精品解析：山东泰安市岱岳区2025-2026学年九年级（五四制）上学期1月期末数学试题

山东省泰安市岱岳区2025-2026学年（五四制）九年级上学期1月期末数学 一、选择题，共10小题，40分． 1. 在实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10911米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将数据10910用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代数学经典，其“衰分”章记载了比例分配问题．今有官仓收麦5000开（古代容量单位），验得麦中混入稗子，官吏随机取麦1开（约1200粒），筛出稗子30粒．据此估算，此批麦中混入稗子约为（ ） A. 100开 B. 125开 C. 150开 D. 300开 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 8. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点D，E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 小明从如图所示的二次函数（a≠0）图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为正确信息的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题，共5小题，20分． 11. 写出使二次根式有意义的的一个值_______________． 12. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________． 13. 函数的图像与轴有两个交点．则实数的取值范围是_______________． 14. 有4张卡片，每张卡片上印着，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是_______________． 15. 将一根长绳对折再对折再对折，，连续对折次后，从对折后绳子的中间位置剪断则原来的绳子被截成了_____段． 三、解答题，共8小题，90分． 16. 计算与化简． （1） （2） 17. 庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 18. 综合与实践：农业试验基地小麦苗高的分析与种植决策． 【项目背景】 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力．通过科学分析，为优化种植方案提供依据． 【数据收集与整理】 从两种小麦试验田各随机抽取16株麦苗，测量苗高（单位：），具体数据如下： 甲种小麦苗高：12，11，10，13，8，15，10，14，11，10，18，16，9，13，12，8 乙种小麦苗高：15，8，13，9，14，10，14，15，8，16，11，16，12，15，17，7 将数据分组整理如下： 表格1 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 3 4 m 3 n 6 2 3 表格2 统计量 甲种小麦 乙种小麦 平均数/ 11.875 a 中位数/ b 13.5 众数/ 10 c 方差/ 7.609375 10 【任务要求】 任务1：基础统计量计算 （1）补全频数直方图； （2）计算： ， ， ； 任务2：统计结论验证 基于数据验证以下结论的正确性（填写序号） ： ①抽取的甲种小麦的苗高有一半超过； ②抽取的两种小麦的苗高最大值差异显著； ③若乙种小麦大约有640株，则苗高不低于的株数约为120株． 任务3：种植决策建议 结合以下要求，给出种植建议并说明理由： 稳定性优先：选择方差更小的品种； 产量潜力：选择优质麦苗占比更高的品种． 19. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 20. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长 23 24 25 26 27 28 身高 156 163 170 177 184 191 （1）在图（1）中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是____________函数关系（填序号）． ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，估计这个人的身高． 21. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 22. 泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积达5万亩，2025年产值达4亿元．今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种每箱均装樱桃10斤）． （1）问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ （2）若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元．现水果商购进两种樱桃共180箱，在销售过程中每箱均有的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200元，则该水果店应如何设计购进方案？ 23. 已知抛物线（，为实数）． （1）若抛物线经过点和点，求抛物线的表达式； （2）若时，拋物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：； （3）若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，二次函数的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市岱岳区2025-2026学年（五四制）九年级上学期1月期末数学 一、选择题，共10小题，40分． 1. 在实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可，正确比较实数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10911米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将数据10910用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 《九章算术》是中国古代数学经典，其“衰分”章记载了比例分配问题．今有官仓收麦5000开（古代容量单位），验得麦中混入稗子，官吏随机取麦1开（约1200粒），筛出稗子30粒．据此估算，此批麦中混入稗子约为（ ） A. 100开 B. 125开 C. 150开 D. 300开 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体的统计思想，通过样本中稗子的比例估算总体中稗子的量． 【详解】解：∵随机取1开麦（约1200粒），筛出稗子30粒． ∴样本中稗子占麦的比例为． ∵官仓收麦共5000开． ∴估算此批麦中混入稗子约为（开）． 故选：B． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，符合题意； D．当时，，原判断错误，故本选项不符合题意 故选：C． 6. 如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角，圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 在优弧上取点B，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：在优弧上取点B，连接，如图 ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即． 故选B． 7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数y随x的增大而增大，可知，分别将点M和各选项代入，求出k的值，即可确定． 【详解】解：∵一次函数过 ∴把代入得，即 又∵随的增大而增大 ∴ A、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 B、将代入得，把代入得，化简得，不满足且，舍去 C、将代入得，把代入得，化简得，解得，满足条件 D、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 故选：C． 8. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 9. 如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点D，E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．连接、，先根据圆周角定理得到，则可计算出，再根据得到，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后根据弧长公式求解． 【详解】解：连结、，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为． 故选：A． 10. 小明从如图所示的二次函数（a≠0）图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为正确信息的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为抛物线开口向下， 所以a＜0， 又对称轴为， 所以b＜0，， 所以ab＞0，， 所以①③正确； 因为抛物线与x轴有2个交点， 所以＞0， 所以②错误； 观察图象可知：当x=1时，y=a+b+c＜0， 所以④正确； 当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， 所以2a﹣2b+2c＞0， 又， 所以3b﹣2b+2c＞0， 所以b+2c＞0， 故⑤正确； 所以有4个正确， 故选A． 二、填空题，共5小题，20分． 11. 写出使二次根式有意义的的一个值_______________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，核心是二次根式的被开方数必须是非负数．先根据该条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再从这个范围内任取一个符合条件的数值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数，解得． 取(满足的任意实数均可)， 故答案为：(答案不唯一)． 12. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，再利用旋转的性质得到条件证明，即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 函数的图像与轴有两个交点．则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，关键是利用一元二次方程的判别式判断交点个数：对于二次函数，其对应的一元二次方程为，当判别式时，二次函数图象与轴有两个不同的交点． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式． 即，解得． 故答案为：． 14. 有4张卡片，每张卡片上印着，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率. 首先识别卡片中的无理数，然后画树状图计算概率即可． 【详解】解：卡片上的数字分别为：（有理数）、（无理数）、0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共12种，两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 故答案为：． 15. 将一根长绳对折再对折再对折，，连续对折次后，从对折后绳子的中间位置剪断则原来的绳子被截成了_____段． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义得绳子连续对折次后，层数为层，沿对折后的绳子中间剪开，会在原绳子上产生个剪点，从而将绳子分成段，熟记乘方的定义是解题的关键． 【详解】解：由对折次后，层数为层，剪开时在原绳子上产生个剪点， 所以段数为：， 故答案为：． 三、解答题，共8小题，90分． 16. 计算与化简． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值和分式的运算法则是关键． （1）利用二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算括号内的分式的减法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】（1） （2）不低于200升 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，． 钢瓶的容积要求不低于200升． 18. 综合与实践：农业试验基地小麦苗高的分析与种植决策． 【项目背景】 某农业试验基地在相同环境条件下，研究甲、乙两种小麦的苗高分布，以评估其生长稳定性和产量潜力．通过科学分析，为优化种植方案提供依据． 【数据收集与整理】 从两种小麦试验田各随机抽取16株麦苗，测量苗高（单位：），具体数据如下： 甲种小麦苗高：12，11，10，13，8，15，10，14，11，10，18，16，9，13，12，8 乙种小麦苗高：15，8，13，9，14，10，14，15，8，16，11，16，12，15，17，7 将数据分组整理如下： 表格1 苗高分组 甲种小麦频数 乙种小麦频数 3 4 m 3 n 6 2 3 表格2 统计量 甲种小麦 乙种小麦 平均数/ 11.875 a 中位数/ b 13.5 众数/ 10 c 方差/ 7.609375 10 【任务要求】 任务1：基础统计量计算 （1）补全频数直方图； （2）计算： ， ， ； 任务2：统计结论验证 基于数据验证以下结论的正确性（填写序号） ： ①抽取的甲种小麦的苗高有一半超过； ②抽取的两种小麦的苗高最大值差异显著； ③若乙种小麦大约有640株，则苗高不低于的株数约为120株． 任务3：种植决策建议 结合以下要求，给出种植建议并说明理由： 稳定性优先：选择方差更小的品种； 产量潜力：选择优质麦苗占比更高的品种． 【答案】任务1：（1）补全频数直方图如图； （2）12.5，11.5，15； 任务2：①③； 任务3：建议选择甲种小麦， 理由：甲种小麦方差为，乙种小麦方差为， 稳定性优先：选择方差更小的甲种小麦． 甲种小麦优质麦苗频数为11株，频率为，乙种小麦优质麦苗䫵数为9株，频率为． 产量潜力：选择优质麦苗占比更高的甲种小麦， 综上所述，建议选择甲种小麦． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，平均数，方差，样本估计总量，熟知相关概念，根据题中得到正确的数据是解题的关键． 任务1：（1）根据所给数据得到的值，再补全条形统计图即可； （2）根据平均数，中位数，众数的概念，分别计算即可； 任务2：利用中位数，众数，平均数，逐一判断即可； 任务3：利用方差和频率的概念，得到结论． 【详解】解：任务1：（1）根据题中数据可得， （2）， 将甲种小麦数据按照从小到大的顺序排列，排在最中间的两位数据为11和12，， 在乙种小麦数据中，15出现的次数最多且出现了3次， ， 故答案为：12.5，11.5，15； 任务2：结论①：∵甲种小麦的中位数为， ∴抽取的甲种小麦的苗高有一半超过，结论①正确； 结论②：抽取的甲种小麦的苗高最大值为， 抽取的乙种小麦的苗高最大值为，差异为， 的差异在统计上不一定昱著，需要进一步检验，结论②不正确； 结论③：抽取的乙种小麦苗高不低于的频数为3株，频率为， 如果总共有640株，苗高不低于的株数为（株），结论③正确． 任务3：略 19. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？ 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为： （2）绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解； （2）令代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：长和宽增加后矩形的长为，宽为， 则由题意得 ， ∴y与x之间的函数表达式为：. 【小问2详解】 解：将代入中得，， 解得，，（舍去）， ∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长 23 24 25 26 27 28 身高 156 163 170 177 184 191 （1）在图（1）中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是____________函数关系（填序号）． ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，估计这个人的身高． 【答案】（1） 如图所示． （2）① （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解函数解析式，画函数图像，正确进行计算是解题关键． （1）根据表中数据描点即可； （2）把这些点依次连接起来可知y与x满足一次函数关系 （3）设解析式为，将，分别代入求解即可； （4）将代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，把这些点依次连接起来可知y与x满足一次函数关系， 故答案为：① 【小问3详解】 设解析式为，将，分别代入， 由题意可得： 解得：， 故这个函数的解析式为：； 【小问4详解】 将代入得：． 身高为 21. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 22. 泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积达5万亩，2025年产值达4亿元．今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种每箱均装樱桃10斤）． （1）问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ （2）若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元．现水果商购进两种樱桃共180箱，在销售过程中每箱均有的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200元，则该水果店应如何设计购进方案？ 【答案】（1）“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元 （2）水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设水果商至少购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意列出一元一次不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意，得 ， 解得， 答：“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元； 【小问2详解】 解：设水果商购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意，得 化简，得， 解得， ∴且m为整数， 答：水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱． 23. 已知抛物线（，为实数）． （1）若抛物线经过点和点，求抛物线的表达式； （2）若时，拋物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：； （3）若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）； （2） 证明：当时，抛物线的表达式为， ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理得：， ∴，， ∴ ； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，，则，整理得，所以，，再由即可求解； （）由题意得，解得（不合题意，舍去）或，则抛物线的解析式为，所以抛物线的对称轴为直线，当对称轴时，，，分当时，取最小值即，求得，当时，即，此时二次函数在上的图像，当时，取得最小值，最小值为；则（舍去），当时，即，此时二次函数在上的图像，随的增大而减小，当时，取得最小值，最小值为，则（舍去），然后比较即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，整理得：， ∴， 当时，经过点， ∴ 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，直线与抛物线相交于和两点，将点坐标分别代入与（，为实数）得， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 当对称轴时，， ∴， 当时，取最小值即， ∴， 当时，即， 此时二次函数在上的图像，当时，取得最小值，最小值为； ∴（舍去）， 当时，即， 此时二次函数在上的图像，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， ∴（舍去）， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $