22.2函数的表示寒假预习讲义（5知识点+5大题型+过关检测）2025-2026学年度人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

22.2函数的表示寒假预习讲义 （5知识点+5大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 函数图象识别】 1 【题型2 用描点法画函数图象】 4 【题型3 从函数的图象获取信息】 6 【题型4 动点问题的函数图象】 7 【题型5 函数的三种表示方法】 8 1. 理解函数图象的核心概念； 2. 熟练掌握描点法画函数图象的完整步骤。 3. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）； 4. 了解三种表示方法各自的优缺点及适用场景。 模块三 知识点梳理 知识点1. 函数图象的定义 对于一个函数，把自变量与函数的每一对对应值，分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中，由所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 知识点2. 描点法画函数图象的三步法 1. 列表：根据函数的解析式，给出自变量的一些合适的值（注意：要兼顾自变量的取值范围，且取值具有代表性，方便描点）； 2. 描点：以列表中每个自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中，准确描出对应的点； 3. 连线：按照横坐标从小到大的顺序，用平滑的曲线（或直线，适用于线性函数）连接所有描出的点；注意：不在自变量取值范围内的点，用空心圈标注，不能连接。 知识点3. 函数图象的意义 函数图象是直观反映函数关系的工具，既能清晰看出函数值随自变量的变化趋势（如递增、递减），也能快速读取特定自变量对应的函数值，或特定函数值对应的自变量。 知识点4.函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 适用场景 解析法 用含自变量的数学式子（如y=kx+b、y=x²等）表示两个变量之间的函数关系。 1. 精准刻画两个变量之间的数量关系；2. 便于进行计算、推理和变形，能求出任意符合条件的自变量对应的函数值。 不够直观，无法直接看出函数值随自变量的变化趋势，需要通过计算或画图才能分析。 有明确数量规律的问题，如公式、方程表示的函数（如路程、面积公式，一次函数、二次函数解析式）。 列表法 将自变量的一系列值，与对应的函数值一一列成表格，以此表示函数关系。 1. 直接呈现自变量与函数值的对应关系；2. 查询便捷，无需计算，可快速找到特定自变量对应的函数值。 1. 只能表示有限组自变量与函数值的对应关系；2. 难以体现函数的整体变化规律，无法求出表格中未列出的自变量对应的函数值。 自变量取值较少、且为离散值的情况（如分段计费、实验数据记录、日历中的函数关系）。 图象法 用平面直角坐标系中的图象（直线、曲线等）表示函数关系，即前面所学的函数图象。 1. 直观性强，能清晰看出函数值随自变量的变化趋势；2. 易发现函数的极值、增减性等特征，便于快速分析问题。 1. 读数有误差，无法得到精准的自变量和函数值；2. 不便于进行精准计算和推理。 需要快速判断函数变化规律的问题（如气温变化、行程问题、水位变化等）。 知识点5.三种表示法的联系与转化 1. 本质统一：三种表示方法的核心一致，都是表示“自变量与函数之间的唯一对应关系”，只是呈现形式不同； 2. 相互转化：三种方法可灵活转化——由解析式可列出表格（解析法→列表法），由表格可描点画出图象（列表法→图象法），由图象可大致推导解析式（图象法→解析法，简单场景）； 3. 选择原则：根据问题的核心需求选择最优方法——需要计算、推理，选解析法；需要快速查询对应值，选列表法；需要分析变化趋势，选图象法。 易错提醒（规避预习、做题误区） 1. 描点法连线时，必须按照自变量从小到大的顺序，用平滑曲线（非线性函数）或直线（线性函数）连接，禁止用折线随意连接； 2. 务必注意自变量的取值范围，不在定义域内的点，一定要用空心圈标注，避免图象范围画错； 3. 三种表示法无优劣之分，实际应用中需结合问题目标灵活选择，不可单一使用一种方法。 模块四 题型汇总 【题型1 函数图象识别】 【典例1】．红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．后由于消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用描点法画函数图象】 【典例2】．请按要求在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (1)列表． … 0 1 2 … … … (2)描点、连线．    (3)判断点，是否在函数的图象上． 【变式2-1】．如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿折线D→C→A运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出x的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【变式2-2】．【直观想象】 如图甲，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定． 【数学发现】 设动点在数轴上表示的数是，点到原点的距离为，我们发现是的函数，它的函数表达式为． 【数学理解】 （1）请在图丙中画出函数的图象； 【类比迁移】 如图乙，点在数轴上表示的数分别是1和3，设动点在数轴上表示的数是到两个定点的距离和为． （2）当点在线段上运动时（可以和点重合），的取值范围是_____，_____； （3）当点在数轴上运动时，仿照（1）写出与之间的函数表达式：_____；（同时写出的取值范围） （4）在图丁中画出关于的函数图象． 【题型3 从函数的图象获取信息】 【典例3】．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ． 【变式3-1】．在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是 ．（填序号） 【变式3-2】．甲、乙两车分别从A、C两地同时出发，相向而行，途经中间的B地，A、C两地相距．甲途经B地停留一段时间后原速驶往C地，乙送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计），甲比乙晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲和乙距各自出发地的距离y（单位：）与甲行驶时间x（单位：）之间的函数图象，下列说法： ① ②甲在B地停留的时间为小时 ③乙从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为 ④当时，甲、乙相距 其中正确的是 ． 【题型4 动点问题的函数图象】 【典例4】．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ） A．3 B． C． D． 【变式4-1】．如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是 ，的周长是 ． 【变式4-2】．如图1，正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为x，，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．图2中 C．图2中 D．当点E运动到中点时， 【题型5 函数的三种表示方法】 【典例5】．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【变式5-1】．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【变式5-2】．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 模块五 过关检测 1．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，小华家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小华从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小华离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（    ） A．小华从报亭散步回家用了 B．小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 C．报亭到小华家的距离是 D．小华打羽毛球的时间是 3．两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②乙出发后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 5．匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 6．甲乙两车分别从A，B两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达B，A两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系式如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．A、B两地之间的路程为 B．乙车的速度为 C．m的值为5 D．当两车相距时，则甲车出发了 7．已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①乙无人机上升速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，甲无人机距离地面高度是；④当乙无人机距离地面高度时，．⑤当两架无人机距离地面高度差为时，或．以上结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图1，在中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为 ． 10．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为 ． 11．潮汐图能精准预判潮高变化，帮助港口划定“安全通航时段”．下图是江苏一港口某日的潮汐图，已知当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口．若一艘货轮想在白天进入该港口，那么安全通航的时长为 小时． 12．作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C． 已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离，（）与飞行时间t（）之间的函数关系如图2所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则下列结论正确的有 （填序号） ①、两地的距离为20千米； ②、两地的距离为15千米； ③甲的速度为6千米/分钟； ④乙无人机到驿站的距离与飞行时间的函数关系式为 13．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 14．一辆货车早晨出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程与行驶时间的完整的函数图像（其中点B、C、D在同一条直线上），小红研究图像得到了以下结论： ①甲乙两地之间的路程是； ②前半个小时，货车的平均速度是； ③时，货车已行驶的路程是； ④最后货车行驶的平均速度是； ⑤货车到达乙地的时间是． 其中，正确的结论是 ． 15．北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列各题： (1)潮高是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ 16．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 17．（1）[探究]对于函数，当时，；当时，． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （2）[应用]对于函数． ①当时，______；当时，______；当时，______； ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （3）[迁移]当______时，函数取到最小值，最小值为______． 18．阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； (2)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； (3)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 19．手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.2函数的表示寒假预习讲义 （5知识点+5大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 函数图象识别】 1 【题型2 用描点法画函数图象】 3 【题型3 从函数的图象获取信息】 9 【题型4 动点问题的函数图象】 12 【题型5 函数的三种表示方法】 15 1. 理解函数图象的核心概念； 2. 熟练掌握描点法画函数图象的完整步骤。 3. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）； 4. 了解三种表示方法各自的优缺点及适用场景。 模块三 知识点梳理 知识点1. 函数图象的定义 对于一个函数，把自变量与函数的每一对对应值，分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中，由所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 知识点2. 描点法画函数图象的三步法 1. 列表：根据函数的解析式，给出自变量的一些合适的值（注意：要兼顾自变量的取值范围，且取值具有代表性，方便描点）； 2. 描点：以列表中每个自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中，准确描出对应的点； 3. 连线：按照横坐标从小到大的顺序，用平滑的曲线（或直线，适用于线性函数）连接所有描出的点；注意：不在自变量取值范围内的点，用空心圈标注，不能连接。 知识点3. 函数图象的意义 函数图象是直观反映函数关系的工具，既能清晰看出函数值随自变量的变化趋势（如递增、递减），也能快速读取特定自变量对应的函数值，或特定函数值对应的自变量。 知识点4.函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 适用场景 解析法 用含自变量的数学式子（如y=kx+b、y=x²等）表示两个变量之间的函数关系。 1. 精准刻画两个变量之间的数量关系；2. 便于进行计算、推理和变形，能求出任意符合条件的自变量对应的函数值。 不够直观，无法直接看出函数值随自变量的变化趋势，需要通过计算或画图才能分析。 有明确数量规律的问题，如公式、方程表示的函数（如路程、面积公式，一次函数、二次函数解析式）。 列表法 将自变量的一系列值，与对应的函数值一一列成表格，以此表示函数关系。 1. 直接呈现自变量与函数值的对应关系；2. 查询便捷，无需计算，可快速找到特定自变量对应的函数值。 1. 只能表示有限组自变量与函数值的对应关系；2. 难以体现函数的整体变化规律，无法求出表格中未列出的自变量对应的函数值。 自变量取值较少、且为离散值的情况（如分段计费、实验数据记录、日历中的函数关系）。 图象法 用平面直角坐标系中的图象（直线、曲线等）表示函数关系，即前面所学的函数图象。 1. 直观性强，能清晰看出函数值随自变量的变化趋势；2. 易发现函数的极值、增减性等特征，便于快速分析问题。 1. 读数有误差，无法得到精准的自变量和函数值；2. 不便于进行精准计算和推理。 需要快速判断函数变化规律的问题（如气温变化、行程问题、水位变化等）。 知识点5.三种表示法的联系与转化 1. 本质统一：三种表示方法的核心一致，都是表示“自变量与函数之间的唯一对应关系”，只是呈现形式不同； 2. 相互转化：三种方法可灵活转化——由解析式可列出表格（解析法→列表法），由表格可描点画出图象（列表法→图象法），由图象可大致推导解析式（图象法→解析法，简单场景）； 3. 选择原则：根据问题的核心需求选择最优方法——需要计算、推理，选解析法；需要快速查询对应值，选列表法；需要分析变化趋势，选图象法。 易错提醒（规避预习、做题误区） 1. 描点法连线时，必须按照自变量从小到大的顺序，用平滑曲线（非线性函数）或直线（线性函数）连接，禁止用折线随意连接； 2. 务必注意自变量的取值范围，不在定义域内的点，一定要用空心圈标注，避免图象范围画错； 3. 三种表示法无优劣之分，实际应用中需结合问题目标灵活选择，不可单一使用一种方法。 模块四 题型汇总 【题型1 函数图象识别】 【典例1】．红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．后由于消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，解题的关键是能够通过图象得到函数是随自变量的增大，判断函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．根据开始库存量与销量持平，后来脱销即可确定库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系． 【详解】解：根据题意：库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0． 故选：D． 【变式1-1】．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断图像是否为函数，熟练掌握如何判断是解题的关键． 根据函数的定义进行判断即可 ． 【详解】解：根据函数的定义“对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”即可得知， 选项D的图像不符合； 故选： D． 【变式1-2】．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象的识别，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识；已知等腰三角形的腰长为，底边长为，根据三角形的周长可得； 然后根据三角形的三边关系可得且； 接下来根据可确定x的取值范围，根据此范围及函数式即可确定图象． 【详解】解：根据题意，， 所以， 根据三角形的三边关系，， 所以，解得， 所以y与x的函数关系式为， 只有D选项符合． 故选D． 【题型2 用描点法画函数图象】 【典例2】．请按要求在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (1)列表． … 0 1 2 … … … (2)描点、连线．    (3)判断点，是否在函数的图象上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点不在图象上，点在图象上． 【分析】（1）将，，，，，分别代入解析式即可得的值； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入函数解析式，计算结果等于纵坐标的值，则点在该函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表． … 0 1 2 … … … （2）解：如图所示：    （3）解：当时，； 当时，． 故点不在函数的图象上，点在函数的图象上． 【点睛】本题考查了函数的图象以及函数图象上点的坐标特征，熟练掌握画函数图象的方法及步骤是解题的关键． 【变式2-1】．如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿折线D→C→A运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出x的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小 (3)或 【分析】（1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点在上时，过点作于，根据等面积法求出，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）观察图象中找出对应的满足的t的值，即可求解． 【详解】（1）解：，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动， ， ． 当点在上时，， ， 即； 点在上时，过点作于， ， ， ， ， 综上所述，； （2）画的图象： 列表： 1 3 2 6 如图， 画的图象： 列表： 3 8 6 0 描点连线得：如图，不包含和这两点 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （3）解：将代入中，得，解得， 将代入中，得，解得， 由当时，解或． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正确列出函数解析式是解题的关键． 【变式2-2】．【直观想象】 如图甲，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定． 【数学发现】 设动点在数轴上表示的数是，点到原点的距离为，我们发现是的函数，它的函数表达式为． 【数学理解】 （1）请在图丙中画出函数的图象； 【类比迁移】 如图乙，点在数轴上表示的数分别是1和3，设动点在数轴上表示的数是到两个定点的距离和为． （2）当点在线段上运动时（可以和点重合），的取值范围是_____，_____； （3）当点在数轴上运动时，仿照（1）写出与之间的函数表达式：_____；（同时写出的取值范围） （4）在图丁中画出关于的函数图象． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4）见解析 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能根据函数图象分析判断是关键． （1）依据题意，根据函数，即可作图得解； （2）依据题意，由点P在线段上运动时（可以和点M、N重合），从而，此时，进而可以得解； （3）依据题意，当点P在数轴上运动时，故则（x为任何数），进而得解； （4）依据题意，由（3）可得，（x为任何数），从而可得①当时，；②当时，；③当时，，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据函数，可以作图如下． （2）由题意，点在线段上运动时（可以和点、重合）， ，此时． 故答案为：． （3）由题意，当点在数轴上运动时， ． （为任何数）． ①当时，； ②当时，； ③当时，． ∴， 故答案为：． （4）由（3）可得，， 可作图如下． 【题型3 从函数的图象获取信息】 【典例3】．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，根据题意观察函数图象，结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图，对各个结论依次进行分析判断即可． 【详解】解：当时，， A、B之间的距离为， 故①正确； 由题意和图可得，乙的速度为， 甲的速度为， ， 乙行走的速度是甲的倍， 故②正确； 由题意和图可得，， 故③正确； 由题意和图可得，， 故④错误． 综上，结论正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【变式3-1】．在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①根据速度路程时间计算即可； ②由图象可知，当乙的路程为时被甲追上，根据乙的时间=乙的路程÷乙的速度计算即可； ③根据②，利用速度路程时间计算即可； ④根据时间路程速度求出甲追上乙时所用的时间，从而求出甲比乙晚出发的时间． 【详解】解：乙的速度为，故①正确； 甲追上乙所用时间为，故②正确； 甲的速度为，故③错误； 甲比乙晚出发了，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式3-2】．甲、乙两车分别从A、C两地同时出发，相向而行，途经中间的B地，A、C两地相距．甲途经B地停留一段时间后原速驶往C地，乙送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计），甲比乙晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲和乙距各自出发地的距离y（单位：）与甲行驶时间x（单位：）之间的函数图象，下列说法： ① ②甲在B地停留的时间为小时 ③乙从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为 ④当时，甲、乙相距 其中正确的是 ． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，根据函数图象可得A、B两地的距离为，则两地的距离为，据此可判断①；求出甲的速度，求出甲不休息时行驶3小时的距离，再减去A、C两地的距离，可求出休息的时间乘以甲的速度所行驶的距离，据此可判断②；求出乙到达终点的时间，进而求出乙的速度和乙从C到B的时间，据此可判断③；当时，此时乙回到C地，求出此时甲与A地的距离即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，A、B两地的距离为，则两地的距离为，即，故①错误； 甲的速度为， 则甲停留的时间为，故②错误； ∵甲比乙晚到达终点， ∴乙到达终点的时间为， ∴乙的速度为，乙从C到B的时间为 ∴乙从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为，故③错误； 当时，此时乙回到C地， 此时甲与A地的距离为， ∴此时甲、乙相距，故④正确； 故答案为：④． 【题型4 动点问题的函数图象】 【典例4】．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运动， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 【变式4-1】．如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是 ，的周长是 ． 【答案】 5 16 【分析】本题考查动点问题的函数图象．数形结合根据各个关键点的纵坐标得到相应线段的长度是解决本题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时线段不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时， 的最大值为5，即，由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即时，， ∴由勾股定理，得，由于图象的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为5， ∴， ∴此时 (三线合一)， ∴， ∴的周长为， 故答案为：5；16． 【变式4-2】．如图1，正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为x，，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．图2中 C．图2中 D．当点E运动到中点时， 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质和判定，正方形性质，从图中获取信息是解题的关键． 根据点E的运动位置，判断出的运动路程及运动时间的关系，结合函数图象，矩形的性质和判定，正方形性质，逐个分析判断即可． 【详解】解：A、当点E在上运动时， 正方形中，， ， 四边形为矩形， ， 当点E在上运动时，与不一定相等，故A选项结论不一定正确，符合题意； B、由图2知时，点E运动到点，所以，有，结论正确，不符合题意； C、由图2知，正方形边长为， 点E运动到点时，所以，结论正确，不符合题意； D、当点E运动到中点时， 由图2知，时，， ， ，结论正确，不符合题意； 故选：A． 【题型5 函数的三种表示方法】 【典例5】．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【答案】C 【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用． 【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A错误，不符合题意； B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B错误，不符合题意； C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C正确，符合题意； D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【答案】C 【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用． 【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A错误，不符合题意； B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B错误，不符合题意； C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C正确，符合题意； D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 模块五 过关检测 1．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，解题的关键是读懂图象信息． 根据休息后小时的绿化面积平方米，即可判断． 【详解】解：根据图象可知，休息后园林队工作的时间为，绿化的面积为， 则休息后园林队每小时绿化的面积为． 故选：B． 2．如图1，小华家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小华从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小华离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（    ） A．小华从报亭散步回家用了 B．小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 C．报亭到小华家的距离是 D．小华打羽毛球的时间是 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小华从报亭散步回家用了分钟，故该选项正确，不符合题意；     B. （米/分钟），即小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小华家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小华打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 3．两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②乙出发后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 根据函数图象可得甲车行驶的速度是，设乙车行驶的速度是，根据当时，乙车追上甲车，据此建立方程，解方程即可得，则①正确；根据当时，可得乙车行驶后追上甲，则②错误；根据甲、乙车的速度分别求出它们到达地的时间，则可得③正确；设甲车行驶，甲，乙两车相距，分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得④正确． 【详解】解：由图象可知，甲车行驶的速度是， 设乙车行驶的速度是， 则， 解得， ∴甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；则说法①正确； 由图象可知，当时，， ∵甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶， ∴乙车行驶后追上甲，则说法②错误； 由图象可知，当时，乙车到达地， ∵当甲车到达地时，， ∴甲比乙晚到，则说法③正确； 设甲车行驶，甲，乙两车相距， 由图象可知，当和时，甲，乙两车的距离可以等于， 当时，乙车追上甲车，但未到达地， 则， 解得，符合题设； 当时，乙车到达地，甲车未到达地， 则， 解得，符合题设； 所以甲车行驶或，甲，乙两车相距，则说法④正确； 综上，说法正确的有①③④， 故选：C． 4．下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应，我们称y是x的函数，x是自变量”逐项判断解答． 【详解】解：根据函数中给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应可知，A，B，C表示y是x的函数，D不能表示y是x的函数， 故选：D． 5．匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：如图： 从函数图象可以看出：段上升最慢，段上升较快，段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：B． 6．甲乙两车分别从A，B两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达B，A两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系式如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．A、B两地之间的路程为 B．乙车的速度为 C．m的值为5 D．当两车相距时，则甲车出发了 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是结合图象以及各数量关系进行解答．首先由图象和题意可知：A，B两地之间的路程是，乙比甲提前出发，两车在相遇，再由可求得乙车的速度，据此即可求得甲车的速度，再求得的值，当两车相距时，分两种情况讨论，再求解，即可一一判定． 【详解】解：由图象和题意可知A，B两地之间的路程是，故A正确，不合题意； 乙车的速度为：，故B正确，不合题意； 从到这的时间内，两车一共行驶了． 因为， 所以． 所以乙车从地到地行驶的时间为， 即，故C正确，不合题意； 若相遇前相距： 则两车一共行驶的路程为， 因为乙车先行驶， 所以行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的路程为， 则甲乙共同行驶的时间， 此时甲车出发了． 若相遇后相距： 则两车一共行驶的路程为， 因为乙车先行驶， 所以行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的时间， 此时甲车出发了． 所以当两车相距时，甲车出发了或， 故D错误，符合题意． 故选：D． 7．已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可． 【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称， ∴排除A，C选项； ∵点在同一个函数的图像上， ∴当时，，当时，，且 ∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意． 故选：B． 8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①乙无人机上升速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，甲无人机距离地面高度是；④当乙无人机距离地面高度时，．⑤当两架无人机距离地面高度差为时，或．以上结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：乙无人机的速度为：，故①错误； 由函数图象可知，甲无人机上升的速度为， 由函数图象可知，时，甲、乙两架无人机距离地面的高度都为，则甲无人机上升了，乙无人机上升了，故②错误； 时，甲无人机距离地面高度是；故③正确； 当乙无人机距离地面高度时，，故④正确； 当两架无人机距离地面高度差为时， 或， 此时或，故⑤错误； 故选：C． 9．如图1，在中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和从函数图象获取信息．从函数图象得到，当时，，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，，当时，， 此时． 故答案为： 10．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理．过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．潮汐图能精准预判潮高变化，帮助港口划定“安全通航时段”．下图是江苏一港口某日的潮汐图，已知当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口．若一艘货轮想在白天进入该港口，那么安全通航的时长为 小时． 【答案】 【分析】本题考查了从函数的图象中获取信息，根据图象得出在白天时段，潮水高度不低于的时间段为，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：在白天时段，潮水高度不低于的时间段为， （小时） 故安全通航的时长为小时． 故答案为：． 12．作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C． 已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离，（）与飞行时间t（）之间的函数关系如图2所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则下列结论正确的有 （填序号） ①、两地的距离为20千米； ②、两地的距离为15千米； ③甲的速度为6千米/分钟； ④乙无人机到驿站的距离与飞行时间的函数关系式为 【答案】①②④ 【分析】本题考查了从函数图象获取信息． 根据图中信息即可判断①；根据函数图象得到甲2分钟飞行了8千米，进而可判断③； 用甲的总路程除以速度求出甲、乙两架无人机的用时，求出乙的速度，即可求出B到C的距离，即可判断②；根据函数图象及“乙每分钟飞行了3千米”列出函数关系式，即可判断④． 【详解】解：根据图中信息，得到A到C的距离为20千米，故①正确； 甲2分钟飞行了：（千米）， 所以甲每分钟飞行了4千米，③错误； 甲从A到C用的时间：（分钟）， 乙9千米飞行了：（分钟）， 所以乙每分钟飞行了3千米，B到C的距离为：（千米），②正确； 即乙无人机到驿站的距离与飞行时间的函数关系式为，④正确． 故答案为：①②④． 13．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 14．一辆货车早晨出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程与行驶时间的完整的函数图像（其中点B、C、D在同一条直线上），小红研究图像得到了以下结论： ①甲乙两地之间的路程是； ②前半个小时，货车的平均速度是； ③时，货车已行驶的路程是； ④最后货车行驶的平均速度是； ⑤货车到达乙地的时间是． 其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查从函数图象获取信息，把图象分成三段，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，甲乙两地之间的路程是，故①正确； 前半个小时，货车的平均速度是，故②错误； 时，货车行驶了1个小时，对应行驶的路程是，故③正确； 最后货车行驶的平均速度是，故④正确； 货车到达B点的时间为：，从B到D用时为：， 所以货车到达乙地的时间是，故⑤正确； 综上可知，正确的结论有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 15．北仑港某一天潮汐高度（简称潮高）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列各题： (1)潮高是时间的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)一天内，有几次潮高为？ 【答案】(1)潮高是时间的函数，理由见解析 (2)当时，函数值为，它的实际意义是时的潮高为 (3)一天内有3次潮高为 【分析】本题主要考查函数图象及函数的概念，解题的关键是理解函数图象； （1）根据函数图象的定义进行求解即可； （2）根据函数图象可直接进行求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：潮高是时间的函数，因为对于时间的每一个确定的值，潮高都有唯一确定的值与之对应，所以潮高是时间的函数． （2）解：由图象得，当时，函数值为，它的实际意义是10时的潮高为． （3）解：由图象得，过点垂直于轴的直线，交图象于三点，所以一天内有3次潮高为． 16．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【答案】(1)20 (2)8，4 (3)甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读图是解题的关键： （1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息作答即可； （2）根据图象可知，甲无人机升高，乙无人机升高，进行求解即可； （3）用时甲的高度减去乙的高度即可． 【详解】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 17．（1）[探究]对于函数，当时，；当时，． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （2）[应用]对于函数． ①当时，______；当时，______；当时，______； ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （3）[迁移]当______时，函数取到最小值，最小值为______． 【答案】（1）图象见解析，0； （2）①，，，②图象见解析，； （3），． 【分析】此题主要考查了函数与绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）画出函数图象，直接得出结论； （2）①根据的取值范围去绝对值计算即可； ②画出函数图象，即可得出结论； （3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论． 【详解】解：（1）图象如图1所示，函数的最小值是0， 故答案为：0； （2）①当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，； ②函数图象如图2所示， 由图象可知，函数的最小值是， 故答案为：； （3）当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：；． 18．阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； (2)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； (3)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 【答案】(1)4，4，图象见详解； (2)①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； (3)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【分析】本题考查画函数图象，图象的平移，解题的关键是综合运用相关知识解题． （1）求出a，b，利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：观察表格数据发现，当时，；当时，； 所以，； 函数图象如图所示： （2）解：函数的性质为：①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； （3）解：把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 19．手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）①588；画图见解析；②；（3）x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得的取值范围； （2）①将代入计算即可得； ②由表格和折线统计图求解即可； （3）根据题目给出的参考数据求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）①当时，，即， 画出函数的大致图象如下所示： ②由表格和折线统计图可得，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积先增大，后减小， 当时，所得到的无盖长方体的容积最大； （3）观察数据变化，推测x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $