精品解析：陕西省神木中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

神木中学2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页.满分150分（不含附加题20分），时间120分钟， 2.答卷前，考生务必将自已的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效， 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与平行，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. -4 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件求解． 【详解】由直线与平行，得，所以. 故选：C. 2. 已知抛物线的焦点是是抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ） A. 9 B. 12 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式求解. 【详解】，则， 设的横坐标为， 根据抛物线的焦半径公式，， 解得. 故选：D 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则，即， 故选：A 4. 若以为圆心的圆与直线相切，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与直线相切，求得半径，写出圆的方程. 【详解】因为以为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径, 所以圆的方程为：, 故选：B 5. 已知等比数列满足，则数列的前项积时，的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质和等比中项表示出前项乘积求解. 【详解】由等比数列下标和性质，， 由于，则， 设等比数列公比为，则， 于是等比数列是正项数列，前项比大，从第项开始比小，且是正项数列. 结合等比数列下标和，等比中项性质， ， ， 故时的最大值是. 故选：C 6. 已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，圆的方程，可化为， 根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意）， 此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：， 由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线， 所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)， 所以直线l的方程为：，化简得：， 故选A 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7. 已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据为的极值点，可得，求得的值，并检验是否是极小值点. 【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. 8. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，判断其奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式． 【详解】设，则， 故是奇函数． 又，(等号成立的条件是)， 所以是R上的增函数，则， 而， 因此有，从而，解得， 则满足的的取值范围是 故选：D. 二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 有且仅有一个极大值 D. 至多有3个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 10. 记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量逐项计算判断. 【详解】对于A、B，由，解得，故A、B正确； 对于C：，故C错误； 对于D： ，D正确； 故选：ABD. （本题改编自选择性必修第一册第116页第13题） 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，从而求出. 【详解】由题知，渐近线方程是，则，解得. 故答案为： 13. 设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 14. 已知各项均为整数的数列满足：对任意的，都有.若，，则正整数的最大值为______. 【答案】64 【解析】 【分析】依题意，可得，计算即可. 【详解】因为， 则， 因为，且， 所以， 当时，；当时，. 所以正整数m的最大值为64. 故答案为：64 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，求： （1）的单调区间； （2）在上的最小值和最大值. 【答案】（1）单调增区间为，，单调减区间为 （2）最大值，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）结合的单调区间、极值、区间端点的函数值来求得在区间的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 由得或； 由得. 故的单调增区间为，，单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 设直线与直线的交点为，圆心在轴上的圆过点和点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，设圆的标准方程，由待定系数法求得圆的标准方程； （2）设直线的方程，根据直线与圆相交弦的弦长，求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求得直线的斜率，从而确定直线的方程. 【小问1详解】 由，得，即. 由题意设圆的标准方程为， 则，解得. 所以圆标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为，此时弦长，满足题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即. 圆心到直线的距离为. 因为，且，所以. 所以，所以，所以. 此时，直线的方程为，即. 综上直线的方程为，或. 17. 已知首项为2的数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造等比数列，求出其通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，由裂项相消求和法求数列的前项和，并由的性质及不等式的性质证明. 【小问1详解】 因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. 18 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且双曲线经过点. （1）求双曲线的方程； （2）设点，双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由双曲线与椭圆的定义得出双曲线方程； （2）设直线方程并与双曲线方程联立，由韦达定理得出最后结论. 【小问1详解】 对于椭圆，， 由椭圆的性质可知； 因为双曲线与椭圆有公共焦点， 所以双曲线中， 因为双曲线经过点， 代入双曲线方程整理可得； 联立，解得 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的右焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理得， 因为直线与双曲线右支交于两点， 所以， 解得； 要证，只需证， 又，， 所以 所以，即， 因此得证. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值是，无极小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数单调性，从而得到极值； （2）先取，得到一个粗略的的取值范围，然后在此范围下，求出的最大值，让其从而得解； （3）在（2）的基础下，得到，先分析出，先得到粗略范围，再由零点存在定理进行论证即可. 【小问1详解】 时，， 则， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 故时，的极大值是，无极小值 【小问2详解】 由于，对任意的恒成立， 取，，则； ， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 在取到了极大值，也是最大值， 故对任意的恒成立，等价于， 即，即， 解得 【小问3详解】 由（2）知，时，， 且取到了等号， 即恒成立，且取等号， 设，， 时，，在上递增； 时，，在上递减， 故时取到极大值也是最大值， 故， 显然， ， 若，则恒成立，不可能有零点； 当时，，， ，因此存在，使得. 故存在零点时，. 附加题：本题共20分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 20. 把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为是正整数），为的导函数.记. （1）若，求证：是等比数列； （2）若，是否存在正数，使得. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先求的导数，再根据等比数列的定义，即可证明； （2）首先求和集合，再利用导数讨论函数的单调性，由，讨论得到取值范围； 【小问1详解】 ，因为， 所以是以为公比的等比数列； 【小问2详解】 ，所以， 且， 令， 则得：在严格单调递增，在严格单调递减， ①当时，在上单调递减，，所以， 所以； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 由于，，时，， 所以] 令， 则，所以在上严格单调递减，所以， 从而， 综上，存在正数，即时，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神木中学2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页.满分150分（不含附加题20分），时间120分钟， 2.答卷前，考生务必将自已的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效， 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若直线与平行，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. -4 D. 0 2. 已知抛物线的焦点是是抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ） A. 9 B. 12 C. 3 D. 6 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 若以为圆心的圆与直线相切，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列满足，则数列的前项积时，的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 6. 已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为 A. B. C. D. 7. 已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（ ） A B. 1 C. 3 D. 1或3 8. 设函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 有且仅有一个极大值 D. 至多有3个零点 10. 记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. （本题改编自选择性必修第一册第116页第13题） 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则的值为__________. 13. 设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 14. 已知各项均为整数的数列满足：对任意的，都有.若，，则正整数的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，求： （1）的单调区间； （2）在上的最小值和最大值. 16. 设直线与直线交点为，圆心在轴上的圆过点和点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 已知首项为2的数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求证：. 18. 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且双曲线经过点. （1）求双曲线方程； （2）设点，双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，求证：. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若存在零点，求的取值范围. 附加题：本题共20分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 20. 把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为是正整数），为的导函数.记. （1）若，求证：是等比数列； （2）若，是否存在正数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $