精品解析：陕西省西安市2025-2026学年高三上学期期末数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 3. 样本数据2，3，4，6，7，9，11，13的分位数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 7 4. 某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ） A. 8毫米 B. 16毫米 C. 32毫米 D. 64毫米 5. 如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 6. 已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若正数满足，则（ ） A. 10 B. 9 C. 4 D. 1 8. 已知函数，若函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，可能有2个零点 C. 当时，可能有4个零点 D. 当时，不可能有3个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是棱长为1的正方体的表面上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在正方形内（不含边界），则恒有 B. 若点在棱上，则可能有平面 C. 点到正方体中心的距离最大为 D. 若，则点的运动轨迹的长度为 10. 已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，点在的准线上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 随的增大而增大 C. 若成等差数列，则 D. 若存在点使得为等边三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，若第4项的系数为280，则______. 13. 在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点与点不重合，若圆上存在不同的两点，使得，则的取值范围是______. 14. 若锐角满足，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了调查某地区8~14岁的青少年的体重情况，研究人员随机抽取了该地区部分年龄在8~14岁的青少年的体重，所得数据合理分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计该地区8~14岁的青少年体重的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）假设每人的体重相互独立，用频率估计概率，若从该地区所有8~14岁的青少年中随机抽取3人，记体重在的人数为，求的分布列和期望. 16. 已知函数. （1）若直线为曲线在点处的切线，求实数的值； （2）若有3个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程 （2）设的左、右焦点分别为，为坐标原点，过且不与轴重合的直线与交于两点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若圆过三点，求圆面积的最小值. 19. 任意正整数都可以写成一个或多个连续正整数的和（一个数的和即等于自身），若存在多种写法，取其中加数最多的写法，并记这种写法中加数的个数为，最大的加数为.例如：，根据定义有. （1）求. （2）将满足的正整数从小到大排列，依次记作，将满足的正整数从小到大排列，依次记作. （i）求数列的前项和； （ii）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数定义域得到，根据交集概念求出答案. 【详解】由题可知，又， 故. 故选：A 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解复数方程求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得，即，解得， 故由模长公式得. 故选：B 3. 样本数据2，3，4，6，7，9，11，13的分位数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得． 【详解】样本数据共8个，因为， 故所求的分位数为. 故选：B 4. 某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ） A. 8毫米 B. 16毫米 C. 32毫米 D. 64毫米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数的定义与运算，即可求解. 【详解】因为每次变焦后，直径变为前一次的2倍，所以进行4次变焦后， 则画面中月亮的直径是（毫米）. 故选：C. 5. 如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定球心，结合正四棱锥性质建立关于球半径的方程，再根据球的表面积公式求解即可. 【详解】连接，则的交点即为球心.设，则， 则八面体的外接球表面积，解得， 故所求体积， 故选：D. 6. 已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的左、右两支分别相交，得到直线的斜率与双曲线渐近线斜率的关系，进而求出离心率的取值范围. 【详解】设点的坐标为.由题可知， 整理可得，即，所以， 则，即，则离心率. 故选：C 7. 若正数满足，则（ ） A. 10 B. 9 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和函数的单调性进行求解. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，所以，即. 而，将代入，可得，解得（舍去）， 所以，故. 故选：A 8. 已知函数，若函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，可能有2个零点 C. 当时，可能有4个零点 D. 当时，不可能有3个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的图像，令，由，得到，分和，结合函数的图像，确定函数的零点个数，即可得到答案. 【详解】由函数，画出函数的图像，如图所示， 令，由，可得， 当时，由，可得，解得， 结合图像知，有2个解，即当时，有2个零点，故A正确； 当时，由，可得或，又由有2个解， ①当时，无解，此时有2个零点； ②当时，有1个解，此时有3个零点； ③当时，有2个解，此时有4个零点， 所以BC正确，D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是棱长为1的正方体的表面上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在正方形内（不含边界），则恒有 B. 若点在棱上，则可能有平面 C. 点到正方体中心的距离最大为 D. 若，则点的运动轨迹的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由线面垂直得到线线垂直，故A正确；B选项，建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，得到，故与不可能垂直，不可能有平面，故B错误；C选项，当点位于顶点处时，点到正方体的中心的距离最大，故C正确；D选项，得到轨迹为圆心角为，1为半径的三段圆弧，长度为. 【详解】对于A，若点在底面上（不含边界）， 因为底面，平面，所以，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，， 则，， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，故， 由于， 故与不可能垂直，则当点在棱上运动时，不可能有平面，故B错误； 对于C，当点位于顶点处时，点到正方体的中心的距离最大，最大长度为，故C正确； 对于D，若点到点的距离为1，正方形内，以为圆心，圆心角为，1为半径的一段圆弧，长度为， 正方形内，以为圆心，圆心角为，1为半径的一段圆弧，长度为， 正方形内，以为圆心，圆心角为，1为半径的一段圆弧，长度为， 故总长度为，故D错误. 故选：AC 10. 已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式对每个选项进行化简判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由正弦定理，可得或或，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由正弦定理，可得 ， 由复合函数的性质可知在和上单调递增，且当时，，当时，， 故，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，点在的准线上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 随的增大而增大 C. 若成等差数列，则 D. 若存在点使得为等边三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由斜率公式可求出的倾斜角，根据焦点弦的性质即可判断；对于B，将直线和抛物线联立，根据韦达定理可求出，再根据焦点弦的性质即可判断；对于C，根据等差数列的性质可得，由选项B知，再根据焦半径以及焦点弦长度关系代入即可判断；对于D，根据等边三角形的性质，两直线垂直斜率关系可得，以及中点坐标公式，两点间距离公式代入即可判断. 【详解】对于A，若，则的倾斜角，由焦点弦的性质可知，故A错误； 对于B，设的方程为， 由可得，则， 所以， 由题可知，所以， 所以随的增大而增大，故B正确； 对于C，因为、、成等差数列，所以， 即，即，由选项B知， 所以，解得或（负值舍去），则， 所以，解得，故C正确； 对于D，取的中点，分别作垂直于直线， 分别为垂足，连接.设，由B选项可知， 所以.因为，所以，故， 则.由抛物线的定义可知， 故.因为为等边三角形，所以， 即， 两边同时平方后化简可得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，若第4项的系数为280，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出通项，然后代入即可. 【详解】的展开式的通项为，则第4项的系数为，解得. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点与点不重合，若圆上存在不同的两点，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即点、也在以点为圆心，半径为的圆上，从而得到圆与圆相交，即可求出的范围. 【详解】因为，所以， 所以，同理可得. 所以点、也在以点为圆心，半径为的圆上， 所以圆与圆相交，所以，即的取值范围是. 故答案为： 14. 若锐角满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角诱导公式,积化和差，辅助角公式计算可得. 【详解】由,, ， 则，移项得, 而， 所以,因为，所以， 故，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了调查某地区8~14岁的青少年的体重情况，研究人员随机抽取了该地区部分年龄在8~14岁的青少年的体重，所得数据合理分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计该地区8~14岁的青少年体重的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）假设每人的体重相互独立，用频率估计概率，若从该地区所有8~14岁的青少年中随机抽取3人，记体重在的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1），44kg （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由频率和为求出，再利用平均数的计算方法求解； （2）利用二项分布的概率公式和期望公式进行求解. 【小问1详解】 由题可知，解得. 因为， 所以估计该地区8-14岁的青少年体重的平均数为44kg. 【小问2详解】 由题可知，则的所有可能取值为0，1，2，3. 故.. .. 故的分布列如下： 0 1 2 3 则 16. 已知函数. （1）若直线为曲线在点处的切线，求实数的值； （2）若有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数在处的函数值与导数值，利用切线方程的斜率与切点坐标，建立方程求解和的值； （2）将方程转化为​，构造函数，通过求导分析其单调性与极值，结合函数图象确定的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，则. 因为切线方程为，所以.将代入可得. 所以. 【小问2详解】 令.可得， 令，则， 令，可得或2， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示. 观察可知，，所以实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，平面， 可得平面，由平面，所以， 且，所以， 又因为，为的中点，则， 且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程 （2）设的左、右焦点分别为，为坐标原点，过且不与轴重合的直线与交于两点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若圆过三点，求圆面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）将已知点代入椭圆方程，结合离心率公式得到关于、的方程组，求解后得到椭圆的标准方程； （2）（i）设出直线的方程并联立椭圆方程，利用韦达定理求出与，再代入三角形面积公式，解方程求出直线参数，从而得到直线方程； （ii）先求出、和点到直线的距离，结合面积公式与正弦定理得到外接圆半径的表达式，再通过换元与导数分析函数单调性，求出半径的最小值，进而得到圆面积的最小值. 【小问1详解】 因为经过点，所以.① 因为的离心率为，所以，即.② 联立①②，可得，故的方程为. 【小问2详解】 易知.设直线， 由，可得，则. （i）， 令，解得. 故直线的方程为. （ii）因为的方程为，所以， 所以，同理. 易知点到直线的距离为. . 设圆的半径为，即外接圆的半径为R， 由正弦定理，有 ， 令，则. 令，则， 因为，所以. 则在上单调递增. 从而当，即时，，此时取得最小值. 所以面积的最小值为. 19. 任意正整数都可以写成一个或多个连续正整数的和（一个数的和即等于自身），若存在多种写法，取其中加数最多的写法，并记这种写法中加数的个数为，最大的加数为.例如：，根据定义有. （1）求. （2）将满足的正整数从小到大排列，依次记作，将满足的正整数从小到大排列，依次记作. （i）求数列的前项和； （ii）求数列的前项和. 【答案】（1），，， （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意将8和10拆成若干个连续的正整数和的形式，然后写出. （2）（i）先根据题意写出的通项公式，然后用裂项法求出前项和. （ii）先根据题意求出的通项公式，然后用错位相减求和法求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 （i）表示正整数最多写成个正整数的和，且这种写法中最大的正整数为，即. 所以. 所以. 所以. （ii）表示正整数只能写成自身，先探究的情形： 设能写成从开始的个连续正整数的和. 即. 注意到与的奇偶性相反，且，那么对于有奇因数的任意正整数.我们可以按照如下方式得到对应的和； 若，则令，由，得，如12有奇因数3，取，所以； 若.则令，如14有奇因数7.取.所以. 因此，要使，必须不含任何大于1的奇因数，，即. 所以， ，① ，② ①②.得. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $