上的点处， ∴，， ∴， 即， ∴． 20．(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题时注意分类思想的运用． （1）根据题意得出，利用是等腰直角三角形解答； （2）根据题意可得，再根据是等腰直角三角形，，最后根据四边形内角和定理，得出四边形中，；再分三种情况讨论：①若；②若；③若，分别根据等腰三角形两个角相等，列出方程进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形中，； 当时， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又 ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述：当α的度数为或或时，是等腰三角形． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 22． 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质可得，，然后求出的长度等于的周长，由此即可求解． 【详解】解：，分别是点关于，的对称点， ，， ． 的周长等于， ． 23．(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，轴对称图形及其性质，求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． （4）延长交直线于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：格点的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时的周长为，为最小值， 则点P即为所求； （4）解：， 当A，B，M三点共线时最大， 如图，延长交直线于点M， 此时，为最大值， 则点M即为所求． 24．（1）或或（写一个即可），；（2）；（3） 【分析】本题考查折叠，角的和差，根据折叠得到角相等是解题的关键． （1）由折叠可得，，，根据即可得到，然后根据余角的性质可得出，即可找出与相等的角； （2）由折叠可得，，然后根据平角定义可求出，进而得到，，根据即可求解； （3）由折叠可得，，根据，得到，进而根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，，， ∵， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴与相等的角有：或或， 故答案为：或或（写一个即可），； （2）∵，， ∴由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）由折叠可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $