精品解析：江苏宿迁市泗洪县2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

九年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 6. 某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示: 甲 乙 丙 丁 平均数/环 9.7 9.5 9.5 9.7 方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5 请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 抛掷一枚质地均匀的普通骰子2次，朝上一面的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，其中概率最大的是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知点，，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 10. 抛物线的对称轴是______． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 12. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 13. 一只不透明的袋子中装有10个球，其中3个红球和7个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是______． 14. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2． 15. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，在边BC上取点P，使∠DAP的平分线过DC的中点Q，则线段BP的长等于 _____． 17. 当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 18. 如图，在中，，，，的半径为2，点在上，连接、，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点与相等吗？为什么？ 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： ______，______． 该调查统计数据的中位数是______，众数是______． 请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； 若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有三个项目供学生选择：A、“寻找家乡的非遗”文化探访；B、“舌尖上的故乡”传统美食调研；C、“安全小达人”应急技能培训．每名学生只能选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学恰好选择同一项目的概率． 24. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 25. 如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点、，连接，． （1）求一次函数关系式和的值： （2）求的面积． 26. 某批发商以40元／千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天． （1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为______元/千克，获得的总利润为______元； （2）设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； （3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. 在中，，、是底边上两点（在左侧），且． （1）如图1，若，将绕点旋转至的位置，使与重合，连接． ①求证：； ②已知，，求的长． （2）如图2，当时，，，求． 28. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第四象限上的点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）连接、，若的面积为3，求出符合条件的点坐标； （3）如图2，点在轴正半轴，且，直线与直线相交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，需根据有理数大小比较的法则判断：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数 ∴ 又∵ ∴ ∴四个数中最小的数是， 故选：D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化成一般式，根据一般式判断选择即可． 【详解】因为是一元一次方程， 所以A不符合题意； 因为是一元二次方程， 所以B符合题意； 因为是二元二次方程， 所以C不符合题意； 因为不是一元二次方程， 所以D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ， ∴直线与的位置关系是相离， 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 4. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线顶点坐标的求解，利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，进而求出顶点坐标． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 5. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理，根据确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误； ∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误； ∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确． 故选D 6. 某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示: 甲 乙 丙 丁 平均数/环 9.7 9.5 9.5 9.7 方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5 请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质可知，方差越小，成绩越稳定，在方差相同情况下，比较平均数，平均数越高，成绩教好， 【详解】丁的方差最小，说明成绩稳定，平均数最大，说明成绩比较突出，所以丁最合适参加比赛. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数和方差的性质，解决本题的关键是要熟练掌握方差和平均数的性质. 7. 抛掷一枚质地均匀的普通骰子2次，朝上一面的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，其中概率最大的是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与它们的点数之和为7的情况，再由概率公式求得答案． 【详解】解：列表得： 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 ∵共有36种等可能的结果，点数之和为7的次数最多，有6次， ∴点数之和为7的概率最大，为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 已知点，，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与线段的交点问题，需根据抛物线开口方向分类讨论，结合抛物线在线段范围内的取值、顶点坐标及与线段端点的位置关系分析，利用二次函数的性质求解． 【详解】解：∵线段的坐标为， ∴线段是直线上的部分 ∵抛物线，其对称轴为， 顶点纵坐标， 分情况讨论： 当时，抛物线开口向上， 若抛物线顶点在线段上，则，解得， 此时抛物线与线段只有一个公共点，符合条件； 抛物线过点，则，解得，抛物线过点，则，解得， ∵当时，时，抛物线的值均小于，故仅过A点，符合只有一个公共点的条件， 当时，时，抛物线，时抛物线，顶点， ∴抛物线从的降到顶点，再升到的，仅与线段AB有一个交点，符合条件； 当时，时抛物线，抛物线与线段有两个交点或无交点，不符合； 当时，抛物线在时，值均小于，与线段无交点，不符合； 当时，抛物线开口向下，在时，抛物线的值均大于0，与线段无交点，不符合； 综上，的取值范围是或， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 10. 抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的性质，掌握对于一般二次函数 ，其对称轴是直线 是解题的关键． 利用二次函数对称轴的公式求解． 【详解】抛物线， 则, , 所以对称轴直线.． 故答案为：直线． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键． 按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为：． 13. 一只不透明的袋子中装有10个球，其中3个红球和7个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算公式，摸到红球的概率等于红球的数量与总球数的比值． 【详解】解：袋中总球数为10个，红球有3个，因此摸到红球的概率为 ， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm， ∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 15. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，在边BC上取点P，使∠DAP的平分线过DC的中点Q，则线段BP的长等于 _____． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明△CQE∽△DQA，可求CE＝AD＝3，由平行线和角平分线的性质可得AP＝PE，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AQ交于点E， ∵点Q是CD中点， ∴CQ＝DQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，BC＝AD＝3， ∴△CQE∽△DQA， ∴1， ∴CE＝AD＝3， ∴BE＝6， ∵AQ平分∠PAD， ∴∠PAQ＝∠DAQ， ∵BC∥AD， ∴∠E＝∠DAQ， ∴∠E＝∠PAQ， ∴AP＝PE， 在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2， ∴（6﹣BP）2＝4+BP2， ∴BP， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 17. 当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 18. 如图，在中，，，，的半径为2，点在上，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，勾股定理的应用，点到圆上距离的最小值，掌握相关定理，得到是解题的关键．取的中点为，过作交于，连接，由勾股定理得到，再结合点到圆上距离的最小值问题即可求解． 【详解】解：取的中点为，过作交于，连接,， ，，， ，， ， 当在连线上时，取得最小值， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． （1）使用因式分解法解方程即可； （2）使用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ，，， 判别式。 ∴该方程有两个不相等的实数根， 由公式法可得，，． 20. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点与相等吗？为什么？ 【答案】 AC=BD. 证明：作OE⊥AB， 根据垂径定理得AE=BE，CE=DE， 故BE-DE=AE-CE， 即AC=BD. 【解析】 【分析】过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； 【详解】略 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线是解决本题的关键. 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 先通分计算，再运用平方差公式化简运算即可． 【详解】原式 ． 时，原式． 22. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： ______，______． 该调查统计数据的中位数是______，众数是______． 请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； 若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 【答案】17、20；2次、2次；；人． 【解析】 【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值； (2)根据中位数和众数的定义求解； (3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得； (4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得． 【详解】解：被调查的总人数为人， ，，即， 故答案为17、20； 由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数， 而第25、26个数据均为2次， 所以中位数为2次， 出现次数最多的是2次， 所以众数为2次， 故答案为2次、2次； 扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为； 估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人． 【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法. 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有三个项目供学生选择：A、“寻找家乡的非遗”文化探访；B、“舌尖上的故乡”传统美食调研；C、“安全小达人”应急技能培训．每名学生只能选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学恰好选择同一项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：甲同学选择A项目的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意，列出表格，如下： A B C A B C 一共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学恰好选择同一项目的有3种， 所以甲、乙两位同学恰好选择同一项目的概率为． 24. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 【答案】（1） 证明：如解图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴半径， ∴是的切线． （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可证明； （2）根据勾股定理，求得，利用等面积法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为5，， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点、，连接，． （1）求一次函数关系式和的值： （2）求的面积． 【答案】（1）；3 （2）4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，将数形结合进行简单计算是解题的关键． （1）先根据待定系数法求出一次函数解析式，再求出点D的坐标，再利用待定系数法即可求出k的值． （2）联立一次函数与反比例函数，求出点B的坐标，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与y轴交于点． 将代入， 得， 解得：， ∴一次函数关系式为∶ ． ∵点在一次函数上， 代入得∶， 解得：， ∴D点坐标为． 又∵在反比例函数上， 代入得：． 【小问2详解】 解：联立方程 解得：或 ∴，． 一次函数与x轴交于点B， 令，得，即． 26. 某批发商以40元／千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天． （1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为______元/千克，获得的总利润为______元； （2）设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； （3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 【答案】（1）62，10380 （2）（且x为整数） （3）11920元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）当时，；根据利润=每千克利润×销售数量-损耗10千克×进价，解答即可； （2）保存时间（天）时，售价为（元），根据利润每千克利润销售数量损耗10千克保存天数进价，解答即可； （3）根据二次函数的最值解答即可． 【小问1详解】 解：该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为， 当时，（元）， 获得利润为：（元）． 【小问2详解】 解：保存时间（天）时，售价为（元）， 故，且 且x为整数． 【小问3详解】 解： ， 又，， 故当时，取得最大值，且最大值为（元）． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. 在中，，、是底边上两点（在左侧），且． （1）如图1，若，将绕点旋转至的位置，使与重合，连接． ①求证：； ②已知，，求的长． （2）如图2，当时，，，求． 【答案】（1）①证明：根据题意， ，， ， ， 则， ， ，即， 在和中， ， ， ； ② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，解题的关键是利用全等三角形的性质． （1）①通过证明即可得到； ②先得到，再用于勾股定理求解即可； （2）由题可知，得到，，，再证，得到，再过点作于点，结合勾股定理，直角三角形中，所对的边等于斜边一半进行求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②，， ， 由可知，， ， 在中， ， 即， ， 又， ； 【小问2详解】 解：由题可知， ，，， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又，， ， 由得， ， 过点作于点， 在中，，则， 根据勾股定理， ， 在中，根据勾股定理 ， 因为， 所以． 28. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第四象限上的点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）连接、，若的面积为3，求出符合条件的点坐标； （3）如图2，点在轴正半轴，且，直线与直线相交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）最大值为,． 【解析】 【分析】（1）设函数的解析式为，代入，解答即可； （2）过点P作轴于点F，交直线于点Q，设直线的解析式为， 设，则， 则，表示三角形的面积，建立方程解答即可； （3）设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得直线的解析式为：．过点P作轴，交直线于点N，则，则， 得，构造二次函数求最值即可． 本题考查了待定系数法，面积计算，二次函数的最值，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 故， 设函数的解析式为， 将代入： ． 函数表达式为：． 【小问2详解】 解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵的面积为3， ∴， 整理，得， 解得或， ∴或． 【小问3详解】 解：点是抛物线上的一动点，且在第四象限， 设，且 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点在轴正半轴，且，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式得： 解得， ∴直线的解析式为：． ∵直线与直线相交于点， ∴， 解得 ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴，交直线于点N，则， 则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为,此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $