陕西西安市2025-2026学年高二上学期普通高中期末供题训练数学试卷

高二数学试卷参考答案 1,D根据数列的规律，可知该数列的一个通项公式可以为（一1）+1，” (n+1)2 2.D由斜率公式得长=2一°=-1，所以直线1的倾斜角为 02+12+3+a>0, 3.B因为点P(0,1)在圆C外，所以 9-4a>0, 得-4<a<号，所以a的取值范围 为(-4，)： 4D由题可知双曲线了片-1的新近线方程为y=士受因为直线x十3y一4=0的斜率 为一号所以-3，解得m=36. 5.CMm=M+B孤=2A馆+A市+}AA,故x+y+=是 -61 C设A().Bc2y则8十=1,8十京=1，两式相减得十）( 8 十”-0即时+·老，器=0，因为线段A8的中点为P1, 62 所以十y,=2,1十，=2，又a=二=-子，所以6=2，放C的短轴长为22。 x1一x2 7.A由a5a6a7>l,可得a>1,即a6>1,又a1a1o<1,所以a5a6<1,则a5<1, 所以当l≤n≤5时，0<an<1,当n≥6时，am>1,所以当a1a2…an取得最小值时，n=5. 8.D过点A作AF⊥BD,垂足为F,过点C作CG⊥BD,垂足为G(图略)，则AF与GC的夹 角为号易得-25，忒-25，-35，心-正+元+试. 所以aC=++=a++花+.d=专+号+号+2×25× 5x-g即Ac= 5 5 9.BC对于A选项，当b为零向量时，不符合，A错误； 对于B选项，因为b=一2a,所以l⊥a,B正确： 对于C选项，点M(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标是（一1,2,3），C正确； 对于D选项，a·b=aIb|cos(a,b)=cos(a,b),D错误. 10.ABD由B(-2.0,可得-号=-2，解得p=4,A正确：由题可知F(2.0),则xn=4,故 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 |PF|=xp+2=6,B正确；因为|PF|=xp十2，xp≥0，所以|PF|的最小值为2，C错误； |PF等于点P到L的距离，|AP|十IPF|的最小值为点A到L的距离，且点A到L的距离 为6，D正确. 11.ABD当m=26时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 则使得an=1需要10步“雹程”，A正确.当m=4时，a1=4,a2=2,a3=1,a4=4,…,则数 列{an}是周期为3的周期数列，故a2o2s=a3=1,B正确.当m=1时，a1=1,a2=4,a3=2, a4=1,…,则数列{an}是周期为3的周期数列，故数列{a,}的前2025项和为(1十4十2)× 675=4725,C错误.当a6=4时，a5=1或a5=8,a4=2或a4=16,a3=4或a3=32或a3= 5,a2=8或a2=1或a2=64或a2=10,a1=16或a1=2或a1=128或a1=21或a1=20或 a1=3,即m的所有可能取值之和为16十2十128十21+20+3=190，D正确. 12.22圆(x+3)2+(y-1)2=10的圆心为(-3,1)，半径为√10，所以圆心（一3,1）到直线x -3y=0的距离d=-31=2,2,则1AB1=2√10=8=22. √2 13.2 由题可得AP=(1,2,0),且|a=√2， 所以点P(2,1,1)到直线1的距离是 --号 14.13因为OP是△F1QF2的中位线，所以OP∥F1Q,又OP⊥PF2,所 以QF⊥QF2, 由题意得点P在双曲线C的右支上，由IPF1-|PF2||=2a,可令 |PF2|=m,则|PF1|=m+2a,又P为QF2的中点，所以点Q在双曲线 C的左支上， 因为lIQF2|-|F1Q|=2a,且P是QF2的中点，所以|QF2|=2PF2|=2m,所以|QF1 =2m-2a. 在Rt△QFP中，由勾股定理可得|PFI2=|F1Q|2+|PQ|2, 即(m十2a)2=(2m一2a)2十m2,整理可得m=3a. 在Rt△QF1F2,由勾股定理可得|F1F2|2=|F1Q2+QF2|, 即(2c)2=(2m-2a)2+(2m)2,化简得c2=2m2-2ma+a2,又m=3a,所以c=/13a,则 e==B. 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,d≠0，所以a2=a1十d=一6，…1分 因为a3为a1,a4的等比中项，所以a1a4=a号，…2分 即a1(a1十3d)=(a1十2d)2,化简可得a1十4d=0,…3分 所以a1=-8,d=2.…4分 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 故am=-8+2(n-1)=2n-10. 6分 (2)S.=a1十nn21Dd--8m十m2-n=m2-9, 2 9分 由S≤am,可得n2-92≤2n-10,即n2-11n十10≤0，…11分 解得1≤n≤10，故n的最大值为10.…13分 16.解：(1)由题可知直线AB的方程为x=一1， …1分 AB中点的坐标为（一1，一3），…2分 线段AB的中垂线方程为y=一3，所以圆心C在直线y=一3上，…3分 又圆心C在直线2x+y十1=0上， 所以直线y=一3与直线2x十y十1=0的交点就是圆心C 由/一3， 得1， 即C(1,-3). 4分 2x+y+1=0,y=-3, 又|AC川=√/(1十1)2+(-3+1)2=2W2, 5分 所以圆C的方程为(x一1)2+(y十3)2=8. 6分 (2)由题可知C(1,-3),D(一3,1)， 所以川CD=√/(1+3)2+(-3-1)7=42，…7分 两个圆的半径之和为2√2十2√2=4√2，…8分 所以圆C与圆D外切，………9分 所以圆C与圆D有三条公切线，且公切线的斜率存在，设公切线的方程为y=kx十b, 由圆心到切线的距离等于半径，得k十3+b-一3张一1十1=22， …12分 √/1+k √1+k2 k=1,(k=-1,k=-1, 解得 6=0或 或 .eeee...。......eee .e..e b=2 …13分 b=-6, 所以公切线的方程为y=x或y=一x十2或y=一x一6（正确写出其中一条公切线方程，即 得满分）.… …15分 17.解：由题意可知AB1,A1C1,A1A两两垂直，则以A1为原点，A1B1, A1C,AA的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系.设AB=2,则AA1=4.…2分 (1)证明：由题中数量关系可得D(0,1,4),F(1,0,0),E(0,2,2),G(2, 0,3),则DF=(1,-1,-4),EG=(2,-2,1).…4分 因为D求.EG=1X2十(-1)X(-2)十(-4)X1=0,…5分 所以DF⊥EG,即DF⊥EG.… …6分 (2)证明：由题中数量关系可得A(0,0,4),B(2,0,4),D(0,1,4),E(0,2,2),G(2,0,3) 则BD=(-2,1,0),AE=(0,2,-2),AG=(2,0,-1).…8分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 设平面AEG的法向量为n=(x,y,之)， n·AE=2y-2x=0, 则 令x=1,得n=(1,2,2).…9分 n·AG=2x-z=0, 因为BD·n=-2X1十1X2+0X2=0,… 10分 所以BD⊥n,又BD丈平面AEG,所以BD平面AEG.… 11分 (3)由(2)可知平面AEG的一个法向量为n=(1,2,2). 因为平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1), 12分 n·m2 所以cos(n,m）=nm=3 14分 设平面AEG与平面ABC的夹角为0，则sin0=√1-cos2(n,m)= 5 3 15分 18.（)证明：1一1=0。-0=+8=1，所以数列 是以1为公差的等差数列. … an+l an antlan antlan …2分 故2=1+(m-1)=,即a,= n 4分 a (2②)解：(i)当n=1时a6==1,即=1， 5分 当n≥2时，由ab1十a,b十ab十…十ah.=1-（-3》 4 可得aibi十azb:十abs+…+a.-1b-1=1-（一3》- ,…6分 两式相减，可得a6,=-3)（一3》=-3)1+3》=（-3)-，即6，=× (-3)-1,…7分 因为b1=1满足bn=n×(-3)"-1,所以{bn}的通项公式为bn=n×(-3)-1.…8分 (i)Sm=1×(-3)°+2×(-3)1+…+n×(-3)m-1, -3Sn=1×(-3)1+2×(-3)2+…+n×(-3)”,… …9分 所以45，=(-3°+(-3)++(-30-n×(-30=二二-nX(-3” 1-(-3) 1-(4+1)×(-3)" 所以S,=1-（4n十1)X(-3)” 16 12分 (i)16Sn-12bn=1-(4n+1)×(-3)”-12m×(-3)-1=1+(12n+3)×(-3)"-1-12m X(-3)”-1=1十3X(-3)”-1.…13分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 当n为奇数时.由16S.-25.十以≥0，可得十g≥-X,所以-<0，即≥0：…14分 当n为偶数时，由16S.126。十≥0，可得已3≥-入，即A≥3二，所以A≥3即 16分 综上可得，实数入的取值范围为[名十∞)】 17分 19.解：(1)由|A1A2=8,可得a=4,… …1分 又c=25,a2=b2十c2,… 2分 所以b2=a2一c2=4,… 3分 人y2 则E的方程为+子 =1 …4分 (2)设1的方程为y=k(x-1),M(x1y1),N(x2y2), y=k(x-1), 由 得(1十4k2)x2-8k2x十4k2-16=0,…5分 x2+4y2-16=0, 8k2 4k2-16 则x十x2=1十坎212，= 1+4k2 …6分 (1)因为1的斜率为1，所以MN1=V1十+)-4=2×√(》+5 4W38 e .....e .... 5 7分 设P(5,m),则点P到1的距离d=4一ml …8分 √2 因为△PMN的面积为2E,所以号×4墨×14-m=2vV. 5 …9分 √2 解得m=一1或m=9,则点P的坐标为(5，一1)或(5,9).…10分 (ⅱ)Q在一条定直线上，且该直线的方程为x=16.…11分 由题可知A(一4,0).A,(4,0),则A1M的方程为y=十x+4),A,N的方程为y习 两式相除得十4：x十0-，-1)，十4)_x-,十4r,-4 x-4y1(x2-4)(x1-1)(x2-4)x1x2-4x1-x2+4 …13分 8k2 若工的斜率存在，则由十十张一16 =1十，可得171+)-2x1,=32,则 1 x1x2= 2(x1+x2)-16, 14分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 15125 则1x2-x1十4x2-42x1十2x2-20 5 x1x2-4x1-x2十49 3 15分 15 2x1+2x2-12 即之十4一号解得x=16. 16分 若的斜率不存在，根据对称性，可得M1,空)，N(1.-),直线A,M与A,N的方 程分别为y= 10(x+4)和y= √/15 6（x-4),可得交点Q(16,2⑤).故Q在一条定直线 上，且该直线的方程为x=16.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第 四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知数列}， 2345 916’- 25'36,…,则该数列的通项公式可以为 A.(-1)” (n+2)2 B.(-1)"+1 (n+2)2 C.(-1)” (1+1)2 D.(-1)+1 (+1) 2.已知直线1经过点A(1,0),B(2,一1)，则直线1的倾斜角为 A晋 Bi c号 n 3.若点P(0,1)在圆C:x2+y2+3y十a=0外，则a的取值范围为 A(-o,) B(-4,) C.(-4,十o∞) D.（-4,9) 4.已知双曲线--1的一条新近线与直线x十3)y一4=0垂直，则m A.3 B.6 C.12 D.36 5在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，M为AB的中点，C示=CC,若M=A店+d 十AA1,则x十y十之= A日 c 7 D. 6.若斜率为- 线1与椭圆C十I交于点A,B,线段AB的中点为P口 的短轴长为 A.2 B.2 C.2√2 D.4 7.在正项等比数列{an}中，a1a1o<1,asa6a7>l,则当a1a2…an取得最小值时，n= A.5 B.6 C.7 D.8 【高二数学第1页（共4页）】 8.在长方形ABCD中，AB=2,AD=1,将△ABD沿BD所在直线进行翻折，二面角A-BD-C 为则AC A. B.35 5 CV⑨5 D105 5 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的是 A.若空间向量a,b,c满足ab,bc,则ac B.若直线1的一个方向向量为a=(1,4,0),平面a的一个法向量为b=(一2，一8,0)，则1⊥a C.点M(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标是（一1,2,3） D.若a,b是两个单位向量，则a·b=1 10.已知F是抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，l是C的准线，B(一2,0)是l与坐标轴的交点， P是C上的动点，则下列说法正确的是 A.p=4 B.若点P的横坐标是点F的横坐标的2倍，则|PF=6 C.PF的最小值为4 D.若点A的坐标为(4,4)，则|AP|十|PF|的最小值为6 11.任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2.反复进行上 述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹 猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→ 8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系 如下：已知数列{am}满足a1=m(m为正整数)，am+1= 2a,为偶数， 下列结论正确 3am十1，am为奇数. 的是 A.若m=26,则使得an=1需要10步“雹程” B.若m=4,则a2o2s=1 C.若m=1,则数列{am}的前2025项和为4726 D.若a6=4,则m的所有可能取值之和为190 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线x一y=0与圆(x十3)2+(y-1)2=10交于A,B两点，则|AB|=▲ 13.A(1,一1,1)是直线1上一点，a=(1,1,0)是直线1的一个方向向量，则点P(2,1,1)到直线 l的距离是▲ 4.已知0为坐标原点，F,F,分别为双曲线C:-克=1(a>0,b>0)的左右焦点，以0P 为直径的圆在第一象限与C交于点P,延长F2P与C的另一个交点为Q,若P为QF2的中 点，则双曲线C的离心率为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记Sm为公差不为0的等差数列{am}的前n项和，已知a2=一6，a3为a1,a4的等比中项. (1)求{an}的通项公式； (2)求满足S,≤am的n的最大值 16.(15分) 已知圆C经过A(一1，一1)，B(一1，一5)两点，且圆心C在直线2x十y十1=0上 (1)求圆C的方程； (2)已知圆D:(x+3)2十(y一1)2=8，判断圆C与圆D的位置关系，并写出一条圆C与圆 D的公切线方程. 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱 AC,CC1,A1B1的中点，点G在棱BB1上，且B1G=3BG. (1)证明：DF⊥EG (2)证明：BD平面AEG. (3)求平面AEG与平面ABC夹角的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在数列{an}中，a1=1且aw+1am=am一am+1 a证明数列 是等差数列，并求数列{am}的通项公式. (2)记数列{bn}的前n项和为Sn,数列{bm}满足a1b1十a2b2十a3b3十…十anbn= 1-(-3)” 4 (i)求{bn}的通项公式： (i)求Sm; 1 (m)若不等式16S,-12b十≥0对任意∈N恒成立，求实数入的取值范围. 19.(17分) 已知桶圆E+ =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,F(23,0)是E的右焦点， 且|A1A2|=8. (1)求E的方程. (2)过点G(1,0),且斜率不为0的直线l与E交于M,N两点. (ⅰ)若l的斜率为1，P是直线x=5上的一点，且△PMN的面积为2√19，求点P的坐标. (iⅱ)设直线AM与A2N交于点Q,试判断Q是否在一条定直线上.若是，求出该直线 方程；若不是，说明理由. 【高二数学第4页（共4页）】