第二章 轴对称（必备知识+10题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学复习讲义通过知识框架系统梳理图形的轴对称单元，以【知识点1-5】为核心，用对比表格呈现轴对称与轴对称图形的区别联系，分点归纳等腰三角形“三线合一”、等边三角形性质等，结合尺规作图步骤图，构建从概念到应用的知识脉络。 讲义亮点在于题型设计，如“轴对称图形的识别”选用美术字、地铁图标实例（题型一）培养几何直观，“将军饮马问题”（题型十）通过对称点转化路径发展推理意识，折叠问题（题型五）结合动手操作提升空间观念。练习分基础巩固与能力提升，例题配变式，助力分层教学，支持学生自主复习和教师精准教学。

第二章 图形的轴对称（复习讲义） 1. 了解轴对称图形与两个图形成轴对称的意义，体会它们的联系与区别，明确对称轴是直线这一关键特征。 2. 能用轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等）进行几何推理与计算，能识别生活中的轴对称实例。 3. 理解并利用轴对称解决最短路径问题（如将军饮马模型），能通过找对称点、连线等方式将路径转化为两点间线段最短问题。 4. 掌握尺规作图的基本方法（作线段的垂直平分线、作角的平分线、作已知点的对称点），能利用轴对称性质设计简单图案（如剪纸），注意作图痕迹保留完整。 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【题型一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面选项中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列是软件的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各城市的地铁图标中，是轴对称图形的为（   ） A．长春B．北京C．福州 D．长沙 【题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【变式2-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例3】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式3-1】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______； (3)写出两组相等的线段． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于对称． (1)与A，B，C，D的对称点分别是 ，线段的对应线段分别是 ， ， ， ； (2)连接与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段有何关系？ 【题型四 画轴对称图形并求解】 【例4】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线m对称的； (2)请求出的面积． 【变式4-1】（25-26九年级下·安徽阜阳·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． (1)请作出对称轴及关于直线对称的； (2)如果每一个小正方形的边长为，则的面积为 ； (3)在直线上找到点，使得最小． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 【变式4-3】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积 ； ②在图（1）中作出关于直线对称的； ③若点为直线上的一点，请在图（）中标出使的值最小时点的位置． （2）如图（2），在的正方形网格中，点在格点（网格线的交点）上．请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，符合条件的格点有 个． 【题型五 轴对称中的折叠问题】 【例5】（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【变式5-2】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）综合与实践 定义：若存在一个常数，使得，则称是的“级准补角”．例如：当时，因为，所以是的“3级准补角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） 如图1，将长方形纸片沿折叠（点在边上，点在边上），使点落在点的位置． (1)①若，则它的“1级准补角”的度数是__________． ②是的“___________级准补角”． (2)再将纸片沿折叠（折痕在的右侧），使点分别落在的位置． ①如图2，当点在同一直线上时，请说明：是的“2级准补角”． ②在①的条件下，若是的“5级准补角”，则___________． ③若是的“级准补角”，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 【题型六 利用等腰三角形性质求解】 【例6】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式6-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，是的中线，，，求的面积． 【变式6-3】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型七 利用等腰三角形性质证明】 【例7】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【变式7-1】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，． (1)若， ①如果，那么的度数为 ； ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 【题型八 根据线段垂直平分线的性质求解】 【例8】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【变式8-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【变式8-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【题型九 根据角平分线的性质定理求解】 【例9】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______． 【变式9-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边上的中点时， ； (2)如图2，当是的平分线时，若，求的值（用含m，n的代数式表示）； (3)如图3，平分，延长到E，使得，连接，如果，，那么 ． 【题型十 利用轴对称求解将军饮马问题】 【例10】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【变式10-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【变式10-2】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【变式10-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2026·山西阳泉·一模）从新能源到文创，图标用多元的设计语言精准赋能不同品牌，以创意为笔，为企业打造了兼具记忆点与传播力的视觉名片．以下四个新型企业的品牌图标中的图案部分为轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，把长方形纸条沿折叠，点的对应点为点．若，，则为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 7．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 10．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： (1)求的面积； (2)画出关于直线对称的； (3)在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 11．（25-26七年级上·江西抚州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 12．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）在Rt中，，点在直线上．    (1)如图1，分别过点，作于点，于点，，当时，与是否全等，请说明理由； (2)当时，如图2，点与点关于直线对称，连接，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①___________；当在路径上时，___________；（用含的代数式表示） ②求当与全等时的值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·一模）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 3．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（    ） ①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ___________． 7．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是__________． 8．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为__________． 9．（25-26八年级上·上海·月考）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为_______． 10．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，等边△中，于点，于点，，点，分别是线段，上的动点，连接，，则的最小值为__． 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 12．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 13．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习《轴对称》这一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，来探索数学的奥秘．在长方形中，点分别在边上． 【操作一】将沿折叠，点落在点处； 【操作二】将沿折叠，点落在点处，均是折痕． 【任务】 (1)在操作二中，当点落在线段的右侧时，如图1，若，，___________； (2)在操作二中，当点刚好落在线段上时，如图2，的度数； (3)在操作二中，当点落在内时，如图3，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 14．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形的轴对称（复习讲义） 1. 了解轴对称图形与两个图形成轴对称的意义，体会它们的联系与区别，明确对称轴是直线这一关键特征。 2. 能用轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等）进行几何推理与计算，能识别生活中的轴对称实例。 3. 理解并利用轴对称解决最短路径问题（如将军饮马模型），能通过找对称点、连线等方式将路径转化为两点间线段最短问题。 4. 掌握尺规作图的基本方法（作线段的垂直平分线、作角的平分线、作已知点的对称点），能利用轴对称性质设计简单图案（如剪纸），注意作图痕迹保留完整。 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【题型一 轴对称图形的识别】 【例1】（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 【变式1-1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面选项中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图形都符合轴对称图形的定义，故不符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形，故符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列是软件的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各城市的地铁图标中，是轴对称图形的为（   ） A．长春B．北京C．福州 D．长沙 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 【题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等，对应点到对称轴的距离相等是解决问题的关键． 根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的性质，掌握这一性质是解题的关键． 利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误； 故选：D． 【题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例3】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 【变式3-1】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了图形成轴对称的定义及性质： （1）（2）（3）观察图形，根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 故答案为：，； （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则， 故答案为：； （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于对称． (1)与A，B，C，D的对称点分别是 ，线段的对应线段分别是 ， ， ， ； (2)连接与平行吗？为什么？ (3)对称轴与线段有何关系？ 【答案】(1)E，F，G，H；，；；； (2)，理由见解析 (3)对称轴垂直平分 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的性质，难度不大，属于基础题． （1）根据图形写出对称点和对应线段、对应角即可； （2）对称图形的对应点的连线平行，据此求解； （3）根据“对应点的连线段被对称轴垂直平分”求解； 【详解】（1）解：、、、的对称点分别是，，，，线段、的对应线段分别是，，，，； 故答案为：，，，；，；；；． （2）解：，根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行； （3）解：对称轴垂直平分．理由是对称轴垂直平分对称点的连线段． 【题型四 画轴对称图形并求解】 【例4】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线m对称的； (2)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：． 【变式4-1】（25-26九年级下·安徽阜阳·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． (1)请作出对称轴及关于直线对称的； (2)如果每一个小正方形的边长为，则的面积为 ； (3)在直线上找到点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】（1）根据对称点的连线被对称轴垂直平分作出对称轴和对称图形； （2）利用割补法计算三角形面积； （3）连接，交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，对称轴直线l及即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求， 根据轴对称的性质，， 此时最小． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查了画轴对称图形、画中线、求三角形的面积等知识，熟练掌握网格作图是解题关键． （1）结合网格特点画出点关于直线的对称点，再连接即可得； （2）结合网格特点画出的中点，连接即可得； （3）如图（见解析），结合网格特点找出，根据全等三角形的性质即可得； （4）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，中线即为所求． （3）解：如图3，格点即为所求． （4）解：的面积为． 【变式4-3】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积 ； ②在图（1）中作出关于直线对称的； ③若点为直线上的一点，请在图（）中标出使的值最小时点的位置． （2）如图（2），在的正方形网格中，点在格点（网格线的交点）上．请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，符合条件的格点有 个． 【答案】（1）①5；②见解析；③见解析；（2）4 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）①利用割补法计算即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线l相交于点P，点即为所求； （2）根据轴对称图形的性质画图即可求解． 【详解】解：①； 故答案为：5 ②如图，即为所求； ③如图，点P即为所求； （2）如图， 由图得：符合条件的点C有4个． 故答案为：4 【题型五 轴对称中的折叠问题】 【例5】（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【答案】(1)垂直．理由见解析 (2)与互余 (3)与互为邻补角，与也互为邻补角 【分析】本题主要考查余角和补角及角的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等；相加得的角互为余角；相加得的角互为补角． （1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据三点共线可求得结论； （2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余； （3）由三点共线，以及图中的第四个图形中的角的关系可得出结论． 【详解】（1）解：垂直．理由如下： 由折叠可知，． 又， ， ． （2）解：由（1）知，， 故与互余． （3）解：与互为邻补角，与也互为邻补角． 【变式5-2】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴，即； （2）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）综合与实践 定义：若存在一个常数，使得，则称是的“级准补角”．例如：当时，因为，所以是的“3级准补角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） 如图1，将长方形纸片沿折叠（点在边上，点在边上），使点落在点的位置． (1)①若，则它的“1级准补角”的度数是__________． ②是的“___________级准补角”． (2)再将纸片沿折叠（折痕在的右侧），使点分别落在的位置． ①如图2，当点在同一直线上时，请说明：是的“2级准补角”． ②在①的条件下，若是的“5级准补角”，则___________． ③若是的“级准补角”，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②2 (2)①见解析；②；③或 【分析】本题考查了“级准补角”的定义，矩形与翻折问题，解决本题的关键是读懂并理解“级准补角”的定义并掌握折叠的性质分类讨论． （1）①设出的1级准补角，再根据“级准补角”的定义列式求解即可． ②根据图形翻折的性质，可得，再由平角的定义即可求解． （2）①根据图形翻折的性质，可得，再由平行线的性质可得，根据平角的定义即可说明． ②根据是的“5级准补角”，可得，再由上问结论可得，根据折叠可得角度相等，由此求解即可． ③分类讨论当点在同一直线上时，与当在线段左右两侧时三种情况，结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：①设的1级准补角为， ∴，即， 解得， 即的“1级准补角”的度数是． 故答案为：． ②∵长方形纸片沿折叠， ∴，即， ∵， ∴， ∴是的“2级准补角”． 故答案为：2． （2）解：①∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴是的“2级准补角”． ②∵是的“5级准补角”， ∴， 由（2）①知，， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 可得，， 即，解得． 故答案为：． ③当点在同一直线上时， ∵是的“级准补角”， ∴， ∵， ∴①， ∵， 由（2）①知，， ∴②， 可得，， 即， 则有，解得； 当在线段右侧时，如图， ∵是的“级准补角”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则有， 整理可得， 即，解得； 当在线段左侧时，如图， ∵是的“级准补角”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则有， 整理可得， 即，解得； 综上，的度数为或． 【题型六 利用等腰三角形性质求解】 【例6】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理．依题意可知该三角形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得另外两角相等，结合三角形内角和易求的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式6-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，是的中线，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，由“三线合一”可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型七 利用等腰三角形性质证明】 【例7】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 【变式7-1】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，进而得出，然后根据可证； （2）先求出，由得，进而可求出． 【详解】（1）∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，． (1)若， ①如果，那么的度数为 ； ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 【答案】(1)①40②，证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等边对等角、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）①等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； ②同①即可得出结论； （2）根据等边对等角，结合，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴； 故答案为：； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②互相垂直 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证； （2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行； ②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 如图2，作于G，于H， 由（1）知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接． ∵，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）， ∵F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型八 根据线段垂直平分线的性质求解】 【例8】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【答案】55 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数，即可作答． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式8-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由得等腰三角形，计算的度数，再由 MN 垂直 AB，在中求的度数； （2）与（1）步骤相同，代入计算； （3）设 为，用代数推导与的关系，证明规律． 【详解】（1）解：，， ． 垂直平分， ． （2）解：由（1）可知，． 垂直平分， ． （3）解：规律是． 证明：设，则有， ． 【题型九 根据角平分线的性质定理求解】 【例9】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，过作于点，由角平分线性质可得，然后代入即可求出的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式9-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质与角平分线的性质是解题的关键． 先根据折叠性质证明，再通过角平分线的性质得出，结合，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点． ． ∵沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点， ，即平分． ，， ． ，由折叠知 ． ． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边上的中点时， ； (2)如图2，当是的平分线时，若，求的值（用含m，n的代数式表示）； (3)如图3，平分，延长到E，使得，连接，如果，，那么 ． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了列代数式，根据三角形中线求面积，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）如图1，过A作于E，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过D作于E，于F，则，根据，计算求解即可； （3）由（1）可知，，由（2）可知，，可求的值，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过D作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的值为； （3）解：由（1）可知，， 由（2）可知，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【题型十 利用轴对称求解将军饮马问题】 【例10】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长． 【详解】解：点，分别是点关于，的对称点， 、， ， 的周长为． 【变式10-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，关键是熟练运用作图方法解题， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，与边、分别相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离为半径画弧，在内部相交于点，作射线即为的平分线； （2）找到点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：点即为所求： 【变式10-2】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【变式10-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2026·山西阳泉·一模）从新能源到文创，图标用多元的设计语言精准赋能不同品牌，以创意为笔，为企业打造了兼具记忆点与传播力的视觉名片．以下四个新型企业的品牌图标中的图案部分为轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质可知A选项为轴对称图形 ． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，把长方形纸条沿折叠，点的对应点为点．若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的性质可得，利用平行线的性质得出 ，设，根据折叠的性质建立关于的方程求解即可． 【详解】解：四边形是长方形 设，则 由折叠的性质可知 ， 即 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 由翻折性质得，进而得，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：由翻折性质得：， ∵点在边上，且， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．设，根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而表示出，根据建立方程，解方程，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：设， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)   见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出，进而可得出结论； （2）根据轴对称的性质可得出，，据此得出结论． 【详解】（1）解：和关于直线对称，，， ， ． （2）解：． 理由如下：由题意知，， ． 10．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： (1)求的面积； (2)画出关于直线对称的； (3)在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称、网格图求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据网格将三角形面积转化成一个长方形的面积减去三个三角形面积即可解题； （2）根据轴对称的定义作图即可； （3）连接交于点，点为所求． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，为所求； （3）解：如图，连接交于点，点为所求； 理由如下： 连接交于点，交于点，过点作线段， 由图可知，点和点关于轴对称， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·江西抚州·期末）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，然后根据即可求解； （2）先求出，由折叠的性质，得到，，求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， 因为， 所以， 即． （2）解：因为， 所以， 由折叠的性质，得， 所以， 所以． 12．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）在Rt中，，点在直线上．    (1)如图1，分别过点，作于点，于点，，当时，与是否全等，请说明理由； (2)当时，如图2，点与点关于直线对称，连接，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①___________；当在路径上时，___________；（用含的代数式表示） ②求当与全等时的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；．②秒或秒． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，再利用即可解答； （2）①直接根据题意以及线段的和差即可解答；②动点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动三种情况，分别根据全等三角形的判定定理列式计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：①由题意得：，，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴． 故答案为：；． ②∵点与点关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿路径运动时，，解得，（不合题意）， 当点N沿路径运动时，，， ∴，解得：； 当点N沿路径运动时，由题意得：，， ∴，解得：． 综上所述，当与全等时，y的值为秒或秒． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·一模）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点D的个数为2个， 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C．    3．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（    ） ①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】由作法得平分， 所以①正确； ∵， ∴，， ∴，所以②正确； ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，所以③正确； ∵ ， ∴， ∴， ，所以④正确． 故选:． 4．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是长方形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．先利用长方形的直角与对边平行性质，结合第一次折叠得到等角关系推出，再由平行线性质得到；接着结合第二次折叠的等角关系，算出，最后通过平角定义推出，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠得：，， ∴ ， ∵， ∴， 由折叠得，且在上， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，是的角平分线，，，，则的面积是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积，如图，过点作于，根据角平分线的性质得，再根据三角形面积公式可得结论．解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 即的面积是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把进行转化．构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点． 从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点， ， 在和中， ∴， ， ， ∵有最小值． 当是点到直线的距离时，， 又，，此时， 即取最小值为4， ∴的最小值是 4 ． 故答案为4． 8．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形中对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 9．（25-26八年级上·上海·月考）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点E作于点H，先证明，得到，结合题意可推得，再证明，可得，即得答案． 【详解】解：过点E作于点H， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，等边△中，于点，于点，，点，分别是线段，上的动点，连接，，则的最小值为__． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短距离问题，点到直线的最短距离，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意找到最短距离，并掌握等边三角形的性质，是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质得出，又由直线外一点到直线上的点的距离中垂线段最短，得出最短距离，再根据等边三角形和含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ，， ， ，垂直平分， ， ， 又由直线外一点到直线上的点的距离中垂线段最短， 可得当时，最短，如图，此时为， ∴的最小值为， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，轴对称图形及其性质，求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． （4）延长交直线于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：格点的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时的周长为，为最小值， 则点P即为所求； （4）解：， 当A，B，M三点共线时最大， 如图，延长交直线于点M， 此时，为最大值， 则点M即为所求． 12．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 13．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习《轴对称》这一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，来探索数学的奥秘．在长方形中，点分别在边上． 【操作一】将沿折叠，点落在点处； 【操作二】将沿折叠，点落在点处，均是折痕． 【任务】 (1)在操作二中，当点落在线段的右侧时，如图1，若，，___________； (2)在操作二中，当点刚好落在线段上时，如图2，的度数； (3)在操作二中，当点落在内时，如图3，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠问题，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由折叠得，，再根据平角的定义即可求解； （2）由折叠的性质可推出，结合即可求解； （3）由图可得，进而可得，结合即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，，， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由图3可得，，， 由折叠可得，， ． 14．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $