第二章 轴对称 单元练习题 2025--2026学年鲁教版(五四制）七年级数学上册

第二章轴对称练习题 一、单选题 1．下列各图标中，是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 2．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 4．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，中，是的角平分线，，以下结论： ①；②；③为的中点；④是等边三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 7．如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，在中，，D为上的一点，在的右侧作，使得，，交于点O，连接，若，若，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 9．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，中，垂直平分交于点D，连接．若，，则的周长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．18 11．如图，在等腰直角中，已知，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，分别交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接．若，则（    ） A．2 B． C． D． 12．如图，在中，，，为边上一点，连接，且，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（   ） A．直角三角形只有一条高 B．若三条线段的长、3、5满足，则以、3、5为边一定能组成三角形； C．有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等 D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三顶点的距离相等 14．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（    ） A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形 D．等腰三角形的对称轴为底边上的中线 15．如图，在中，，，平分，点是上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．10 D．11 二、填空题 17．光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜之间来回反射．已知，，则 ． 18．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为 度． 19．如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若的周长为，则 ． 20．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是，的中点．若，则的长为 ． 21．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 22．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 三、解答题 23．已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，求证：． 24．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出； (2)若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； (3)计算的面积． 25．如图，已知中，，，垂直平分，求的度数． 26．已知是直角三角形，，等腰直角三角形的顶点E，F分别落在的边上，． (1)如图1，当点D落在的边上时，若， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点E与点C重合，当点D落在的内部时，延长交于点P，若点P恰好是边的中点，且，请探究，和之间的数量关系． 27．如图，已知：，，点在边上，且． (1)求证：； (2)如果为中点，，求的度数． 28．【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 3．A 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． 4．D 【分析】本题主要考查轴对称图形，把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．据此判断每个图形的对称轴，即可解答． 【详解】解：等腰三角形有1条对称轴； 正方形有4条对称轴； C选项中三个圆组成的图形有3条对称轴； 圆有无数条对称轴． 综上分析可知：对称轴最多的图形是圆． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、垂直的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 通过角平分线和垂直的条件，利用全等三角形的判定证明，进而推出、为的中点，再分析是否为等边三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 由已知条件，无法得出的三边都相等，故不一定是等边三角形， ①②③正确，④错误，共个正确， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查轴对称 - 最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用．作出点关于直线的对称点．连接，与直线交点即是所求饮马点． 【详解】 作出点关于直线的对称点（在图中可通过网格的对称性直观地确定) 的位置）．此时直线上的点到点，点距离都相等，将同侧折线段，转化为异侧折线段（折线中间点为动点），连接，可以发现与直线相交于点（通过观察网格中线段的位置关系得出）．此时最短路劲为（两点之间线段最短）． 所以，要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是点， 答案为：B． 8．C 【分析】先根据等边对等角，可出出，，再利用三角形的内角和定理，可得， ，从而可利用证明，根据全等三角形的性质可得，进而可用表示出，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质综合()，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9．C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． ①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，可得的周长为，即可解答． 【详解】解：垂直平分交于点D， ， 的周长为， 故选：B． 11．A 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由作法得：垂直平分，可得，再由是等腰直角三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 12．B 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形性质、三线合一，解题关键是作出正确的辅助线． 作交于点，由含的直角三角形性质求出，再根据三线合一得出，则． 【详解】解：作交于点， ，又， ， ， ， ，，， ， ． 故选：． 13．D 【分析】此题考查了三角形的高，三角形三边关系，全等三角形的判定和三角形的垂直平分线的性质， 根据三角形的高，三角形三边关系，全等三角形的判定和三角形的垂直平分线的性质逐项判断即可． 【详解】A．直角三角形有三条高（两条直角边和一条斜边上的高），故错误； B．组成三角形的条件为任意两边之和大于第三边，即需满足、、； 由恒成立，但得，得； ∴仅不能保证组成三角形，故错误； C．等腰三角形中，角可能为顶角或底角，导致三角形形状不同，即使腰相等也不一定全等，故错误； D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确． 故选：D． 14．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质逐一判断选项，注意对称轴是直线而非线段． 【详解】A、等腰三角形两底角相等，正确，不符合题意； B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，正确，不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，正确，不符合题意； D、等腰三角形的对称轴为底边上的中线所在的直线，原说法错误，符合题意； 故选D． 15．C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质．先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再根据等腰三角形的“等边对等角”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C 16．B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 过点作于点，利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，由作图可知，平分， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 17． 【分析】本题考查了镜面对称，三角形内角和定理，根据镜面反射原理，入射角等于反射角得出，，，根据三角形内角和是，即可求解． 【详解】解：如图：分别过入射点做垂线，根据结合反射定律可知，，， 故，，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，掌握以上知识是解答本题的关键．根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，，继而即可求出答案． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：； 19． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义，正确进行线段的等量代换是解答本题的关键．由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质可推出，．从而△的周长等于AB+AC，答案可得． 【详解】解：平分， ． 又， ． ． ． 同理可得：． 的周长为： ， 故答案为：． 20．4 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 故答案为：4． 21． 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，过作于，根据角平分线的轴对称性，可作关于对称点，连接，则，由得，当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过作于，作关于对称点， ∴在上，连接， 则， 当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 22．32 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 故答案为：32． 23．见解析 【分析】此题主要考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知含的直角三角形的性质定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再由的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 24．(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， ∴最小值为； （3）解：． 25． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 根据等腰三角形等边对等角的性质求出，再根据垂直平分线的性质证明，进一步求得即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 26．(1)①见解析；②见解析 (2)，． 【分析】（1）设，则，①倒角可得； ②倒角可得，可得，进而即可得证； （2）延长交延长线于点N，过C作交延长线于点M，易证，则，倒角易得，，进而利用线段和差即可得解． 【详解】（1）证明：设，则， ①∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，．理由如下： 延长交延长线于点N，过C作交延长线于点M， 则， ∵P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 延长交于Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等内容，熟练添加合适辅助线和倒角相关知识是解题的关键． 27．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由得，进而由“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，，进而可得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，且点为中点， ∴． 28．（1）见解析；（2）；（3）96 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，通过做辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据和等量代换即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：（1）如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵以为斜边作直角三角形， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $